Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - latex

Páginas: [1] 2 3 4 5
1
Combinatoria / Combinaciones (I)
« en: 07 Febrero, 2020, 10:50 pm »
Hola, buenas noches, tengo ciertas dudas respecto de como calcular el número total de casos de un evento del siguiente tipo;

(En un contexto a priori de ecuaciones en diferencias finitas)

      Tras observar los movimientos del niño que sube las escaleras , constatamos que al ir avanzando, en cada movimiento sube las escaleras o bien dando un salto de dos escalones o bien ascendiendo un único escalón. Si la escalera consta de tres tramos, con sus correspondientes descansillos, y cada tramo tiene 13 escalones, ¿de cuántas formas diferentes puede subir el niño las escaleras?
 
(Aquí un tramo, entiendo yo que se refiere a que no puedes seguir subiendo escaleras entre tramos, es decir, que son disjuntos)
 
      Como la escalera consta de tres tramos, supongo que el caso más básico es el considerar la escalera formada por un sólo tramo de 13 escalones. Entonces de ¿cuántas formas podría subir dicho tramo?

      He pensado entonces en ir paso a paso, empezando por el número de formas de subir un escalón (1), de subir dos escalones (2), de subir tres escalones (3), de subir cuatro escalones (5 formas), pero apartir de 5 escalones hacer estos cálculos a lo bruto no parece lo más sensato, lo más coherente a partir de aquí sería llegar a una expresión en función del número de escalones, y todo parece que es mediante un proceso inductivo.

    Pero sé dicha forma de obtener tal expresión, imagino que dicha expresión lo más seguro es que cumpla o satisfaga la ecuación en diferencias finitas del problema que se plantea  ???

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

2
Ecuaciones diferenciales / Sistema de Edo's. (I)
« en: 04 Febrero, 2020, 06:12 pm »
Hola buenas tardes, se plantea el siguiente problema:


              La tetraciclina es un antibiótico que usa para tratar una gama muy variada de dolencias, desde el acné hasta infecciones agudas.
              Se administra oralmente y desde el tracto gastrointestinal pasa a la sangre, de donde es eliminado por los riñones y excretado por la
        orina.

             Las constantes de proporcionalidad asociadas con las ratios a las que la tetraciclina (medida en mg/cm3) pasa al torrente sanguíneo
     y es eliminada son, respectivamente, 0.72 y 0.15 mg/(hora/cm3 ). Supongamos que, inicialmente, la cantidad de tetraciclina en el intestino
     es  de 0.0001 mg/cm3, y no la hay ni en el torrente sanguíneo ni en el tracto urinario. (La idea es ver como varían en un sistema de 3 ecuaciones)

     Entonces si no he entendido mal se refiere a este sistema del tipo \( X'=AX \),   \(  X=\left[\begin{array}{ccc}{I(t)}\\{S(t)}\\{T(t)}\end{array}\right] \)  y  \( A \) es una matriz:

                    \( I(t) \), \( S(t) \), \( T(t) \) son las variables dependientes que indican la cantidad de tetraciclina (en mg/cm3) existentes en respectivamente,
       el intestino, la sangre, y el riñón/tracto urinario.

\( \begin{bmatrix} I'=-0.72\cdot I \\ S'=0.72\cdot I - 0.15\cdot S  \\  T'=0.15\cdot S \end{bmatrix} \)   donde las condiciones iniciales para  t=0, son \( X(0)= \left[\begin{array}{ccc}{0.0001}\\{0}\\{0}\end{array}\right] \) (sólo se hace una sola toma de este medicamento)

¿Es acertado el sistema que he puesto? ¿Cómo lo veis vosotros?

Muchas gracias de antemano :)

Saludos

3
Hola buenas, en la pág 92 que adjunto tengo una duda acerca de:

"Además, la serie converge uniformemente en \( C(a,r)^* \), ya que la serie geométrica converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \)".

