[raistlin]

Dime si esta bien hecho entonces el sumatorio por favor, así se donde me he equivocado..

En \( g_{kb}g^{rb}=\delta^r_k \) he hecho:

\( g_{11}g^{r1}+g_{12}g^{r2}+g_{21}g^{r1}+g_{22}g^{r2}=\delta^r_1+\delta^r_1+\delta^r_2+\delta^r_2 \)
\( g_{11}g^{11}+g_{12}g^{12}+g_{21}g^{11}+g_{22}g^{12}+g_{11}g^{21}+g_{12}g^{22}+g_{21}g^{21}+g_{22}g^{22}=\delta^1_1+\delta^1_1+\delta^1_2+\delta^1_2+\delta^2_1+\delta^2_1+\delta^2_2+\delta^2_2=\delta^r_k \)

Y en \( g_{bb}g^{rb}=\delta^r_b \) he hecho:

\( g_{11}g^{r1}+g_{22}g^{r2}=\delta^r_1+\delta^r_2 \)
\( g_{11}g^{11}+g_{22}g^{12}+g_{11}g^{21}+g_{22}g^{22}=\delta^1_1+\delta^1_2+\delta^2_1+\delta^2_2=\delta^r_b \)

Que por lo que veo son equivalentes, solo cambia el numero de dimensiones con lo que podríamos concluir que \( g_{bb}g^{rb}=\delta^r_b \) es valida no?

[Luis Fuentes]

Hola

Dime si esta bien hecho entonces el sumatorio por favor, así se donde me he equivocado..

En \( g_{kb}g^{rb}=\delta^r_k \) he hecho:

\( g_{11}g^{r1}+g_{12}g^{r2}+g_{21}g^{r1}+g_{22}g^{r2}=\delta^r_1+\delta^r_1+\delta^r_2+\delta^r_2 \)

Esto ya está mal desde el principio. No entiendo esa suma de deltas que pones a la derecha. La expresión \( \delta^r_k  \)no  conlleva ningún sumatorio. Simplemente:

\( \delta^r_k=\begin{cases} 1 & \text{si}& r=k\\0 & \text{si}& r\neq k\end{cases} \)

Entonces:

\( g_{kb}g^{rb}=g_{k1}g^{r1}+g_{k2}g^{r2} \)

El motivo por el cuál eso da \( \delta^r_k \) es porque la matrix \( g_{ij} \) por definición es simétrica y la inversa de \( g^{ij} \). Es decir en realidad la expresión:

\( g_{kb}g^{rb}=\delta^r_k \)

podría considerarse la definición de \( g_{ij} \) a partir de \( g^{ij} \) o al revés.

\( g_{11}g^{11}+g_{12}g^{12}+g_{21}g^{11}+g_{22}g^{12}+g_{11}g^{21}+g_{12}g^{22}+g_{21}g^{21}+g_{22}g^{22}=\delta^1_1+\delta^1_1+\delta^1_2+\delta^1_2+\delta^2_1+\delta^2_1+\delta^2_2+\delta^2_2=\delta^r_k \)

Ahí tampoco entiendo lo que haces.

Y en \( g_{bb}g^{rb}=\delta^r_b \) he hecho:

\( g_{11}g^{r1}+g_{22}g^{r2}=\delta^r_1+\delta^r_2 \)
\( g_{11}g^{11}+g_{22}g^{12}+g_{11}g^{21}+g_{22}g^{22}=\delta^1_1+\delta^1_2+\delta^2_1+\delta^2_2=\delta^r_b \)

Tienes que:

\( g_{bb}g^{rb}=g_{11}g^{r1}+g_{22}g^{r2}  \)

pero es no es igual a \( \delta^r_1+\delta^r_2 \).

Me parece que tienes una confusión crees: crees que el producto de un sólo término \( g_{ik} \) por un sólo término \( g^{kl} \) (para un valor concreto de \( k \)) da \( 0 \) o \( 1 \) dependiendo de los índices \( i \) e \( l \). Pero no es así. Tiene que sumarse en el índice \( k \) para que eso ocurra.

Saludos.

