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\( \def\lcm{\operatorname{lcm}} \)Hola!!

Me gustaría entender la prueba de que

\( \Bbb Z_{nm}\approx\Bbb Z_n\times\Bbb Z_m\iff\gcd(n,m)=1 \)

en base a lo que Luis establece aquí:

Fíjate que para cualquier \( (a,b)\in \Bbb Z_n\times \Bbb Z_m \), para cualquier múltiplo común \( k \) de \( n,m \) se tiene que:

\( k(a,b)=(ka,kb)=(0,0)\in \color{red}\Bbb Z_n\color{black}\times \Bbb Z_m \)

por ser \( ka,kb \) múltiplos respectivamente de \( n \) y \( m \).

Por tanto el mayor subgrupo cíclico contenido en \( \Bbb Z_n\times \Bbb Z_m \) a lo sumo tiene orden \( m.c.m(n,m) \)  (mínimo común múltiplo de \( m \) y \( n \))

Si \( g.c.d(n,m)>1 \) entonces:

\( m.c.m(n,m)=\dfrac{nm}{g.c.d(n,m)}<nm \)

por tanto  el mayor orden de un subgrupo cíclico de \( \Bbb Z_n\times \Bbb Z_m \) es menor que su orden, luego no es un grupo cíclico y no puede ser isomorfo a \( \Bbb Z_{nm} \).

Entiendo que está demostrando \( \implies \), así que lo dividiré en 2 partes:

1. El mayor subgrupo cíclico contenido en \( \Bbb Z_n\times\Bbb Z_m \) tiene a lo sumo orden \( \lcm(n,m) \).

2. Reducción al absurdo.

De 1:

¿"mayor subgrupo cíclico" significa "subgrupo cíclico con el mayor cardinal"?

Empieza tomando \( (a,b)\in \Bbb Z_n\times \Bbb Z_m \). Luego entiendo que define \( k=\lcm(n,m) \) y muestra que \( (ka,kb)=(0,0) \), pero... ¿cómo que \( ka \) es múltiplo de \( n \) (ídem para \( m \))?

Entiendo que para todo \( n \), \( n\mid n \), luego \( n\mid kn \), pero si quisiéramos hablar de \( a \) deberíamos decir "El subgrupo generado por \( a \)", entonces quedaría \( \lvert\langle a\rangle\rvert\mid n \) (teorema de Lagrange), ¿y luego qué?

Además no entiendo cómo de ahí se concluye que el mayor subgrupo cíclico contenido en \( \Bbb Z_n\times\Bbb Z_m \) tiene a lo sumo orden \( \lcm(n,m) \).



De 2:

Como \( k \) es el mayor orden de un subgrupo cíclico de \( \Bbb Z_n\times \Bbb Z_m \) y si suponemos \( \gcd(n,m)>1 \), tenemos que \( \lcm(n,m)<nm \), lo cual es un absurdo. ¿Aquí estamos usando que si \( \langle a\rangle=\Bbb{Z}_i \) entonces \( \lvert\langle a\rangle\rvert=\lvert\Bbb{Z}_i\rvert \)?



Por otro lado, quisiera demostrar \( \gcd(n,m)=1\implies\Bbb Z_{nm}\approx\Bbb Z_n\times\Bbb Z_m \).

¿Podríamos definir primero una función de \( \Bbb Z_{nm} \) a \( \Bbb Z_n\times\Bbb Z_m \), comprobar que sea homomorfismo, biyectiva y usando que \( \gcd(n,m)=1 \)?

Para eso pensé en definir \( f\colon\Bbb Z_{nm}\to\Bbb Z_n\times\Bbb Z_m\mid f(x)=([x]_n,[x]_m) \).

\( f \) es homomorfismo pues para todo \( x,y\in\Bbb{Z}_{nm} \): \( f(x+y)=([x+y]_n,[x+y]_m)=([x]_n+[y]_n,[x]_m+[y]_m)=([x]_n,[x]_m)+([y]_n,[y]_m)=f(x)+f(y) \).

