[Marcos Castillo]

Sean \( m \), \( x \) e \( y \) enteros, con \( m\neq{0} \). Pruébese que \( x\mbox{MOD}m=y\mbox{MOD}m \) si y sólo si \( x-y \) es múltiplo de \( m \)."
\( x=mq_1+r \)
\( y=mq_2+r \)
Una implicación:
Restando ambas fórmulas: \( x-y=(q_1-q_2)m \)
Otra implicación:
\( x-y=am \); de aquí es obvio que
\( x=q_1m \)
\( y=q_2m \)
¿Qué tal?. ¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( m \), \( x \) e \( y \) enteros, con \( m\neq{0} \). Pruébese que \( x\mbox{MOD}m=y\mbox{MOD}m \) si y sólo si \( x-y \) es múltiplo de \( m \)."
\( x=mq_1+r \)
\( y=mq_2+r \)
Una implicación:
Restando ambas fórmulas: \( x-y=(q_1-q_2)m \)

Bien; pero para mayor claridad deberías de empezar:

Supongamos que \( x\mbox{MOD}m=y\mbox{MOD}m=r \). Esto significa por definición que existen enteros \( q_1,q_2 \) con:

\( x=mq_1+r \)
\( y=mq_2+r \)

y luego continúas como  has hecho...

Otra implicación:
\( x-y=am \); de aquí es obvio que
\( x=q_1m \)
\( y=q_2m \)
¿Qué tal?. ¡Un saludo!

Pues no. No tiene porque ser cierto que \( x=q_1m. \)

Por ejemplo si \( m=3 \), \( x=11 \) e \( y=8 \) se tiene que \( x-y=1\cdot 3 \) pero \( x \) no es múltiplo de \( 3 \).

Inténtalo de otra forma. En principio tienes que x\( =q_1m+r_1 \) e \( y=q_2m+r_2 \) con \( 0\leq r_1,r_2<m \).

Usando que \( x-y=am \) tienes que deducir que \( r_1=r_2 \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

Premisa

\( x-y=am \)

Punto de partida:

\( x=q_1m+r_1 \)
\( y=q_2m+r_2 \)

Resta de la primera menos la segunda:

\( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \)

La premisa condiciona que los restos deban ser iguales, luego:

\( x-y=(q_1-q_2)m \)

[Luis Fuentes]

Hola

Premisa

\( x-y=am \)

Punto de partida:

\( x=q_1m+r_1 \)
\( y=q_2m+r_2 \)

Resta de la primera menos la segunda:

\( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \)

La premisa condiciona que los restos deban ser iguales, luego:

\( x-y=(q_1-q_2)m \)

No está mal lo que dices, pero la parte que está en rojo no me convence, por dos motivos:

1) Lo que quieres probar es precisamente que los restos son iguales y es cierto que el motivo por el cuál lo son, es la premisa, pero deberías de explicar por qué. Es decir, ¿exactamente por qué de \( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \) y \( x-y=am \) se deduce que \( r_1-r_2=0 \)?.

2) Al final pones: luego \( x-y=(q_1-q_2)m \), pero eso ya es innecesario. Lo que queríamos probar es que \( r_1=r_2 \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, el_manco, dame otra pista, yo solo no me aclaro😥

[sugata]

Ya lo tienes.
\( r_1=r_2 \) para hacer el resto 0, ya que \( x-y \) es múltiplo de \( m \)

[Marcos Castillo]

Muchas gracias! . Un saludo, el_manco y sugata.

[feriva]

Hola, Marcos. Por otra parte piensa que es una doble implicación.

Puedes usar reducción al absurdo; vamos a empezar suponiendo esto:

xMODm igual yMODm no implica x-y múltiplo de” m”.

En este caso (puesto que tienes una doble implicación) puedes empezar también de esta forma, dando por hecho que los restos son iguales pero que x-y no es múltiplo de “m”; y lo que te dice el_manco, explicas un poquillo por qué no puede ser: “miren ustedes, ocurre que, al suponer los restos iguales, éstos se anulan y al sacar factor común “m” la suposición es absurda porque tal...“, como quieras decirlo (en teoría de números es habitual explicar las cosas con palabras un poco, además de escribir fórmulas, se hace más que en otro tipo de demostraciones).

Además, como te dicen “sí y sólo si...” (doble implicación) en rigor, para completar del todo lo que te piden, tienes que suponer lo que ya estabas suponiendo,  que sí que es múltiplo de “m” pero que los restos son distintos; y entonces lo mismo, das una explicación convincente: “Si los restos son distintos los dos, no pueden ser ambos cero, lo cual es imposible porque entonces... ”, es decir, tienes que dar el argumento que tumba a la burra de manera que a nadie le quepa duda de que es así.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ojo, porque todavía falta terminar la demostración.  ¿Exactamente de:

\( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \)

y 

\( x-y=am \)

y otro detalle más que por ahora omito a propósito, como se prueba que \( r_1-r_2=0 \)?.

Por ejemplo si \( x=23 \), \( y=18 \), \( m=5 \), \( q_1=2 \), \( q_2=3 \), \( r_1=13 \), \( r_2=3 \):

se cumple \( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \), es decir, \( 23-18=(2-3)\cdot 5+(13-3) \)

se cumple \( x-y=am \), es decir, \( x-y=1\cdot 5 \)

y sin embargo NO se cumple que \( r_1=r_2 \). El problema está en que este ejemplo no cumple esa tercera cosa que también hay que usar. Entonces piensa que cosa se usa y exactamente como se termina la demostración.

Saludos.

[sugata]

Eres malo y lo sabes....
En mi último mensaje está la pista....