El Teorema de Cantor dice, a grosso modo, que dado un conjunto \( A \) cualquiera su conjunto potencia \( P(A) \) siempre será mayor por contener más elementos. Este teorema llevó a Cantor a concebir la existencia de infinitos mayores que otros; como por ejemplo, que el conjunto potencia de los naturales es mayor que el conjunto de los naturales.
La demostración de este teorema para conjuntos finitos es simple y directa empleando inducción, con la que se determina que el conjunto potencia de cualquier conjunto de \( n \) elementos siempre tendrá \( 2^n \) elementos. Así, para un conjunto de 3 elementos su conjunto potencia tendrá 8 elementos: \( \left |{A}\right |=3\longrightarrow{\left |{P(A)}\right |}=8 \).
Para demostrar que en conjuntos infinitos, acaso el conjunto de los naturales por ejemplo, también se cumplía el hecho de que el conjunto potencia era mayor que el propio conjunto, Cantor utilizó una imponente
reducción al absurdo:
Consideró que para un conjunto cualquiera \( A \) era posible generar, o definir, un subconjunto \( B \) muy peculiar, empleando simplemente 2 exigencias:
1) Como subconjunto de A tenía que estar formado, sí o sí, por elementos de A.
2) Por definición, Cantor exigía que este conjunto B no pudiese ser jamás una imagen de ningún elemento de A, diciendo: ningún elemento de B, que como hemos dicho en 1) pertenece a A, puede pertenecer a una imagen de A.
Formalmente el conjunto B, con ambas exigencias, se define así: \( \exists{B}: B=\left\{{x\in{A},x\not\in f(x)}\right\}\subseteq{A} \).
Y, entonces, una vez definido este conjunto \( B \), Cantor establecía como
suposición inicial la existencia de una función \( f \) biyectiva entre el conjunto \( A \) y el conjunto \( P(A) \). Es decir, partía de la suposición de que ambos conjuntos tienen los mismos elementos y, por consiguiente, todo elemento de \( P(A) \) es imagen de un único y exclusivo elemento de \( A \).
A raíz de esta suposición, junto con la idea de que a priori existe el conjunto \( B \), Cantor nos muestra que nos vamos directos una contradicción o paradoja:
a) Si \( B \) contiene elementos de \( A \), como indica la propia definición de \( B \), entonces \( B \) es un elemento de \( P(A) \), puesto que los elementos de \( P(A) \) son, precisamente, todos los subconjuntos posibles de \( A \). Ahora bien, dado que por la función \( f \) suponemos que todo elemento de \( P(A) \) debe ser una imagen de algún elemento de \( A \), el conjunto \( B \), como elemento de \( P(A) \), será una imagen de un elemento de \( A \). Sin embargo, si \( B \) es una imagen de \( A \), entonces \( B \) no contiene elementos de \( A \), porque así ha sido definido \( B \).
b) Y si \( B \) no contiene elementos de \( A \), entonces \( A \) ya no será un elemento de \( P(A) \), con lo cual ya no podrá ser una imagen de \( A \) por la función \( f \). En otras palabras, entonces el conjunto \( B \) ya no será propiamente el conjunto \( B \), porque por definición \( B \) contiene sólo elementos de \( A \), y por consiguiente, es siempre un elemento de \( P(A) \).
A raíz de esta contradicción Cantor deduce que la suposición inicial según la cual existe una función \( f \) biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \), incluso en el caso que \( A \) tuviese infinitos elementos, es falsa, y que lo cierto es que \( P(A) \) es siempre mayor que \( A \).
Sin embargo, la demostración general que nos presenta Cantor, vista así, genera ya dudas:1) ¿Cómo demuestra Cantor la existencia a priori de este conjunto \( B \) como elemento de \( P(A) \) que nunca puede ser imagen de \( A \)?
2) Si parte de la idea de que ya existe un elemento en \( P(A) \)que no puede ser imagen de ningún elemento de \( A \), entonces no será ninguna sorpresa hallar una contradicción cuando razona partiendo de la suposición de que todos los elementos de \( P(A) \) son imágenes de \( A \). ¿no está empleando aquí una falacia de petición de principio? ¿Esta demostración no es una construcción lógica ya viciada desde su inicio?