\( f \) es inyectiva pues si \( f(x)=f(y) \) entonces \( ([x]_n,[x]_m)=([y]_n,[y]_m) \) luego \( [x]_n=[y]_n \) y \( [y]_n=[y]_m \), pero no sé cómo concluir \( x=y \) porque por ejemplo \( [2]_6=[8]_6 \) y sin embargo \( 2\neq8 \) ???.

\( f \) es sobreyectiva, significa que para todo \( ([x]_n,[x]_m)\in\Bbb Z_n\times\Bbb Z_m \) existe \( x\in\Bbb Z_{nm} \) tal que \( f(x)=([x]_n,[x]_m) \). ¿Cuál \( x\in\Bbb Z_{nm} \) en particular habría que elegir para que se de la igualdad entonces?

Gracias!!
Saludos

2
Teoría de Conjuntos / Sobre las operaciones entre conjuntos
« en: 21 Septiembre, 2020, 08:59 pm »
Hola!

Recientemente he mirado el video de QuantumFracture sobre los disparates de las "demostraciones" de que \( 1=0 \) y en uno de las supuestas "pruebas" se cancelan dos expresiones de una integral idénticas.

Sabemos que \( \int f(x)\,\mathrm{d}x \) es una integral indefinida que es un CONJUNTO de soluciones distintas tales que su derivada es precisamente \( f(x) \). De esto no tengo problemas, es un CONJUNTO.

Mi pregunta es, cuando vemos las propiedades de la integral indefinida y las tratamos como conjuntos (que lo son), ¿estamos usando propiedades de ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ETC?

Por ejemplo \( \int(f(x)+g(x))\,\mathrm{d}x=\color{red}\int f(x)\,\mathrm{d}x\color{black}+\color{blue}\int g(x)\,\mathrm{d}x \). ¿Aquí se define \( \color{red}A\color{black}+\color{blue}B\color{black}=\{x\mid x=a+b,\;a\in A,\;b\in B\} \)? ¿Lo mismo para la resta? Sino ¿cómo se daría la igualdad entre ambos miembros de la igualdad?

No sólo sucede con integrales sino con cualquier tipo de objeto matemático, incluidos los polinomios. Por ejemplo \( 2x^2+5+x^2=3x^2+2 \), aquí sabemos que cada sumando es una función matemática, y las FUNCIONES son CONJUNTOS.

El quid de la cuestión que vengo a preguntarles es si estas operaciones tan naturales para nosotros, ¿por qué no se estudian en un curso de teoría de conjuntos? Se define \( A\cup B \), \( A\cap B \), \( A\setminus B \) pero NO \( A+B \), \( A-B \), \( A\cdot B \) etc. con \( A,B \) conjuntos. ¿Por qué?

Gracias!!
Saludos

3
Hola!

Sea \( R \) una relación de equivalencia definida en \( \Bbb{N}^2 \) tal que \[(x,y)R(w,z)\iff2(x-w)=z-y.\] Hallar clases de equivalencia y conjunto cociente.



En primer lugar encontré que \( 2(x-w)=z-y \) es equivalente a \( 2x+y=2w+z \). Ahora procedo a buscar algunas clases particulares:

\( \boxed{[(1,1)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=2\}=\{(1,1)\}. \)

\( \boxed{[(1,2)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=3\}=\{(1,2)\}. \)

\( \boxed{[(1,3)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=4\}=\{(1,3),(2,1)\}. \)

\( [(3,5)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=11\}=\{(1,9),(2,7),(3,5),(4,3),(5,1)\}=\boxed{[(1,9)]}. \)

\( [(2,8)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=12\}=\{(1,10),(2,8),(3,6),(4,4),(5,2)\}=\boxed{[(1,10)]}. \)

\( [(6,3)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=15\}=\{(1,13),(2,11),(3,9),(4,7),(5,5),(6,3),(7,1)\}=\boxed{[(1,13)]}. \)

De esta forma, puedo decir que

\( \boxed{[(a,b)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=2a+b\}} \)

y por lo tanto

\( \boxed{\Bbb{N}^2/R=\{[(a,b)]\mid a=1,\;b\in\Bbb{N}\}}. \)

¿Está bien?

