Hola
jejeje soy cabezón, perdona, pero es que, por mas que pruebo veo que en ese caso que te pongo si que es posible, te voy respondiendo..
En primer lugar me choca que uses la expresión "es posible que".
Tiene que quedar claro una cosa: estamos discutiendo una cuestión de NOTACIÓN. Evidentemente cada uno puede interpretar la notación como le de la gana y dependiendo de las diferentes interpretaciones se llegaran a diferentes conclusiones.
Se trata de, en la medida posible, adaptarse a las notaciones e interpretaciones acpetadas por "la mayoría" en aras de una buena comunicación.Entonces si desde el principio yo estoy considerando que la aparición de un índice repetido tres veces suponer sumar en él y por tanto su desaparición en el resultado final y tu estás considerando que no es así, que puedes sumar sólo en dos de ellos y dejar el tercero, pues es IMPOSIBLE que lleguemos a la misma conclusión.
No se trata de quien lleva razón; sino que interpretamos una misma notación de manera diferentes.
Entonces lo que cabe preguntarse es si esa notación es la aceptada por la mayoría y por eso te insisto en si en algún sitio has visto la fórmula e interpretación que defiendes. Yo no. Pero no es imposible que algún libro incluyese algún matiz en el convenio. Por eso pregunto si son expresiones que te inventas tu o que has visto en algún sitio y quieres entender.
lo he sacado de esta serie de videos que aunque este en portugués se entiende perfectamente y lo explica de manera muy clara
¿En qué minuto sale la fórmula que tu dices o alguna análoga? No lo veo.
En general \( p i q i r i : \)
¿sería \( p 1 q 1 r i +p 2 q 2 r i
p1q1ri+p2q2ri
? ¿o sería p i q 1 r 1 +p i q 2 r 2
piq1r1+piq2r2
? \)¿o sería \( p 1 q i r 1 +p 2 q 2 r 2
p1qir1+p2q2r2
? \)
seria \( p1q1r1+p2q2r2+p3q3r3+.. \) de ahí la importancia de desarrollar el indice
¡Claro qué sería eso! Es lo que estoy diciendo si aparece la \( i \) tres veces sumas en las tres. ¡Pero tu no haces eso! (o es la impresión que me da, porque entroncas ese error con justo el opuesto, donde aparece un sólo índice de repente ...¡sumas!). Es decir en tus desarrollos o fallas en unca cosa o fallas en la otra.
\( lai \)
NO ES IGUAL a \( l 11 +l 12 +l 21 +l 22
l11+l12+l21+l22 \)
si que es igual, \( l_{ai}=l_{ab}= \)al nombre que quieras poner a los índices, creo que el problema esta en que tu visualizas el índice como algo infinito y yo lo veo como algo finito como por ejemplo el numero de dimensiones utilizadas
¡No!. Yo no visualizo índice como algo infinito. Los índices por ejemplo en dos dimensiones valen o \( 1 \) o \( 2 \).
¿Pero qué tiene que ver eso con que te saques de la manga (disculpa la expresión, pero es que no se donde puedes haber visto tal cosa!) que:
\( l_{ai}=l_{11}+l_{12}+l_{21}+l_{22} \) ?
En realidad \( l_{ai} \) es una abreviatura de la matriz:
\( \begin{pmatrix}l_{11}&l_{12}\\ l_{21}&l_{22}\\\end{pmatrix} \)
Pero no una abreviatura de las suma de los términos de esa matriz. La suma podrías escribirla así:
\( \delta_{aa}l_{ai}\delta_{ii} \)
que no es otra cosa que una abreviatura del producto de matrices:
\( \begin{pmatrix}1&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}l_{11}&l_{12}\\ l_{21}&l_{22}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix} \)
O por ejemplo cuando escribimos que \( g_{ik}g^{kj}=\delta_{i}^j \) es una abreviatura de:
\( \begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\ g_{21}&g_{22}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}g^{11}&g^{12}\\ g^{21}&g^{22}\\\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix} \)
me refiero a que si te aparece un índice repetido, por ejemplo en el tensor de Ricci de una esfera que tiene métrica diagonal, se podría escribir asi: \( R^{aa} \) ¿por que no? si solo se utilizan los índices dobles.
Yo no discuto que pueda escribirse, lo que discuto en su momento es como interpretas esa escritura para terminar llegando a igualdades falsas.
Y según lo que defiendes entonces seria imposible hacer \( R^a_b=R^{aa}g_{ab} \) ¿Por que no?
No es que "sea imposible hacerlo". Es que esa igualdad está mal. Si aceptas que un índice repetido tres veces suma en las tres, es decir:
\( R^{aa}g_{ab}=R^{11}g_{1b}+R^{22}g_{2b} \)
eso da una expresión que sólo depende de
un índice, \( b \). Para \( b=1 \) valdrá una cosa y para \( b=2 \) valdrá otra.
¿¡Cómo va a ser igual a una expresión que depende de
dos índices: \( R^a_b \)??
Sin embargo esta:
si en el caso de la esfera es lo mismo que hacer [tex]R^a_b=R^{ac}g_{cb}
está bien.
Saludos.
