Hola!

Demostrar que si \( \gcd(a,b)=1 \) entonces \( \gcd(b+2a,b+3a)=1 \).

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He partido de que existen enteros \( s,t \) tal que \( 1=sa+tb \) y he hecho por partes:

1) \( 1=sa+t(b+2a-2a)=a(s-2)+t(b+2a)\quad(A)\implies\gcd(a,b+2a)=1 \)

2) \( 1=sa+t(b+3a-3a)=a(s-3)+t(b+3a)\quad(B)\implies\gcd(a,b+3a)=1 \)

Haciendo \( (A)*(B) \):

\( (a(s-2)+t(b+2a))(a(s-3)+t(b+3a))=1 \)

pero no he podido seguir desde aquí.

¿Alguna sugerencia?

Gracias!!
Saludos

Hola!

Contestando este hilo se me ocurrió el siguiente "algoritmo" (no sé si llamarlo así, quizás una receta o estrategia general) para establecer la manera en que se resuelven ecuaciones/inecuaciones (y no sé si más cosas):

1. Si supones que una ecuación no tiene solución, pues no tienes nada que probar, no hay ningún valor de \( x \) que verifique.

2. Si supones que una ecuación sí tiene solución, te interesa saber cuál o cuáles valores de \( x \) verifican dicha ecuación.

- 2.1. Si por el camino no te topas con ninguna contradicción, ¡felicidades! Has hallado las soluciones de la ecuación.

- 2.2. Pero si te topas con una contradicción, esto significa que tu suposición de "Esta ecuación tiene solución" (es decir, es resoluble) era falsa, por lo tanto la ecuación no tenía soluciones.

Faltarían ver muchos aspectos, por empezar hablo de una variable pero no sé cómo sería para el caso de varias variables (sistema de ecuaciones con más de una incógnita).

Quisiera saber si estoy muy errado con el razonamiento, porque esa receta es la que habitualmente sigo en mi cabeza, o al menos en un nivel escolar / universitario que es por donde me manejo yo.

Supongo que estoy hablando de algo como "la teoría sobre solubilidad de ecuaciones" (por la "solubilidad de la quíntica" haciendo referencia a las soluciones de una ecuación de quinto grado ), quizás hay una teoría desarrollada o no sé si se me ha ido la olla.

Gracias!!
Saludos

Hola!

Tenemos 2 grafos. Comprobamos que son isomorfos a través de sus matrices de adyacencia. Y coinciden.

Ahora queremos averiguar si existe otro isomorfismo. Para saber si existe otro isomorfismo distinto (ordenamiento de vértices tal que las matrices sigan siendo iguales), ¿es necesario que dos filas sean iguales (o dos columnas, ya que la matriz de adyacencia es siempre simétrica)? En ese caso tendríamos otro isomorfismo (otra función biyectiva).

¿Y también es suficiente?

O sea mi pregunta viene a raíz de un ejercicio que daban 2 grafos y pedía elegir una opción y decía "Existe un isomorfismo" o "Existe más de un isomorfismo". Y pensando un poco me di cuenta que si la matriz tenía dos filas (columnas) iguales, al intercambiarlas de lugar (tanto las filas como las columnas), la matriz seguía siendo la misma, por ende encontramos otro isomorfismo. Pero no sé si 1) Esto está bien pensado, 2) Alcanza para decir que es otro isomorfismo, 3) Existe otra manera sencilla de decir si el isomorfismo es único o no.

¿Pueden contestarme 1), 2) y 3), por favor?

Gracias!!
Saludos

Hola

Siguiendo una idea similar a la propuesta por Carlos en otro hilo, les quiero compartir unas diapositivas en pdf que preparé hace unos años para un curso universitario en el que fui ayudante.

Se trata sobre 2 ejercicios de relaciones de recurrencia donde hay que "pensar" para obtener la fórmula recursiva, y luego muestro cómo se obtiene la no recursiva por los métodos tradicionales. Probablemente los haya consultado antes aquí o en MSE, para tener la certeza de que no contenían errores gruesos.

Si bien el aspecto general del archivo me ha gustado (y también la secuencia didáctica), no pude solucionar (o no tenía demasiado tiempo, creo) algunos espacios en blanco cuando van pasando las diapositivas. Y algo chulo es que, al menos en Acrobat Reader, se puede ver la transición de desvanecer que utilicé de la clase beamer.

Si alguien tiene aportes, serán bienvenidos.

Saludos

Hola!

Recientemente se estrenó en la pantalla de un canal argentino un programa llamado "Los desconocidos de siempre". Aquí puede verse una emisión:


Mi intención no es que miren todo el programa (bastante aburrido en mi opinión), pero me llamó la atención algo casi al final del programa, por el minuto 1:05:15:

En la segunda mitad del programa, el participante debe descubrir la persona entre 10 en total que guarda parentesco con un "pariente misterioso" que se esconde detrás de un panel (familiar sanguíneo). Así que en general el aspecto físico del pariente misterioso es generalmente parecido a uno de los 10 desconocidos.

En primer lugar el conductor revela el pariente misterioso y lo pone enfrente del concursante.

