[feriva]

Pues no. No tiene porque ser cierto que \( x=q_1m. \)

Por ejemplo si \( m=3 \), \( x=11 \) e \( y=8 \) se tiene que \( x-y=1\cdot 3 \) pero \( x \) no es múltiplo de \( 3 \).

Inténtalo de otra forma. En principio tienes que x\( =q_1m+r_1 \) e \( y=q_2m+r_2 \) con \( 0\leq r_1,r_2<m \).

Usando que \( x-y=am \) tienes que deducir que \( r_1=r_2 \).

Saludos.

\( x-y=am \)
\( x=q_1m+r_1 \)
\( y=q_2m+r_2 \)
Para que estas tres ecuaciones sean compatibles, los restos deben ser iguales.

Todo ha sido culpa mía, Marcos; la implicación al revés no es cierta, como ya había dejado claro el_manco, perdóname.

Yo había considerado que "m" dividiera a "x" o a "y" o a los dos, olvidando (imperdonáblemente) que también ocurre que no divida a ninguno y sí al total de la suma.

Entonces los restos no tienen por qué ser cero, tiene que ser iguales y eso es lo que tienes que demostrar


EDITADO

Spoiler

\( x=mq_{1}+r_{1}
  \)

\( y=mq_{2}+r_{2}
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+r_{1}-r_{2}
  \)

resto \( (r_{1}-r_{2})=R
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+R
  \)

Si \( r_{1}\neq r_{2}\Rightarrow R\neq0
  \) y, entonces, por definición \( m
  \) no divide \( x-y \) contradiciendo la condición inicial.

Ahí estuvo mi lío al ir escribiendo, al decir "si los restos son distintos, no pueden ser cero ambos", que es verdad, pero no ayuda a la demostración en general; tenía que haber dicho, si los restos son distintos, la diferencia no puede ser cero; o sea, lo que me ha corregido el_manco.

Lo que iba a proponer antes de que terminara el_manco era esto:

Si \( r_{1}-r_{2}=mt\Rightarrow r_{1}=mt+r_{2}
  \)

entonces

\( x=qm+mt+r_{2}=m(q+t)+r_{2}
  \)

Resulta que el resto realmente sería \( r_2 \), que es absurdo, porque no puede haber dos restos distintos; tendríamos que considerar \( mt+r_{2}=r_{2}\Rightarrow mt=0
  \); caso que queda excluido (o que da visto, sería \( t=0;r_2=r_1 \))

Y sólo queda la posibilidad \( R=0 \).

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

\( x-y=am \)
\( x=q_1m+r_1 \)
\( y=q_2m+r_2 \)
Para que estas tres ecuaciones sean compatibles, los restos deben ser iguales.

Si pero hay que justificar porqué.

\( x=mq_{1}+r_{1}
  \)

\( y=mq_{2}+r_{2}
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+r_{1}-r_{2}
  \)

resto \( (r_{1}-r_{2})=R
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+R
  \)

Si \( r_{1}\neq r_{2}\Rightarrow R\neq0
  \) y, entonces, por definición \( m
  \) no divide \( x-y \) contradiciendo la condición inicial.

 Todavía no está bien del todo. En principio de ahí lo que deducimos es que \( r_1-r_2=R \) es múltiplo de \( m \), pero no necesariamente cero.

 Además llamas "resto" a \( R \), pero estrictamente lo que entiende por resto es un número comprendido entre \( 0 \) y \( m-1 \) (incluidos ambos), pero en nuestro caso \( R \) podría ser por ejemplo negativo, luego no es un "resto" en el sentido estricto de la palabra.
 
 El paso clave que falta es usar que \( 0\leq r_1,r_2< m \) y por tanto:

\( r_1-r_2< m-0=m \)
\( r_1-r_2>0-m=-m \)

 por lo que \( |r_1-r_2|<m \)

 Entonces teníamos que \( r_1-r_2 \) era múltiplo de \( m \), es decir, \( r_1-r_2=km \) con \( k \) entero. Ahora:

\( m>|r_1-r_2|=|k||m| \)

y por tanto \( |k|<1 \) y así \( k=0 \) y \( r_1-r_2=km=0 \).

Saludos.

[feriva]

 Todavía no está bien del todo. En principio de ahí lo que deducimos es que \( r_1-r_2=R \) es múltiplo de \( m \), pero no necesariamente cero.

Gracias. Lo estaba pensando mientras me hacía la comida: “se me ha olvidado considerar que R podría ser múltiplo de m”, y a eso venía, a rematar el argumento... pero ya lo has terminado.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola

\( x-y=am \)
\( x=q_1m+r_1 \)
\( y=q_2m+r_2 \)
Para que estas tres ecuaciones sean compatibles, los restos deben ser iguales.

Si pero hay que justificar porqué.

Ya no me quedan argumentos. ¿Podrías justificarme por qué?