¿Cómo se interpretaría geométricamente? ¿Sería una familia de rectas de pendiente \( -2 \) donde tomamos como representantes a las que tienen primera componente \( x=1 \) y segunda componente un número natural?

Gracias!!
Saludos

P.D. Por otro lado, quizás suene un disparate pero creo que podríamos definir una función \( f\colon\Bbb{N}^2\to\Bbb{N}\mid f(x,y)=x+y \), pero no sé para qué nos serviría.

4
Hola!

En los reales se define la siguiente relación: \( xRy\iff\sin(x)=\sin(y) \). Indicar si produce infinitas clases con infinitos elementos, o infinitas clases con cantidad finita de elementos, o cantidad finita de clases con infinitos elementos.



En primer lugar es claro que \( R \) es de equivalencia.

Para hallar las clases de equivalencia, lo que noté fue que ambas funciones son periódicas y su dominio es todo \( \Bbb{R} \), y para elegir un representante de cada clase hay que buscar la intersección de \( \sin(x)=\sin(y) \). Por ese motivo, lo que elegiría yo sería: Produce infinitas clases con cantidad finita de elementos (elementos entendidos como las abscisas de los puntos de corte).

Sin embargo, tengo entendido que la respuesta es que produce infinitas clases con infinita cantidad de elementos cada clase.

¿Qué dicen ustedes?

Gracias!!
Saludos

5
Hola!

Quisiera chequear con ustedes si las siguientes inecuaciones están bien traducidas:

1) Un número está a una distancia no menor de \( 4.5 \) unidades con respecto a \( 8 \).

2) El anterior de un número está a una distancia mayor de \( 4 \) unidades con respecto a \( 0 \).




1) Representa \( |x-8|\geq4.5 \) que tiene como solución \( (-\infty,7/2]\cup[25/2,+\infty) \).

2) Representa \( |(x-1)-0|>4 \) que tiene como solución \( (-\infty,-3]\cup[5,+\infty) \).

¿Está bien?

Gracias!!
Saludos

6
Hola!

Estaba mirando el video de Edu Sáenz de Cabezón: https://youtu.be/LM68IQvIo_E?t=375 está viendo que \( a_n=2a_{n-1}+1 \) equivale a la fórmula no recursiva \( a_n=2^n-1 \).

Para probar este resultado, lo que conozco es usar inducción, pero lo que hace él (y lo que siempre pensé pero nunca me animé a emitir una opinión), es que, para probar que la no recursiva es equivalente a la recursiva, reemplaza la expresión en la recursiva y comprueba que los dos miembros son iguales. En efecto,

\( a_n=2^n-1=2a_{n-1}+1=2(2^{n-1}-1)+1=2^n-1, \)

pero en mi curso no lo vimos así, sino con inducción. Así que me pregunta es:

¿Es el método de reemplazar en la recursiva y ver que los miembros son el mismo un método válido?

¿Es equivalente a probarlo por inducción?


Gracias!!
Saludos

7
Hola!

Estaba curioseando (una vez más) el excelente libro de Carlos Ivorra "Teoría de conjuntos" https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf, y en la página 13 menciona un dato que me llamó la atención:

En realidad, al restringirnos a NBG, es decir, al aceptar la restricción del axioma de comprensión a propiedades normales, no es que estemos restringiéndonos a NBG, sino más bien estamos observando que todos los resultados que vamos a probar no requieren más que la forma restringida del axioma de comprensión. En ningún momento nos vamos a encontrar con resultados que "nos gustaría" poder demostrar pero no podemos por culpa de la restricción del axioma de comprensión. Para encontrar resultados así (que los hay) es necesario ahondar mucho en las sutilezas lógicas de la teoría de conjuntos, cosa que no vamos a hacer en este libro.

Entiéndase por fórmula normal a una fórmula cuyos cuantificadores sólo recorren conjuntos y no clases (extraído de la página 8).

También observemos la nota al pie de dicha definición:

\( ^3 \) Posponemos hasta el final de esta sección la discusión de por qué hemos restringido el axioma de comprensión a fórmulas normales, pero anticipamos aquí que dicha restricción no es esencial y que podríamos eliminarla sin problemas.