Pero estas dudas sólo serían el comienzo de otras más:Tenemos, que según el teorema de Cantor, incluso para conjuntos infinitos como el de los naturales por ejemplo, resulta imposible hallar una función \( f \) biyectiva entre ellos y su conjunto potencia \( P(A) \). Y, aquí tengo ya muchas dudas. A continuación expongo una de ellas, centrándome en el análisis del conjunto de los naturales:
\( \exists{N} \): \( N=\left\{{1,2,3...,n,...}\right\} \) como un conjunto de infinitos elementos. De modo que en \( N \) existen infinitos subconjuntos \( C_n \):
\( C_n=\left\{{1,2,3...,n}\right\} \) como un conjunto de un número, n, finito de elementos. Por ejemplo:
\( C_1=\left\{{1}\right\}, C_2=\left\{{1,2}\right\}, C_3=\left\{{1,2,3}\right\}, C_4=\left\{{1,2,3,4}\right\}, ..., C_{107}=\left\{{1,2,3,4,...107}\right\} \),...
De modo que:
\( \left |{N}\right |=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{C_n}\right |} \)
Entonces:Dado \( N \), \( \exists{P(N)}: P(N)=\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\},\left\{{3}\right\},...,\left\{{1,2,3,...n}\right\},...\right\} \), como el conjunto de todos los subconjuntos de \( N \) posibles.
Premisa:\( \exists{f}:N\rightarrow{P(N)} \), tal que \( f \)es inyectiva.
Ejemplo: \( f(1)=\left\{{\emptyset}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(4)=\left\{{1,2}\right\} \)
Reflexión: Cabe tener en cuenta que para cada subconjunto \( C_n \) también existirá su conjunto potencia \( P(C_n) \), que se relacionará con él también mediante la función \( f \). Luego, vale reconocer que en cada uno de estos subconjuntos sí se aplica el teorema de Cantor, puesto que estamos ante conjuntos finitos, dándose el cálculo ya dicho al principio del post:
\( \left |{C_n}\right |=n \longrightarrow{\left |{P(C_n)}\right |=2^n} \)
Por lo tanto, cabe tener en cuenta que:
\( \left |{P(N)}\right |=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{P(C_n)}\right |}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{2^n} \)
Luego, de algún modo lo que te dice Cantor es que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n}=\left |{N}\right |<\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{2^n}=\left |{P(N)}\right | \)
Y es cierto que:
\( \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{2^n}}{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n}}=\infty \).
Sin embargo, aquí los límites sólo nos indican los crecimientos de las dos funciones \( h(n)=n \), \( g(n)=2^n \), diciéndonos que la función \( g(n)=2^n \) crece mucho más rápido que la \( h(n)=n \), con lo cual se distancian cada vez más una de la otra. Pero en ningún caso ello nos dice que la función \( g(n)=2^n \) genere valores que no pueda generar jamás la función \( h(n)=n \).
Con motivo, supongo, Cantor no usó los límites para demostrar su teorema.
Sin embargo, si tomamos como falaz el argumento que presenta Cantor por fundamentarse en una petición de principio, y buscamos otra vía para tratar de relacionar el conjunto de los naturales con su conjunto potencia para valorar su tamaño podemos usar técnicas más intuitivas; como las que ya usó el propio Cantor al "demostrar" que el conjunto de los números naturales, los números pares o los racionales son del mismo tamaño.
Vemos que el conjunto de los naturales, \( N \), no es más que coger \( C_n \) y ampliarlo indefinidamente, es decir, tanto como se quiera. De alguna manera es aplicarle la operación de "límite". ¿Y qué ocurre al hacerlo? Veámoslo:
Empezamos con: 1º) \( C_1=\left\{{1}\right\} \), que genera el conjunto potencia \( P(C_1)=\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}},\left\{{1}\right\}\right\} \). Y por la función \( f \) vemos como el único elemento de \( (C_1) \) sólo se puede emparejar con uno de los dos elementos de \( P(C_1) \). Supongamos que \( f \) sea de tal manera que lo empareja con el elemento menor; entendiendo menor como:
Spoiler
\( Primero: \) de dos elementos uno será menor que otro si pertenece a un \( P(C_n) \) menor que el otro.
\( Segundo: \) de dos elementos que pertenecen a los mismos \( P(C_n) \) uno será menor que otro si uno está formado por menos elementos que el otro.
\( Tercero: \)de dos elementos que pertenecen a los mismos \( P(C_n) \) y formados, ambos, por el mismo número de elementos, uno será menor que otro si la suma de sus elementos da un valor menor que la del otro.