[raistlin]

Si, tienes razón, me estaba confundiendo y usando en g términos individuales.

pero, ahora me ha venido una duda, g no se puede utilizar así, pero delta si, no?

Osea \( \delta^1_1=1 \) y \( \delta^2_1=0 \) ¿correcto?

y si tengo \( \delta^a_a g_{ab}=g_{11}+g_{12}+g_{21}+g_{22} \)  pero si tengo \( \delta^a_a g_{ab}R^{ab}=2R \) ¿correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Si, tienes razón, me estaba confundiendo y usando en g términos individuales.

pero, ahora me ha venido una duda, g no se puede utilizar así, pero delta si, no?

Pero no sé si acabas de entender la idea. No hay ninguna diferencia entre \( \delta \) y \( g \), mas que de \( \delta \) sabemos cuanto valen sus coeficiente y \( g \) no lo sabemos a priori (¡pero si para un ejemplo concreto, cuando es por ejemplo la matriz de una métrica concreta!).

Lo que yo te critico es que si el índice aparece repetido sumas en él.

Y que las relaciones entre \( g^{ij} \) y \( g_{ji} \) (que son matrices inversas una de la otra) involucran a los productos escalares de las filas de una y las columas de otra (por tanto no elemento a elemento).

Osea \( \delta^1_1=1 \) y \( \delta^2_1=0 \) ¿correcto?

Si eso es cierto. Como lo es por ejemplo, para la métrica usual en \( \mathbb{R}^2 \) respecto a la base canónica, que \( g^{11}=1 \) y \( g^{21}=0 \).

y si tengo \( \delta^a_a g_{ab}=g_{11}+g_{12}+g_{21}+g_{22} \)

No. Ahí el índice \( b \) sólo aparece una vez. No sumas en él.

\( \delta^a_a g_{ab}=\delta^1_1g_{1b}+\delta^2_2g_{2b}=g_{1b}+g_{2b} \)

  pero si tengo \( \delta^a_a g_{ab}R^{ab}=2R \) ¿correcto?

Pues:

\( \delta^a_a g_{ab}R^{ab}=g_{11}R^{11}+g_{12}R^{12}+g_{21}R^{21}+g_{22}R^{22} \)

No sé a que estás llamando simplemente \( R \) (ojo, que quizá sea una notación que no conozco).

Fíjate que el \( \delta \) al principio no aporta absolutamente nada.

Saludos.

[raistlin]

Pues cuando se repite el indice sigo sin entenderlo..

Por ejemplo, \( l_{aa}\delta^a_i=l_{ai} \) ¿Sería correcto? 

por una parte, hago el sumatorio \( l_{11}\delta^1_i+l_{22}\delta^2_i=l_{11}\delta^1_1+l_{22}\delta^2_1+l_{11}\delta^1_2+l_{22}\delta^2_2=l_{11}+l_{22} \) 

ahi no veo el \( l_{ai} \) por ningun lado, en todo caso seguiria viendo el \( l_{aa} \)

pero sin embargo si hago \( \delta^a_i=g^{ar}g_{ri} \) y multiplico eso en vez de la delta

\( l_{aa}g^{ar}g_{ri}=l^r_ag_{ri}=l_{ai} \) ahora me sale que es correcto

[Luis Fuentes]

Hola

Pues cuando se repite el indice sigo sin entenderlo..

Por ejemplo, \( l_{aa}\delta^a_i=l_{ai} \) ¿Sería correcto? 

No, no es correcto.