Mi pregunta aquí es:

Los textos marcados en negrita, ¿no son contradictorios? Es decir, ¿no que prescindiendo de las fórmulas normales podremos trabajar sin problemas? Pero el primer texto asegura que sí hay casos en que prescindiendo de fórmulas normales vamos a tener problemas. ¿O estoy completamente equivocado?

En tal caso, me gustaría recibir una explicación y efectivamente leer una explicación de cuáles son dichas sutilezas lógicas que no se ven en el libro, cómo se unen con las ideas del mismo y cuáles son los contraejemplos.

Gracias!!
Saludos

8
Hola!

Hasta hace un rato todo estaba bien, pero cuando me logueo con mi usuario, veo todo el foro con letra más pequeña. Revisé el zoom del navegador y está bien.


Como pueden ver, el encabezado se mantiene igual (salvo traslación y reducción del "08 Agosto"), pero lo de abajo cambia completamente.

He refrescado y usado CTRL+F5 y sigue igual. Cuando accedo al foro como visitante anda todo bien.

¿A alguien más le sucede?

Gracias!!
Saludos

9
Hola!

Estaba leyendo una respuesta en el hilo Negando una definición matemática y me he percatado de que no me deja editar ni agregar nuevas respuestas. Sólo aparece el botón de Eliminar.

¿Qué habrá pasado?

Supongo que cuando geómetracat respondió, tocó algo de la moderación, ¡pobre, que no lo hizo a posta!

Gracias!!
Saludos

10
Lógica / Negando una definición matemática
« en: 06 Agosto, 2020, 10:17 am »
Hola!!

En este hilo se hace mención a una definición matemática, y se la quiere negar.

Sabemos que toda definición matemática es un si y sólo si. O sea uno puede decir algo que está en palabras y traducirlo al lenguaje formal mediante el bicondicional: \( p\iff q \). Lo anterior se lee: "Definimos \( p \) como \( q \)".

Hasta aquí no tengo dudas.



El problema que me surge empieza cuando quiero buscar la negación de dicha definición. Es decir saber cómo se interpreta \( \neg(p\iff q) \).

Pero lo anterior NO equivale a \( \neg p\iff\neg q \) como muchos (incluso yo) podríamos pensar, pues con \( p \) verdadera y \( q \) falsa (o al revés) ya ambas proposiciones son distintas.

Obviamente se pueden usar distintas reglas para afirmar que \( \neg(p\iff q) \) equivale a \( (p\land\neg q)\lor(q\land\neg p) \), pero esto dista mucho de ser una expresión fácil y sencilla de entender.

Mis preguntas son: ¿se puede tomar como válido en las definiciones matemáticas, representadas por \( p\iff q \), que su negación sea \( \neg p\iff\neg q \)? Si no fuera posible, ¿cómo es que se niega una definición matemática?

Gracias!!
Saludos

11
Hola!!

Leyendo un libro que encontré en Internet llamado "How to Prove it" de Daniel J. Velleman (se encuentra en la web), y recordando aquel hilo del foro muy importante para mí: El juego de los números naturales: demostraciones asistidas con Lean, creado por geómetracat, pensé en si había más herramientas que permitiesen probar teoremas matemáticos usando un ordenador. Y la respuesta parece ser sí.

Como Velleman describe en su página académica:

Proof Designer [is] a java applet that writes outlines of proofs in elementary set theory, under the guidance of the user. It is designed to help students learn to write proofs. Proof Designer's approach to proof-writing is similar to the approach used in my book How to Prove it. An old Mac Classic version of Proof Designer is also available.

La página del Proof Designer es: https://app.cs.amherst.edu/~djvelleman/pd/pd.html

Lamentablemente nunca trabajé con applets de Java pero tengo entendido que hay que descargarse un utilitario para manejarlo, aunque dice que también funciona con ciertos navegadores pero la verdad que no supe cómo hacerlo.

Invoco a geómetracat y otros usuarios que quieran sumarse, ¿pueden testear dicha herramienta a ver qué tal? ¿Cómo luce? ¿Cuál es su alcance? Y también pueden dejar su opinión :). Porque no lo pude probar.

Gracias!!
Saludos

12
\( \def\lcm{\operatorname{lcm}} \)Hola!