    Mi duda es la siguiente; el hecho de que converge uniformemente en cada compacto contenido en \( D(0,1) \) se debe al Teorema de Weirestrass sobre la convergencia uniforme y absoluta, pero al hacer el test \( \displaystyle\sum_{n=0}{z^n} \) tiene sentido para \( |z|<1 \), luego ¿cómo se deduce la convergencia uniforme en \( C(a,r)^* \) si en la frontera del disco no tenemos ningún criterio acerca de su convergencia?

Saludos :)

4
Hola buenas tardes, me surge una duda, (que es algo intuitiva pero no termino de ver si se trata de algo más elemental relacionado con triángulos), en la prueba de Cauchy Goursat (prop 2.11, pág 95 del pdf que adjunto) se define:

\( \Delta =\{ \mu a + \lambda b + \gamma c : \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

si ahora denotamos los puntos medios \( a'=(b+c)/2 \) , \( b'=(a+c)/2 \) , \( c'=(a+b)/2 \)

y denotamos con \( \Delta_i \) a cualquiera de los 4 triángulos contenidos en \( \Delta \) , por ejemplo uno podría ser:

\( \Delta_1 =\{ \mu a' + \lambda b' + \gamma c ': \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

entonces perímetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)perímetro(\( \Delta \)) y de forma análoga para el diámetro
       diámetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)diámetro(\( \Delta \)),
¿cuál sería la forma que tendría una demostración rigurosa de ese hecho?

Muchas gracias de antemano.

Saludos :)


5
Variable compleja y Análisis de Fourier / Igualdad (I)
« en: 28 Octubre, 2019, 11:17 pm »
Buenos días, tengo una pequeña duda acerca de como obtener finalmente la igualdad que veréis a continuación.

Asumiendo que se ha demostrado la igualdad \( log(1+z) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n+1}{n}z^n} \)  (donde \( log \) denota el logaritmo principal)  \( \forall z \in D((0,0),1) \) , se plantea el problema de intentar saber si converge o no en la frontera (menos donde el logaritmo toma la evaluación nula, que en este caso sería \( (-1,0) \)). Para ello planteamos el siguiente problema, estudiar la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}(cos(\alpha)+sen(\alpha))^n} \) , \( \alpha \in (-\pi, \pi) \) ( evitamos tomar el \( (-1,0) \) )

La convergencia se puede ver como una aplicación del criterio de abel:
Sea \( \{a_n\} \) una sucesión numérica y \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}f_n \) una serie de funciones definidas en un conjunto A.
    Criterio de Abel:
             i) La serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}a_n \) convergente.
             ii) Para cada \( z\in A\  \{f_n(z)\} \) es una sucesión de números reales monótona y la sucesión \( \{f_n\} \) esta uniformente acotada en A.

               Entonces la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n f_n} \) converge uniformemente en A

Por tanto como sabemos que converge, podemos aplicar el criterio de la continuidad radial, para obtener el valor de la suma de forma que:

\( \displaystyle\lim_{\underbrace{r \to{}1^-}_{0<r<1}}{log(1+r(cos(\alpha)+isen(\alpha)))} =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{i n\alpha}} = log(1+\displaystyle\lim_{r \to{}1}{r}(e^{i\alpha}))= log(1+e^{i \alpha}) =  log(2cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2})) + i\displaystyle\frac{\alpha}{2} \).

Lo único que me queda ver es que \( arctan(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}) = \displaystyle\frac{\alpha}{2} \) pero no recuerdo muchas de las relaciones de la trigonometría (solo la del coseno y seno del ángulo doble y poco más)


Gracias de antemano,

Saludos :)

6
Álgebra / Equivalencia proyectiva. (I)
« en: 18 Octubre, 2019, 09:34 pm »
Hola buenas noches, tengo la siguiente duda:

Si \( p,p' \in \mathbb{K}(x,y) \) son tales que \( C_p \), y \( C_p' \) las cónicas asociadas son equivalentes afínmente, es decir se tiene una aplicación afín f, tal que \( p(x,y) = \lambda p'(f(x,y)) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{K} \), entonces si tomamos las ampliaciones proyectivas de \( p \),\( p' \) respectivamente como \( p^*(x,y,z)=z^2p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{x}{z}) \), se debe verificar que \( p^* \) y \( p'^* \) son proyectivamente equivalentes,
esto es que para algún otro \( \lambda \in \mathbb{K} \) \( p^*(x,y,z)=z^2\lambda p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z}) = z^2 \lambda p'(f(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z})) \underbrace{=}_{?} \lambda p'^*(\widetilde{f}(x,y,z)) \), mi pregunta es en este caso como se define \( \widetilde{f} \).