Si en la izquierda aparece el \( a \) repetido, sumas en \( a \). El resultado no puede quedar en función de \( a \).

por una parte, hago el sumatorio \( l_{11}\delta^1_i+l_{22}\delta^2_i=l_{11}\delta^1_1+l_{22}\delta^2_1+l_{11}\delta^1_2+l_{22}\delta^2_2=l_{11}+l_{22} \) 

Lo primero está bien:

\( l_{aa}\delta^a_i=l_{11}\delta^1_i+l_{22}\delta^2_i \)

¡y ya está!. ¿Por qué luego sumas en \( i \)?. El resultado depende del índice i, no tienes que sumar nada más.

ahi no veo el \( l_{ai} \) por ningun lado, en todo caso seguiria viendo el \( l_{aa} \)

No sé que quieres decir con eso.

pero sin embargo si hago \( \delta^a_i=g^{ar}g_{ri} \) y multiplico eso en vez de la delta

\( l_{aa}g^{ar}g_{ri}=l^r_ag_{ri}=l_{ai} \) ahora me sale que es correcto

No eso está mal. De nuevo si el índice \( a \) aparece repetido, el resultado no puede depender de \( a. \)

Lo que es correcto es:

\( l_{ka}g^{ar}g_{ri}=l^r_kg_{ri}=l_{ki} \)

Saludos.

[raistlin]

Si yo tengo una base de vectores y escojo uno individual y lo multiplico por el delta, la base cambia? \( e_1\delta^1_2=e_2 \)?

No estoy seguro, pero si eso es asi, entonces si que creo que se puede demostrar que \( l_{aa}\delta^a_i=l_{ai} \) independientemente del indice a repeido ya que \( l_{11} \) y los demas son \( l_{11}=N_1\cdot{e_1} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Si yo tengo una base de vectores y escojo uno individual y lo multiplico por el delta, la base cambia? \( e_1\delta^1_2=e_2 \)?

No. \( \delta^1_2=0 \). Ese producto es cero.

No estoy seguro, pero si eso es asi, entonces si que creo que se puede demostrar que \( l_{aa}\delta^a_i=l_{ai} \) independientemente del indice a repeido ya que \( l_{11} \) y los demas son \( l_{11}=N_1\cdot{e_1} \)

No. Nunca \( l_{aa}\delta^a_i \) puede ser igual a algo que dependa del índice \( a \).

Está claro que me explico fatal, porque veo que no avanzamos. 

Te enlazo este documento donde se explican las bases de este tipo de notación:

http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf

A ver si ayuda.

Saludos.

[raistlin]

\( e^i\cdot{e_j}=\delta^i_j \), \( e^1\cdot{e_1}=1 \), \( e^1\cdot{e_2}=0 \)

\( \delta^a_il_{aa}=\delta^a_ie_a\cdot{N_a}=l_{ai} \)

\( \delta^1_il_{11}+\delta^2_il_{22}=\delta^1_ie_1\cdot{N_1}+\delta^2_ie_2\cdot{N_2}= \)

(aunque no sea necesario desarrollar el índice, me gusta hacerlo porque así se ve mejor..)

\( =\delta^1_1e_1\cdot{N_1}+\delta^2_1e_2\cdot{N_2}+\delta^1_2e_1\cdot{N_1}+\delta^2_2e_2\cdot{N_2}=e_1\cdot{e^1}\cdot{e_1}\cdot{N_1}+e_1\cdot{e^2}\cdot{e_2}\cdot{N_2}+e_2\cdot{e^1}\cdot{e_1}\cdot{N_1}+e_2\cdot{e^2}\cdot{e_2}\cdot{N_2}=e_1\cdot{N_1}+e_1\cdot{N_2}+e_2\cdot{N_1}+e_2\cdot{N_2}=l_{11}+l_{12}+l_{21}+l_{22}= \)

(desarrollando el índice se puede ver que los valores de i coinciden y queda..)

\( =l_{ai} \)

Con lo que, si que entiendo que no se pueda repetir el índice tal como pone en la documentación que me has pasado (pero ten en cuenta que esa documentación no tiene en cuenta la posibilidad de que haya dentro del tensor un índice doble) aparte del hecho de que no demuestra nada, te lo tienes que creer porque si, con lo que, a no ser que me haya equivocado en algo, se puede concluir que:

\( \delta^a_il_{aa}=l_{ai} \)

(aparte que creo que tiene sentido que se pueda cambiar un índice doble, por que si no, no se le podría hacer nada entonces a un tensor con índice doble)

[Luis Fuentes]

Hola

\( e^i\cdot{e_j}=\delta^i_j \), \( e^1\cdot{e_1}=1 \), \( e^1\cdot{e_2}=0 \)

Supongo que ahí \( e^i \) y \( e_j \) son respectivamente un covector y un vector y ese producto es la imagen del primero actuando sobre el seguno (o en todo caso y con una cierta intepretación ese producto es un producto escalar).