En este excelente video: Solving a lcm-gcd question. se demuestra que los únicos pares de números naturales \( a,b \) que satisfacen

\( \lcm^2(a,b)-\gcd^2(a,b)=48 \)

son \( (1,7),(7,1),(4,8),(8,4) \).

Sin embargo la prueba me es un poco difícil de llevarla adelante.

Al principio menciona 2 hechos que son bien conocidos. Hasta ahí genial.

Luego establece que \( a=dx \), \( b=dy \), donde \( d=\gcd(a,b) \). De ahí dice que \( x \) e \( y \) son coprimos. Dudas:

1) ¿Por qué puede llamar a las variables así? ¿No se estaría perdiendo generalidad?

2) No lo menciona pero \( x \) e \( y \) vendrían a ser números enteros, ¿verdad?

3) ¿Cómo deduce que en base a eso, \( \gcd(x,y)=1 \) (que son coprimos)?



Por último, cuando está escribiendo \( x^2y^2-1=48 \), hace diferencia de cuadrados, \( (xy-1)(xy+1)=48 \). Hasta ahí genial.

Pero luego dice "Pero lo que hay que recalcar aquí es que los factores deben diferir en una cantidad de \( 2 \) unidades. ¿Se podrá escribir al \( 48 \) como un producto de dos números cuya diferencia sea \( 2 \)?", y la respuesta es que sí pues \( 48=6\cdot8 \).

Dudas:

1) ¿Qué propiedades está usando para ver que su diferencia debe dar \( 2 \)? ¿En dónde lo dice?

2) ¿Por qué el \( 48 \) busca escribirlo como un producto y no con otras operaciones? Por ejemplo la suma o resta.

Ya sé que podría haber terminado antes notando que \( x^2y^2=(xy)^2=49 \), y de ahí deduce \( x=y=1,7 \). Pero me gustaría saber su método planteando esas dudas.

Gracias!!
Saludos

13
Hola!

Todos sabemos que cuando leemos "Todos los hombres son negros" uno lo traduce formalmente así: \( \forall x(h(x)\to n(x)) \). Ahí no tengo dudas.

Mi duda viene al querer traducir este otro enunciado: "Existen hombres que son negros". La traducción no es \( \exists x(h(x)\to n(x)) \), sino \( \exists x(h(x)\land n(x)) \).

¿Para que se traduzca efectivamente como \( \exists x(h(x)\to n(x)) \) el enunciado debe cambiar a "Existen personas que si son hombres, entonces son negros"? ¿O cuando usamos el existencial, ningún enunciado puede traducirse de manera directa usando el condicional?

La pregunta en negrita es la clave para esclarecer mi duda.

Soy consciente de que obviamente dada una proposición \( p \), siempre la podremos convertir en condicional ya que \( p\equiv p\lor p\equiv\neg(\neg p)\lor p\equiv\neg p\to p \). Pero esto ya sería "forzar" al enunciado original a escribirse como otra cosa equivalente.

Espero me sepan entender y sino estoy dispuesto a aclarar lo que haga falta.

Gracias!!
Saludos

14
Hola!

Existe una página de Internet que te permite ejecutar cualquier tipo de documento hecho en LaTeX sin programas, completo, gratis y sin registrarse.

Se trata de


y su compilador puede encontrarse en varias secciones (trata sobre aprender LaTeX en línea). Rápidamente puede encontrarse uno de ellos aquí: https://www.learnlatex.org/en/lesson-03

Se puede compilar gráficos, probar paquetes, etc. Las limitaciones son que no puede usarse para poner imágenes (sólo las que ya vienen como example-image) ni tampoco sirve para ejecutar grandes documentos, con muchas líneas de código.

Espero que les sea de utilidad.

Saludos

15
Teoría de Conjuntos / Resolver enunciado con datos de conjuntos
« en: 13 Julio, 2020, 12:54 am »
Hola!!

Se pide indicar si se puede buscar el resultado con los datos del enunciado, o por el contrario es imposible:

Se sabe que de un grupo de 50 personas, hay 29 que toman té o café, 28 personas toman café o jengibre, hay 4 personas que toman las tres infusiones mencionadas. Los que toman café y no toman jengibre son 14. Los que toman té y no café son 8. Los que toman jengibre y no toman té son 10.