Saludos :)

7
Libros / Variable Compleja-Funciones de variable Compleja.
« en: 16 Octubre, 2019, 01:04 pm »
Hola buenos días, que libros sobre estos temas recomendarías (a un servidor) como lectura obligatoria para poder decir, que uno sabe, o se ha introducido en esta asignatura, (aunque que duda cabe que luego habría que probar dicho conocimiento en los ejercicios).

Saludos :)

8
Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Dualidad.
« en: 30 Junio, 2019, 10:54 am »
Hola buenas, tengo una duda acerca de esta afirmación:
El dual de un plano proyectivo papiano y desarguesiano es un plano proyectivo papiano y desarguesiano. Aquí considerando \( \mathbb{P}=(P,l,\in{}) \) en tales condiciones, bastaría con probar que el plano dual se satisface el teorema de desargues, y el teorema de pappus.
Usando el principio de la dualidad en el plano proyectivo que dice, que una afimación es verdadera si y sólo si lo es su dual,
¿podríamos afirmar que es verdadera?

Saludos.

9
Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:

\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.

Pero usando la teoría más general de Lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?







La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).

Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:

\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)



realizando el cambio, \(  u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2)  \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du  \)                        \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)



y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}  \)

Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?


Muchas gracias de antemano :)
Saludos.

10
Estructuras algebraicas / Ideales (II)
« en: 09 Marzo, 2019, 01:02 am »
Buenas noches, tengo un par de dudas sobre ideales. Si consideramos \( \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( = \{a+bi\ : a,b\in\mathbb{Z}\}  \) el anillo conmutativo llamado los enteros de Gauss, que es un dominio euclídeo con la norma multiplicativa \( N(u)=u\cdot \bar{u} \), (teniendo en cuenta que \( DE \Rightarrow{DIP\Rightarrow{DFU}} \)) y consideramos el elemento \( a = 7\ +56i \).

Si ahora consideramos el ideal \( (a)=\{ra\ : r\in \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( \} \) resulta entonces que si \( r=a+bi \)

\(  (a) = \{ (a+bi)(7+56i)\ : a,b \in\mathbb{Z}[\sqrt[ ]{-1}]   \)   \( \} = \{ (7a-56b) + (7b+8a)i\ : a,b\in\mathbb{Z} \} = (7(1+i)) \) ¿Hasta aquí es correcto?  Luego también se puede comprobar que \( A/(a) \) no es un cuerpo (que surge de una cadena de desigualdades hasta que llegar que la norma de \( a \) es suma de dos cuadrados, esto es fácil de ver), pero lo que no consigo ver es que es isomorfo a el producto directo de 3 cuerpos. Intuyo que debe ser usando los teoremas de isomorfía, junto con el Teorema chino de los restos para ideales, pero no consigo aclarar nada.

Por otra parte \( x+yi \sim{u+vi} \Leftrightarrow{\exists a+bi} \) tal que \( (x-u) + (y-v)i = 7(a-8b) + 7(b+8a)i \), luego dos elementos en el conjunto cociente pertenecen a la misma clase si, su parte real, e imaginaria respectivamente son congruentes \( (mod 7) \)

Muchas gracias de antemano :)
Saludos.
 

11
Hola buenos días, se que este tema en concreto puede resultar bastante trillado, pero para mí es la primera vez que me enfrento a él. He realizado varias búsquedas en google, sobre estos temas, buscando apuntes, hasta la pág.7 manuales pero no me terminan de convencer ninguno, debido que no los veo suficientemente claro en cuanto al desarrollo de este tema (que es muy bonito), no me gustan las recetas aunque sean muy útiles. Por ello si alguien puede compartir ese libro/bibliografía/pdf acerca de este tema, le estaría muy agradecido.

Saludos.