Entonces:
\( f(1)=\left\{{\emptyset}\right\} \), dejando el otro elemento de \( P(C_1) \), es decir \( \left\{{1}\right\} \), desemparejado.
2º) \( C_2=\left\{{1,2}\right\} \), que genera el conjunto potencia \( P(C_2)=\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\}\right\} \). Se trata de una simple ampliación de lo anterior. Por tanto, según la función \( f \) tendremos los siguientes emparejamientos:
\( f(1)=\left\{{\emptyset}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1}\right\} \)
Mientras que del conjunto \( P(C_2) \) quedan dos elementos desemparejados de los 4 que contiene: \( \left\{{2}\right\}, \left\{{1,2}\right\} \)
3º) \( C_3=\left\{{1,2,3}\right\} \), que genera el conjunto potencia \( P(C_3)=\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\},\left\{{3}\right\},\left\{{1,3}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{1,2,3}\right\}\right\} \). Y según la función \( f \) tendremos los siguientes emparejamientos:
\( f(1)=\left\{{\emptyset}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{2}\right\} \)
Mientras que del conjunto \( P(C_3) \) quedan 5 elementos desemparejados de los 8 que contiene: \( \left\{{1,2}\right\},\left\{{3}\right\},\left\{{1,3}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{1,2,3}\right\} \)
4º) \( C_4=\left\{{1,2,3,4}\right\} \), que genera el conjunto potencia \( P(C_4)=\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\},\left\{{3}\right\},\left\{{1,3}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{1,2,3}\right\},\left\{{4}\right\},\left\{{1,4}\right\},\left\{{2,4}\right\},\left\{{3,4}\right\},\left\{{1,2,4}\right\},\left\{{1,3,4}\right\},\left\{{2,3,4}\right\},\left\{{1,2,3,4}\right\},\right\} \). Y según la función \( f \) tendremos los siguientes emparejamientos:
\( f(1)=\left\{{\emptyset}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(4)=\left\{{1,2}\right\} \)
Mientras que del conjunto \( P(C_4) \) quedan 12 elementos desemparejados de \( 2^4 \).
En resumen:Inductivamente podemos resumir o generalizar esta situación de forma bastante fácil:
Cada \( C_n \) genera un \( P(C_n) \) formado por \( 2^n \) elementos, de los cuales no se emparejarán hasta que no se amplíe a \( C_{2^n} \). Y este conjunto ampliado, por su parte, tendrá un \( P(C_{2^n}) \) con \( 2^{2^n} \) elementos, los cuales no se emparejarán hasta que no se amplíe a \( C_{2^{2^n}} \). Y así indefinidamente.
Como ya hemos visto al tratarlo mediante límites, está claro que el conjunto potencia de \( C_n \) crece más rápido que el propio \( C_n \), sin embargo, "tarde o temprano" todos los infinitos elementos de los \( P(C_n) \) posibles serán emparejados al crecer \( n \) tanto como queramos.
En otras palabras, dado el conjunto de los naturales resulta imposible hallar, entre los infinitos \( P(C_n) \) que existen y, precisamente, conforman \( P(N) \), a uno sólo que contenga ningún elemento que no pueda estar emparejado con un número natural y por tanto, con \( N \).
Según Cantor esto no debería ser posible, o dicho del revés, debería de haber infinitos elementos en \( P(N) \) sin poderse emparejar jamás con números naturales. O al menos debería haber uno de superespecial sin poder emparejarse:
su conjunto B -
aquel subconjunto de N cuyos elementos no pertenecen a una imagen del propio N. Y esto me parece muy interesante, por raro:
Si este B existiera, no podría ser ningún elemento de un \( P(C_n) \), porque de los infinitos subconjuntos \( P(C_n) \) que configuran \( P(N) \), ninguno de ellos contiene, como hemos vistos, ningún elemento que no pueda emparejarse con \( N \). ¿Qué tipo de conjunto podría ser entonces? Y observando la inducción que hemos hecho me parece que, solamente, podría ser el siguiente:
\( B=\left\{{1,2,3,4,5,6,...,n,...}=N\right\} \)
Es decir, el único subconjunto de \( N \), y por tanto que sería un elemento de \( P(N) \), que quizás no podría ser una imagen de \( N \) sería el propio \( N \).