Indicar la cantidad de personas que toman jengibre.

NOTA: Puede haber personas que no tomen ninguna de las tres infusiones.




Lo que recopilé fue:

- \( |T| \) es la cantidad de personas que toman té.
- \( |C| \) es la cantidad de personas que toman café.
- \( |J| \) es la cantidad de personas que toman jengibre.

Entonces con los datos escribí:

1) \( |U|=50 \).
2) \( |T\cup C|=29 \).
3) \( |C\cup J|=28 \).
4) \( |T\cap C\cap J|=4 \).
5) \( |C\cap J'|=14 \).
6) \( |T\cap C'|=8 \).
7) \( |J\cap T'|=10 \).

Y piden: 8) ¿\( |J| \)?

¿Hasta aquí está bien hecha la traducción?

También he pensado en usar estas propiedades si es que están bien:

a) \( |A|=|U|-|A'|\qquad\to\qquad|A'|=|U|-|A| \).
b) \( |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|\qquad\to\qquad|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \).
c) \( |A\cap B\cap C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cup B\cup C| \).

Gracias!!
Saludos

16
Hola!

Estaba viendo el problema 57 de este enlace:

https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/solhoja8_2017.pdf

y me surgió la duda de cómo hallar \( a_3 \).

El problema es sobre relaciones de recurrencia, y dice:

Se quiere recubrir un rectángulo de tamaño \( 2\times n \) con baldosas de tamaños \( 2\times1 \) y \( 2\times2 \). Encuentra una relación de recurrencia para calcular \( a_n \), el número total de recubrimientos diferentes que pueden hacerse.



Pude entender que \( a_1=1 \) y \( a_2=3 \), pero no entiendo por qué \( a_3=5 \).

Si el rectángulo es de \( 2\times 3 \), yo veo que sólo existen 3 formas de poner las baldosas:

- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \) en horizontal.
- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \), \( 1 \) horizontal y \( 2 \) vertical.
- \( 1 \) baldosa \( 2\times2 \) y \( 1 \) baldosa \( 2\times1 \) horizontal.

¿Alguien puede dibujar las situaciones restantes, por favor?

Gracias!!
Saludos

17
Dudas y sugerencias del foro / Renovar Tabla de Fórmulas LaTeX
« en: 30 Junio, 2020, 06:36 am »
Hola

Ya que estamos hablando de diseño, no quiero dejar de mencionar el excelente tutorial más avanzado que tenemos sobre LaTeX: https://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm Por empezar reemplazar Latex por LaTeX >:D :laugh:

La disposición de elementos me parece muy buena, es un excelente instructivo. Pero le falta modernizarse, reemplazando las imágenes por MathJax, cambiando el estilo de las tablas, reemplazando enlaces caídos, quitar lo que diga "en construcción", calibrando tamaño de fuente... ¡Tantos años!

Saludos

18
\( \def\atom{\operatorname{atom}} \)Hola!

Estoy tratando de probar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al conjunto de partes de sus átomos.

Definiciones previas
Definición 1.1 Un álgebra de Boole es una red distributiva y complementada.

Definición 1.2 Sea \( (B,\lor,\land) \). Diremos que \( B \) es un álgebra de Boole si y sólo si se cumple:

1) \( \lor \) y \( \land \) son operaciones cerradas en \( B \).

2) \( \lor \) y \( \land \) son conmutativas.

3) \( \lor \) y \( \land \) son distributivas entre sí.

4) \( \lor \) y \( \land \) tienen elementos neutros \( 0_B \) y \( 1_B \) respectivamente.

5) Todos los elementos de \( B \) tienen complementos.

Definición 2 Sea \( (A,\preceq) \) un conjunto ordenado con primer elemento \( p\in A \). Se dice que \( m\in A \) es átomo de \( A \) si para todo \( x\in A \), \( (x\preceq m\to x=m\lor x=p)\land m\neq p \).

Observación Los átomos son los elementos que "siguen inmediatamente" al primer elemento.