12
Estructuras algebraicas / Ideales (I)
« en: 18 Febrero, 2019, 11:08 pm »
Hola buenas noches, no sé muy bien cómo se prueba lo siguiente.

Tenemos el anillo \( A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ] \) ,y consideramos el ideal \( I=(2,\sqrt[ ]{10}) \)

Luego esta claro que el ideal es el conjunto de la forma \( x = 2 \alpha  + \sqrt[ ]{10} \beta \), donde \( \alpha \) , \( \beta \) \( \in \) \( \mathbb{Z[\sqrt[ ]{10}]} \), es decir el conjunto \( I = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \).

Entonces ahora para probar que el Ideal \( I \), no es principal, es decir no está generado por un elemento, por reducción al absurdo supongamos que \( I=(s) \), donde \( s=a_0+b_0\sqrt[ ]{10} \) \( \in \) \( A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ] \).

Luego \( 2 \in (s) \) y de forma análoga \( \sqrt[ ]{10} \in (s) \), esto implica existen constantes \( k_1,k_2 \) tal que \( 2=k_1s \) , \( \sqrt[ ]{10}=k_2s \), y usando la norma definida en \( A \),  se tiene \( N(2)=N(k_1s)=N(k_1)N(s) \) , y de forma análoga, \( N(\sqrt[ ]{10})=N(k_2s)=N(k_2)N(s) \).

Esto es que \( N(s)=a_0^2 - 10b_0^2 \) divide a \( N(2)=4 \), y a \( N(\sqrt[ ]{10})=-10 \), luego divide a \( mcd(4,-10)=2 \), por tanto se tiene que existe \( z \in \mathbb{Z} \) tal que \( (a_0^2 - 10b_0^2 ) \cdot z= 2 \), luego como 2 es primo, sus únicos divisores son \( +-2 \), y \( +-1 \), Apartir de aquí divido en casos , ¿cómo se terminaría?

La segunda duda importante que no termino de aclarar es ver que \( A_{/I} \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2  \), de aquí sólo deduzco por intuición que dichas clases sería \( C_1 = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \) Y \( C_2= \{ 2a+1 + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \).

Muchas gracias de antemano :)

Saludos.

13
Análisis Real - Integral de Lebesgue / Duda-Extensión de Medidas
« en: 29 Enero, 2019, 11:49 pm »
Hola buenas noches, tengo una pequeña duda que no se contestar debido a que se me escapa algún detalle, es la siguiente:

(duda referida a la siguiente proposición)
Sea \( \zeta \) una colección de subconjuntos de \( \Omega \) y \( p: \zeta \rightarrow{[0,\infty]} \) una función cualquiera, tales que \( \emptyset \in \zeta \) y \( p(\emptyset) = 0 \). Para cualquier \( B\subset{\Omega} \) se define

        \( \nu^*(B)=inf \{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{p(A_n)} : A_n \in \zeta , B\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{i}}  \} \), define una medida exterior generada por \( p \), para la que \( \nu^*(A) \leq{p(A)} \), para \( A\in \zeta \). En la prueba de esto es básicamente probar que se verifican la definición de medida exterior, donde la más difícil puede ser probar que si \( B_n \) es una sucesión de conjuntos de \( \Omega \), entonces
\( \nu^*(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_n)}} \) en la prueba suponiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\nu^*(B_n)} < \infty \) , se toma \( \epsilon > 0 \), y para cada \( n \), tomamos una sucesión \( A_{nm} \)   \( \in \zeta \) tal que   \(  B_n \in  \) \( \bigcup\limits_{m=1}^\infty{A_{nm}} \), y \( \displaystyle\sum_{m=1}{\nu^*(A_{nm})} \leq{\nu^*(B_n)} +\displaystyle\frac{e}{2^n} \). Mi duda es ¿por qué se puede tomar dicha sucesión \( A_{nm} \)? Me gustaría saber el motivo de su existencia, también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.
 

Por último aunque una medida exterior \( \nu^* \) tiene la ventaja de estar definida en todo \( P(\Omega) \), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquiera aditiva. Por ello tratamos de encontrar una o-álgebra, sobre la que sí sea numerablemente aditiva. Esto último es de vital importancia entenderlo, sin embargo a priori no logró profundizarlo acerca de ahí, si podéis expresar lo anterior de alguna forma más ''clara'',  ¿Qué podéis contarme de esto último?

