[raistlin]

Hola,

Una relación entre la segunda forma fundamental y tensor métrico es:

\( l^j_i=l_{ir}g^{rj} \)

Como se deduce esa relación?

y luego supongo entonces que estas relaciones también sean correctas no?

\( l_{ik}=l^j_ig_{jk} \)
\( l_{ij}=l^i_jg_{ii} \)

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Una relación entre la segunda forma fundamental y tensor métrico es:

\( l^j_i=l_{ir}g^{rj} \)

Como se deduce esa relación?

No hay nada que deducir. Es por definición. Que los índices de \( l \) aparezacan arriba o abajo significa que se refieren a las componentes del tensor en coordenadas covariantes o contravariantes con respecto a ese índice. El paso de contravariante a covariante se hace multiplicando por \( g^{rj} \).

y luego supongo entonces que estas relaciones también sean correctas no?

\( l_{ik}=l^j_ig_{jk} \)

Si.

\( l_{ij}=l^i_jg_{ii} \)

No sé si es una errata. Sería:

\( l_{ij}=l^k_jg_{kj} \)

Saludos.

[raistlin]

No sé si es una errata. Sería:

No, no es una errata, me refiero a multiplicar por un tensor métrico con los índices repetidos, ¿se podría escribir así?

\( l_{ij}=l^i_jg_{ii} \)

[Luis Fuentes]

Hola

No sé si es una errata. Sería:

No, no es una errata, me refiero a multiplicar por un tensor métrico con los índices repetidos, ¿se podría escribir así?

\( l_{ij}=l^i_jg_{ii} \)

No. Pero esa igualdad no está bien:

\( l^i_jg_{ii}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}l^i_jg_{ii} \)

El resultado sólo de depende del índice \( j \) y no tiene una interpretación en términos del tensor \( l \).

Saludos.

[raistlin]

No lo entiendo,

Si yo tengo \( l_{ik}=l^j_ig_{jk} \) que es la definición correcta, y multiplico a ambos lados por el mismo delta de Kronecker quedaría:
 \( \delta^k_jl_{ik}=l^j_ig_{jk}\delta^k_j \)

Aprovecho el delta para cambiar los índices y quedaría:
\( l_{ij}=l^j_ig_{jj} \)

Con lo que debería ser correcto no?

[Luis Fuentes]

Hola

No lo entiendo,

Si yo tengo \( l_{ik}=l^j_ig_{jk} \) que es la definición correcta, y multiplico a ambos lados por el mismo delta de Kronecker quedaría:
 \( \delta^k_jl_{ik}=l^j_ig_{jk}\delta^k_j \)

Estaría bien si haces:

 \( \delta^k_{\color{red}p\color{black}}l_{ik}=l^j_ig_{jk}\delta^k_{\color{red}p\color{black}} \)

y te quedaría:

\( l_{i{\color{red}p\color{black}}}=l_i^jg_{j{\color{red}p\color{black}}} \)

(con lo que en realidad sólo le has cambiado de nombre al índice \( k \))
 
Pero en \( l^j_ig_{jk} \) el índice \( j \) es un índice auxiliar sobre el cuál estas haciendo un sumatorio; no puedes de repente utilizarlo como un nuevo índice a izquierda y derecha de la igualdad.

Saludos.

[raistlin]

Y \( l_{bb}=g_{ib}l^i_b=\delta^b_ig_{bb}l^i_b \) ¿Esto podria hacerlo?

[Luis Fuentes]

Hola

Y \( l_{bb}=g_{ib}l^i_b=\delta^{\color{red}b\color{black}}_ig_{\color{red}b\color{black}b}l^i_b \) ¿Esto podria hacerlo?

No. De nuevo metes un índice auxiliar que ya está siendo usado en una sumatoria.

Estaría bien así:

\( l_{bb}=g_{ib}l^i_b=\delta^{\color{red}k\color{black}}_ig_{\color{red}k\color{black}b}l^i_b \)

Saludos.

[raistlin]

Y \( g_{bb}g^{rb}=\delta^r_b \)? ¿Este podría hacerlo?
He hecho el sumatorio y lo he comparado con el sumatorio de \( g_{kb}g^{rb}=\delta^r_k \) y yo diría que dan lo mismo..

[Luis Fuentes]

Hola

Y \( g_{bb}g^{rb}=\delta^r_b \)? ¿Este podría hacerlo?

Pero ahí en la expresión de la izquierda el índice \( b \) se contrae, se hace suma en él; no puede aparecer entonces en la expresión de la derecha.

Lo correcto es como lo escribes después:

He hecho el sumatorio y lo he comparado con el sumatorio de \( g_{kb}g^{rb}=\delta^r_k \) y yo diría que dan lo mismo..

Yo en general te diría es que es "raro" que en una fórmula con notación tensorial un mismo índice aparezca tres veces (ojo, raro, no imposible).

Saludos.