Luego, procede a hacerle dos preguntas al participante: Si arriesga y gana, duplica el saldo que tenía en ese momento. Si no, puede elegir que el conductor descarte 5 de los 10 y juega por la mitad del saldo que llevaba hasta ese momento. Hasta ahí, ningún problema.

Si elige esta última opción (luego de que haya una pista gratis que da el conductor que consiste en que los desconocidos y el pariente misterioso se pongan de perfil, por ejemplo para ver la forma de la nariz), entonces el conductor procede a preguntarle cuál de los 5 que quedan es, para el participante, el que guarda el parentesco sanguíneo.

Cuando confirma su elección, este desconocido elegido por el participante se pone al lado del pariente misterioso. Y ahora es donde viene mi pregunta:

De los 4 desconocidos que quedaron sin elegir, el conductor procede a descartar 3 y hace poner al desconocido que queda al otro costado del pariente misterioso. Y le pregunta al participante si se mantiene en su elección, o cambia de desconocido.

Finalmente, quedan 2 opciones ("El botón del arrepentimiento"): El participante puede cambiar su elección original por el otro desconocido que queda (pero juega por el 10% del dinero acumulado), o sino se mantiene en su elección y juega por el dinero que tenía (la mitad).

Cuando el conductor, de manera "gratuita", descarta a 3 participantes, ¿no es lo mismo que en el problema de Monty Hall cuando, una vez elegida la puerta, el conductor le abre una de los 2 puertas restantes y le pregunta si quiere mantener su opción o cambiar de puerta?

Es decir, probabilísticamente, yo pienso que siempre le conviene cambiar de desconocido porque las probabilidades no se mantienen, tal como es en el problema de Monty Hall. Si es así, qué mal planificación de los productores del programa .

¿Estoy en lo correcto? ¿Siempre le conviene descartar la mitad de los 10? ¿Siempre le conviene descartar 3 de los 4 que quedan? En caso afirmativo, ¿cómo quedan las probabilidades cuando descarta a 3 desconocidos?

Gracias!!
Saludos

Problemas entretenidos de la Revista Selecciones Argentina, edición Diciembre 2022:


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Problemas entretenidos de la Revista Selecciones Argentina, edición Noviembre 2022:


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Hola!

¿Cuál es el número que restado a \( 11 \) da \( -8 \)?

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Lo vi en un crucigrama y resulta ser que la respuesta tiene 10 casilleros.

Yo lo pensé como \( x-11=-8\to x=3 \), porque \( 3 \) restado a \( 11 \) da \( -8 \), pero según la cantidad de letras se plantea como \( 11-x=-8\to x=19 \), diecinueve.

¿Cuál es la manera correcta de interpretarlo? Fue puesto para que adolescentes de 13 años lo resuelvan.

¿Tiene que ver con la preposición "a"? ¿Si dijera "¿Cuál es el número que restado de \( 11 \) da \( -8 \)?" es como yo lo interpreté?

Gracias!!
Saludos

Hola!

Esta duda que me surgió cuando empecé a estudiar Lógica (no en profundidad). Por eso no quise preguntar porque considero que es muy básica, pero hasta el día de hoy en mi cabeza no le encuentro la vuelta para encajar las cosas.

Supongo que escucharon muchas veces frases como:

La justicia investiga la hipótesis de suicidio. Sin embargo aun no fue probado, por lo que queda la puerta abierta a que haya sido un crimen.

Los investigadores creen que se trata de un nuevo virus. Un estudio llevado a cabo hace unas semanas le da más fuerzas a dicha hipótesis, sin embargo para probarla deben realizar más investigaciones.

Creo que el ejemplo que tenía en mi cabeza hace un rato no coincide exactamente con alguna de las frases que inventé. Si me acuerdo bien lo agrego.

Pero mi duda viene a raíz de que oigo decir que primero uno hace una hipótesis, y luego hay que demostrar la hipótesis, sino no vale el argumento.

Haciendo una analogía con la lógica que yo estudié, esta dice que si uno tiene una proposición \( p\to q \) y la quiere demostrar, usando el método directo, se parte de que la hipótesis \( p \) es verdadera y se trata de demostrar la tesis \( q \).

Pero en los ejemplos que di, parece que se tiene \( p\to q \) y se quiere demostrar que la hipótesis que se propuso, o sea \( p \), es verdadera. ¿No está mal este modo de razonamiento? Dado que si se tiene \( p\to q \) lo que se prueba es \( q \), no \( p \).

En primer lugar, ¿los dos ejemplos que di tienen correspondencia con la realidad o dije cualquier cosa?

En segundo lugar, si están bien armadas, ¿no se estaría queriendo demostrar la hipótesis? ¿O en realidad los 2 enunciados no son de la forma \( p\to q \) sino que solo hay una proposición, digamos \( m \), que se tiene que demostrar? En este caso si no es un condicional, no sé por qué le llaman "hipótesis", si eso es válido solamente cuando se tiene un antecedente y un consecuente.

Espero haberme expresado bien con la duda. Si algo no quedó claro con gusto trataré de despejar dudas.

Gracias!!
Saludos

Problemas entretenidos de la Revista Selecciones Argentina, edición Septiembre 2022:


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