Definición 3 Sean \( (A,\lor,\land) \) y \( (B,\lor',\land') \) dos álgebras de Boole, con primeros elementos \( 0_A \) y \( 0_B \) y últimos elementos \( 1_A \) y \( 1_B \), respectivamente. Un homomorfismo de álgebras de Boole es una función \( f\colon A\to B \) de modo que cumpla las siguientes condiciones:

1) \( f(\overline{a})=\overline{f(a)} \).

2) \( f(a\lor b)=f(a)\lor'f(b) \).

3) \( f(a\land b)=f(a)\land'f(b) \).

4) \( f(0_A)=0_B \).

5) \( f(1_A)=1_B \).

Definición 4 Sea \( f \) un homomorfismo de álgebras de Boole \( A \) y \( B \). Si \( f \) es biyectiva, se denomina isomorfismo de álgebras de Boole y se denota por \( A\approx B \). Para ello es necesario que los conjuntos tengan cardinales iguales.
[cerrar]

Una forma de decir lo mismo sería probar que:

Sean \( (A,\lor,\land) \) y \( B=(\mathcal{P}(\atom(A)),\lor',\land') \) dos álgebras de Boole, con \( \atom(A)=\{m\in A\mid\forall x\in A(x\preceq m\to x=m\lor x=p)\land m\neq p\} \), donde \( A \) tiene primer elemento \( p \). Entonces \( A\approx B \).

¿Está bien escrito y traducido lo anterior? Estoy usando una caracterización algebraica pero bien podríamos haberlo tomado como una red ordenada (en el libro aclara que es un bicondicional).



Si es así, pienso que hay que definir \( f\colon A\to B \) una función y probar que es un isomorfismo. (¿Se debe probar que \( f \) es una función?)

Para ello hay que probar las 5 condiciones de la definición 3 y que \( f \) es biyectiva.

1) Sea \( a\in A \). Al ser \( A \) un álgebra de Boole sabemos que \( \overline{a}\in A \). Y a partir de aquí no sé cómo probar \( f(\overline{a})=\overline{f(a)} \).

Lo mismo me sucede con los otros puntos.

¿Pueden ayudarme por favor? Gracias!!

Saludos

19
Hola!

En \( \Bbb{Z}^2 \) se define \( R \) como

\( (a,b)R(c,d)\iff a+d=b+c. \)

Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.




Ya he probado que es una relación de equivalencia, pero no he podido hallar las clases, no siquiera una en particular, por ejemplo:

\( \operatorname{cl}(1,2)=\{(x,y)\in\Bbb{Z}^2\mid x+2=y+1\}=\text{????} \)

No sé cómo despejar \( x \) e \( y \) pues me parece que sólo hay una ecuación con esas \( 2 \) incógnitas.

Y menos quién es el conjunto cociente y qué representa. ¿Alguien sabe cómo?

Gracias!!
Saludos

20
Docencia / Evaluar con exámenes a distancia
« en: 28 Abril, 2020, 07:10 pm »
Hola!

En tiempos especiales de cuarentena necesitamos recursos extraordinarios. Esto ocurre porque la forma de enseñanza tradicional (la del profesor en el aula y sus alumnos en sus sillas) se tuvo que ajustar a una forma distinta pero conocida por algunos: la enseñanza virtual o a distancia.

Es por ello que vengo a pedirles un consejo, contar una experiencia o simplemente dar su opinión.



En mi universidad todavía no hay una normativa para evaluar a distancia en una instancia tipo examen. Obviamente hay muchas otras instancias de evaluación previas, por ejemplo a través de participación en aula virtual, trabajos prácticos, etc. Me refiero exclusivamente a los exámenes.

¿Alguien tiene experiencia siendo profesor o alumno en esta instancia? ¿Qué herramienta fue avalada legalmente en su universidad? Si tuvieron la suerte de probar más de 1 herramienta para evaluar o ser evaluados, ¿podrían comentar ambas herramientas y dar su opinión acerca de la más completa/útil?

Todavía aquí no es momento de evaluar con examen pero debemos prepararnos en caso de que la cuarentena se extienda.

Muchas gracias!!
Saludos

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