[Luis Fuentes]

Hola

Ya no me quedan argumentos. ¿Podrías justificarme por qué?

¡Pero si acabo de escribir la justificación en el mensaje anterior!:

\( x=mq_{1}+r_{1}
  \)

\( y=mq_{2}+r_{2}
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+r_{1}-r_{2}
  \)

resto \( (r_{1}-r_{2})=R
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+R
  \)

Si \( r_{1}\neq r_{2}\Rightarrow R\neq0
  \) y, entonces, por definición \( m
  \) no divide \( x-y \) contradiciendo la condición inicial.

Spoiler

Todavía no está bien del todo. En principio de ahí lo que deducimos es que \( r_1-r_2=R \) es múltiplo de \( m \), pero no necesariamente cero.

 Además llamas "resto" a \( R \), pero estrictamente lo que entiende por resto es un número comprendido entre \( 0 \) y \( m-1 \) (incluidos ambos), pero en nuestro caso \( R \) podría ser por ejemplo negativo, luego no es un "resto" en el sentido estricto de la palabra.

[cerrar]

El paso clave que falta es usar que \( 0\leq r_1,r_2< m \) y por tanto:

\( r_1-r_2< m-0=m \)
\( r_1-r_2>0-m=-m \)

 por lo que \( |r_1-r_2|<m \)

 Entonces teníamos que \( r_1-r_2 \) era múltiplo de \( m \), es decir, \( r_1-r_2=km \) con \( k \) entero. Ahora:

\( m>|r_1-r_2|=|k||m| \)

y por tanto \( |k|<1 \) y así \( k=0 \) y \( r_1-r_2=km=0 \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Perdona!. Entendido por fin. Me había hecho un lio con tanto post. ¡Gracias!.

[Marcos Castillo]

\( x=mq_{1}+r_{1}
  \)

\( y=mq_{2}+r_{2}
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+r_{1}-r_{2}
  \)

resto \( (r_{1}-r_{2})=R
  \)

\( x-y=m(q_{1}-q_{2})+R
  \)

 Todavía no está bien del todo. En principio de ahí lo que deducimos es que \( r_1-r_2=R \) es múltiplo de \( m \), pero no necesariamente cero.

 Además llamas "resto" a \( R \), pero estrictamente lo que entiende por resto es un número comprendido entre \( 0 \) y \( m-1 \) (incluidos ambos), pero en nuestro caso \( R \) podría ser por ejemplo negativo, luego no es un "resto" en el sentido estricto de la palabra.
 
 El paso clave que falta es usar que \( 0\leq r_1,r_2< m \) y por tanto:

\( r_1-r_2< m-0=m \)
\( r_1-r_2>0-m=-m \)

 por lo que \( |r_1-r_2|<m \)

 Entonces teníamos que \( r_1-r_2 \) era múltiplo de \( m \), es decir, \( r_1-r_2=km \) con \( k \) entero. Ahora:

\( m>|r_1-r_2|=|k||m| \)

y por tanto \( |k|<1 \) y así \( k=0 \) y \( r_1-r_2=km=0 \).

Saludos.

Sólo una duda: ¿por qué \( R \) es multiplo de \( m \). No lo veo. Igual está claro, pero no lo veo. ¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Sólo una duda: ¿por qué \( R \) es multiplo de \( m \). No lo veo. Igual está claro, pero no lo veo. ¡Un saludo!

Porque por hipótesis, \( x-y=am \).

Para dejarlo claro te escribo el argumento completo.

Tenemos que probar que si \( x-y \) es múltiplo de \( M \) entonces \( xMODm=yMODm \).

Por hipótesis \( x-y=am \).

Además:

\( xMODm=r_1\quad \Rightarrow{}\quad x=q_1m+r_1 \) con \( 0\leq r_1<m \)
\( yMODm=r_2\quad \Rightarrow{}\quad x=q_2m+r_2 \) con \( 0\leq r_2<m \)

Restando:

\( x-y=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2) \)

de donde:

\( (r_1-r_2)=x-y-(q_1-q_2)m=am-(q_1-q_2)m=(a-q_2+q_2)m \)

es decir \( r_1-r_2 \) es múltiplo de \( m \).

 Ahora como  \( 0\leq r_1,r_2< m \) y por tanto:

\( r_1-r_2< m-0=m \)
\( r_1-r_2>0-m=-m \)

 por lo que \( |r_1-r_2|<m \)

 Entonces teníamos que \( r_1-r_2 \) era múltiplo de \( m \), es decir, \( r_1-r_2=km \) con \( k \) entero. Así:

\( m>|r_1-r_2|=|k||m| \)

y por tanto \( |k|<1 \) y así \( k=0 \) y \( r_1-r_2=km=0 \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

Lo tenía enfrente. Gracias de verdad .¡Un saludo!