¿Eres consciente de eso? Me parece que estás "olvidando" o "recordando" involuntariamente (no digo que lo hagas a propósito) el significado de los signos que pones en tus expresiones de manera arbitraria.

Las expresiones que insistes en que son correctas, ¿las encuentras en algún libro o te las inventas tu?.

Fíjate que todo esto sobre lo que estamos debatiendo es una cuestión de convenio, de notación; yo estoy interpretando las expresiones según los convenios que (creo) son los más extendidos.

Pero no es imposible que algún libro incluyese algún matiz en el convenio. Por eso pregunto si son expresiones que te inventas tu o que has visto en algún sitio y quieres entender.

Y otro detalle más: la notación tensorial puede usarse sin saber quienes son los tensores a los que nos referimos. Pero por lo que veo tu en lo que sigue estás usando de manera fuerte que \( l \) es la segunda forma fundamental, que \( N \) supongo que es el vector normal y \( N_i  \)su parcial con respecto a la derivada \( i \)-ésima y en fin estas cosas.

\( \delta^a_il_{aa}=\delta^a_ie_a\cdot{N_a}=l_{ai} \)

Yo ya no se como decirlo: si aparece un índice repetido TRES veces no puedes hacer la suma en dos de ellos y dejar el otro. Básicamente eso crearía un problema de posible doble o triple significado.

En general \( p_iq_ir_i \):

¿sería \( p_1q_1r_i+p_2q_2r_i \)? ¿o sería \( p_iq_1r_1+p_iq_2r_2 \)?¿o sería \( p_1q_ir_1+p_2q_2r_2 \)?

\( \delta^1_il_{11}+\delta^2_il_{22}=\delta^1_ie_1\cdot{N_1}+\delta^2_ie_2\cdot{N_2}= \)

(aunque no sea necesario desarrollar el índice, me gusta hacerlo porque así se ve mejor..)

\( =\delta^1_1e_1\cdot{N_1}+\delta^2_1e_2\cdot{N_2}+\delta^1_2e_1\cdot{N_1}+\delta^2_2e_2\cdot{N_2}=e_1\cdot{e^1}\cdot{e_1}\cdot{N_1}+e_1\cdot{e^2}\cdot{e_2}\cdot{N_2}+e_2\cdot{e^1}\cdot{e_1}\cdot{N_1}+e_2\cdot{e^2}\cdot{e_2}\cdot{N_2}=e_1\cdot{N_1}+e_1\cdot{N_2}+e_2\cdot{N_1}+e_2\cdot{N_2}=l_{11}+l_{12}+l_{21}+l_{22}= \)

(desarrollando el índice se puede ver que los valores de i coinciden y queda..)

\( =l_{ai} \)

¿Pero qué conicide? Cuando aparece un índice repetido tres veces te empeñas en arbitrariamente sólo sumar en dos de ellos y de repente cuando aparecen índices NO repetidos los conviertes en una suma, es decir, \( l_{ai} \) NO ES IGUAL a \( l_{11}+l_{12}+l_{21}+l_{22} \).

Con lo que, si que entiendo que no se pueda repetir el índice tal como pone en la documentación que me has pasado (pero ten en cuenta que esa documentación no tiene en cuenta la posibilidad de que haya dentro del tensor un índice doble) aparte del hecho de que no demuestra nada, te lo tienes que creer porque si, con lo que, a no ser que me haya equivocado en algo, se puede concluir que:

\( \delta^a_il_{aa}=l_{ai} \)

(aparte que creo que tiene sentido que se pueda cambiar un índice doble, por que si no, no se le podría hacer nada entonces a un tensor con índice doble)

Aquí ya ni sé que quieres. No sé que quieres decir con "tiene sentido que se pueda cambiar un índice doble". ¿Cómo "cambiarlo"?...

Saludos.