Saludos y muchas gracias de antemano.

14
Análisis Funcional - Operadores / Dudas-(Análisis matricial)
« en: 21 Octubre, 2018, 12:21 am »
Hola buenas noches, introduciéndome en la lectura de Análisis Númerico matricial, me he topado con algunas cuestiones que no se resolver:
Si tenemos una matriz hermitiana (\( A=A^* \)) con espectro \( esp=\{ \lambda_1 ,..., \lambda_n \} \). Para \( \lambda \in \mathbb{R} \) y \( v\in\mathbb{K}-\{0\} \) y se define
\(  r=\displaystyle\frac{||Av-\lambda v||_2}{||v||_2} \)
Se pide probar \( \lambda_j \) tal que \( |\lambda-\lambda_j| \leq{r} \). Este resultado permite localizar valores propios de A. No entiendo el porqué de esa definición de \( r \), ni tampoco consigo ver la existencia de dicho \( \lambda_j \) por lo que no puedo ver como realmente gracias a ese resultado localizar valores propios de \( A \).

Otra duda en el mismo contexto pero diferente es que no consigo ver que el espectro \( A^*A \) es igual a \( AA^* \) para ver que \( ||A||_2 = ||A^*||_2 \)
 
Muchas gracias de antemano,

Saludos.

15
Libros / Teoría de la probabilidad.
« en: 15 Octubre, 2018, 12:42 pm »
Hola buenos días, me gustaría saber el nombre de libros (para aquellos que se dediquen o tengan mucha información) que abarquen la teoria de la probabilidad desde Distribuciones en \( \mathbb{R} \) y en \( \mathbb{R^k} \) (Descomposición de Lebesgue.), Distribuciones marginales y condicionadas, Esperanza matemática (esperanza matemática de variables aleatorias con valores complejos. Teoremas de límite. Integral de Lebesgue abstracta.) momentos ...etc en definitiva todo lo relacionado a esta gran materia

Saludos,gracias de antemano.

16
Cálculo 1 variable / Continuidad-Derivabilidad
« en: 07 Junio, 2018, 11:28 pm »
Hola, buenas noches, alguna indicación para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función

\( F(t) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{-tx}}{1+x^2}dx \)  , \( t\geq{0} \)

Gracias de antemano,

Saludos

17
Ecuaciones diferenciales / Reducción del orden (1)
« en: 13 Marzo, 2018, 11:51 pm »
Hola, buenas, tengo ciertas dudas respecto a reducir el orden de una edo lineal de orden superior. Por ejemplo si tenemos, suponiendo \( y=y(z) \)
\( \displaystyle\frac{y'''}{y'} - \displaystyle\frac{3}{2} \left( \displaystyle\frac{y''}{y} \right)^2 = 0 \) . Para reducir el orden se realizaría \( y'=p(y) \) donde \( y'' = \displaystyle\frac{dp}{dy}\displaystyle\frac{dy}{dz}= p'p \) , \( y''' = (p''p+p'^2)p \)  (derivando respecto de z \( y'' \) y teniendo en cuenta la regla de la cadena y el producto) sustituyendo queda \( (p''p+p'^2) - 3/2 \left( \displaystyle\frac{p'p}{y} \right) ^2 = 0 \) es decir se ha pasado a una edo \( F(y,p',p'')=0 \) ahora debería volver a reducirla con el nuevo cambio ¿ \( g(p)=p' \) ? , ¿\( p'' \) sería en este caso la derivada segunda respecto de \( z \), o en este sería la derivada segunda respecto de \( y \)?

Gracias de antemano,
Saludos

Edit: \Ecuación corregida

18
Topología Algebraica / Compactificación por un punto.
« en: 03 Marzo, 2018, 09:14 pm »
Hola, os comento mi siguiente duda respecto al siguiente tema;

Antecedentes: Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico no compacto, \( \infty \) un elemento que no pertenece a \( X \).
Se define el conjunto \( X^{*}= X\cup{\infty} \) y \( \tau^{*}  = \tau \cup{} \{ A \in X^{*} : X^{*}-A  \) es cerrado y compacto en \( X \) \(  \} \). Entonces \( ((X,\tau),i) \) es una compactificación de \( X \) , donde \( i \) es la aplicación inclusión.