Paradojas en el infinitoEllo nos lleva a preguntarnos si un conjunto de infinitos elementos, como es el conjunto de todos los naturales, puede ser un subconjunto de sí mismo. Y esto me genera muchas dudas por la naturaleza propia de lo que resulta indefinido y por consiguiente no puede delimitarse y concretarse -
pues, no está claro qué es exactamente.
Tenemos presente, pues, que podemos ampliar los conjuntos \( C_n \) tanto como queramos, y este ampliar tanto como queramos los \( C_n \) es lo que terminamos definiendo como N. Ahora bien, este N nunca es "algo" que se alcance sino un "objetivo hipotético" donde se aproxima siempre la ampliación. Dicho filosóficamente, es una especie de "idea platónica -
la noción de límite es platónica. O dicho matemáticamente, es un elemento irracional, como lo puede ser \( \sqrt[ 2]{2} \), o bien Pi: hablamos de un operar indefinido e interminable sin poder alcanzar jamás un resultado final.
Ciertamente podemos afirmar alegremente que sí consideramos \( N \) como un todo, y en tal sentido como un conjunto; del mismo modo que consideramos que \( \sqrt[ 2]{2} \), o bien Pi son números. Sin embargo lo indefinido no cumple la definición básica de "Todo": como aquello que es mayor que sus partes, -
de hecho, es la razón básica que fundamenta el teorema de Cantor para conjuntos finitos. ¿Cómo lo vamos a tratar, entonces, como un todo, como un objeto cerrado y definido, si no cumple la definición?
Tenemos, que si consideramos que\( N \) es un subconjunto de sí mismo, entonces no es el mayor subconjunto de N. Por ejemplo, y esto ya lo mostró el propio Cantor, el conjunto de los números pares o de los números primos, son subconjuntos que no pueden ser menores que \( N \). De hecho, siguiendo este razonamiento, en \( N \) habría infinitos conjuntos no menores que el propio \( N \).
A boto pronto eso nos puede llevar a pensar, pues, que al final Cantor tenía razón, aunque su demostración genere un montón de suspicacia por la petición de principio sobre la que se sustenta: habría infinitos subconjuntos en \( N \) que, quizás, no puedan ser imagen de elementos de \( N \).
Llegados aquí, ,y después de darle muchas vueltas, pienso que no hay una respuesta clara y definitiva a esta cuestión, sino que habría, como mínimo, 3 opciones; cada una de las cuales nos abrirían "mundos matemáticos distintos":
1) La opción de Cantor: considerar que existen estos subconjuntos infinitos e irracionales, y además no pueden ser imagen de ningún elemento de \( N \).
2) La opción que negaría que estos subconjuntos existiesen y por tanto, ni el conjunto de los naturales sería un subconjunto de sí mismo, ni por consiguiente podríamos considerar los naturales un conjunto propiamente dicho.
3) La opción de considerar la existencia de estos subconjuntos infinitos y sin embargo, destacar que estos pueden ser imagen de algún elemento de \( N \), al ser éste también infinito e irracional.
Esta tercera opción se podría formalizar, quizás, de esta manera:
\( \exists{N}=\left\{{1,2,3,4,...,n,...,w}\right\} \) donde \( n \) es un "
número natural concreto" y bien definido, y \( w \) es un "
número natural que puede ser tan grande como queramos".
Esta consideración nos permite admitir la existencia de infinitos números naturales, \( w \), tan grandes como queramos. Es decir, dentro de los naturales habría el subconjunto de los números \( w \). Estos números \( w \) tendrían la peculiaridad de que, a diferencia de los naturales concretos, \( n \), no se distinguirían unos de otros por su tamaño, es decir, no habría \( w \) mayores que otros. Simplemente se distinguirían por "
ser números diferentes". Por ejemplo:
\( w_1=...36547891 \)
\( w_2=...23454345 \)
\( w_3=...23454345 \)
Queda claro que \( w_1\neq w_2=w_3 \), sin embargo esta diferencia no se debe a su tamaño, pues ambos son infinitos. Su diferencia es "cualitativa". Y esto, al menos a bote pronto, resulta raro porque de ordinario definimos los números como cantidades. Mirándolos así nos lleva a verlos, simplemente, como formas ordenas o como "tipos de ordenamientos".
En definitiva.Me he alargado mucho, con lo cual lo dejo aquí. Insisto que no son más que dudas y posibles respuestas a tales dudas. En todo caso, quizás el punto clave sea discutir sobre si la demostración de Cantor para conjuntos infinitos es o no es una falacia argumentativa basada en una simple petición de principio.
Un saludo