Para ilustrar como va esto, se suele poner el ejemplo de \( \mathbb{R} \)  y   \( \mathbb{S^1} \). Donde un homeomorfismo entre \( R\xrightarrow[f ]\,{\mathbb{S^1-\{p\}}} \) mediante la proyección estereográfica. Creo entender el mecanismo, y el porque de la compatificación es necesaria, pues mediante un homeomorfismo se pueden estudiar propiedades en un compacto, donde existen más resultados y teoremas sobre los cuáles desarrolar. Pero en la práctica, no consigo encontrar dicha compactificación. Por ejemplo para ¿\( M = [0,1) \cup{[2,3)} \), \( M=\mathbb{N} \) cuales serían su compactificación?

¿El hecho de que se defina así \( \tau^{*} \) es para que sea hausdorff?

Si tenéis alguna referencia que trate sobre esto con ejemplos, contenidos teóricos sería interesante pegarle un vistazo.

Gracias de antemano.

Saludos,

19
Topología (general) / Conexión: el peine del topólogo
« en: 22 Febrero, 2018, 01:11 am »
Hola buenas noches, necesitaría alguna orientación sobre como demostrar formalmente que un conjunto es conexo, pero no conexo por caminos (casi análogo al seno topólogo).
Se trata de rectas verticales situadas en \( x=1, x=1/2 ... x=1/n \)  llamado espacio 'peine' \( P = \left( [0 , 1]\  \times\  \{0 \} \cup{}   \bigcup_{n=1}^{\infty}{   \left \{ \displaystyle\frac{1}{n} \right  \}\  \times\  [0 , 1]  }  \right) \).

Entonces \( Y = P \cup{} \{ (0,0)\} \) es conexo pero no por caminos. Luego existirán dos puntos tales no exista una funcion continua (camino) \( \lambda : [0,1]\rightarrow{Y} \) con \( \lambda(0) = (0,1) \) , \( \lambda(1) = (0,0) \). Por tanto si realizo la prueba por reducción al absurdo, he de llegar a una contradicción. No sé concretar muchos mas detalles de la prueba, ni en en qué consistiría dicha contradicción.

Gracias de antemano.

Saludos,

20
Topología (general) / Ejemplo de aplicación continua (I)
« en: 13 Febrero, 2018, 05:56 pm »
Hola buenas tardes, tengo dudas sobre como formar la siguiente aplicación.
     Se considera \( f:\mathbb{S}^2 \rightarrow{SO(3)} \) que va desde la \( 2 \)-esfera, a el grupo ortogonal especial dada por:

           \( \begin{bmatrix}{2x^2 - 1}&{2xy}&{2xz}\\{2xy}&{2y^2 -1}&{2yz}\\{2xz}&{2yz}&{2z^2-1}\end{bmatrix} \). Entonces ha de cumplir que la imagen es una matriz ortogonal si su determinante es 1 (y calculando) se tiene que es 1 si \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).

Dentro de las peculiaridades/usos de esta matriz por ahora me interesa en como se forma. Para cada punto \( (x,y,z) \in \mathbb{S}^2 \) se determina el eje de rotación, que rota los puntos 180º. Entonces conociendo la forma que tiene una rotación de 180º en una base ortonormal bien orientada, no consigo encontrar dicha base ortonormal (para realizar \( P^{-1}R_\theta P \)). Si \( (x_0,y_0,z_0) \) \(  \in  \mathbb{S}^2 \)  el vector que une el origen con dicho punto es unitario, y me faltarían \( v_2 \), \( v_3 \) para completar la base ortonormal \( B \).


Gracias de antemano! , Saludos.

Pd: Un uso de esta aplicación sería para probar que SO(3) como subespacio topológico de GL(3) es conexo.

Páginas: [1] 2 3 4 5