es que lo veo obvio: si los modulos son iguales, los restos lo son, y su resta será 0.😒. Pero no lo he probado.
Pero es que en un examen no puedes decir “lo veo obvio” como demostración ni ser tan escueto, tienes que explicarlo, y lo que el_manco quiere es que lo expliques para que vayas practicando; en este caso es muy sencillo, en otros no lo va a ser tanto, el argumento va a ser más sutil y habrá además que unir más argumentos teniendo en cuenta la divisibilidad.
Suponemos que “m” divide a “x” y “m” divide a “y”; esto no hay que demostrarlo porque es una de las cosas que puede pasar, no dices que ocurra, dices “si ocurre esto... entonces pasa...”
“... \( m|x
\) y \( m|y
\), por definición de división entera, no sólo implica que los restos sean iguales, sino que ambos tengan resto cero (esto no lo tienes que demostrar).
Entonces, podemos escribir \( x=km+0
\) y \( y=qm+0
\) y tenemos
\( x-y=km-qm=m(k-q)\Rightarrow\dfrac{x-y}{m}=k-q
\); como “k” y “q” son enteros, lo es “k-q” y, por tanto, “m” divide a “x-y”.
Y con eso ya está demostrado ese caso (no es necesario que las palabras sean las mismas, pero tienes que dejarlo tan claro que no lo dude ni un perro; apoyándote en los axiomas y defiiciones que se dan por sabidos).
Ahora, la implicación hacia el otro lado: supones que “x-y” es divisible entre “m” (esto no hay que demostrarlo, es una posibilidad que se da por hecha) pero que no los son “x” ni “y;” o bien no lo es alguno de los dos (eso también tienes que tenerlo en cuenta, todas las posibilidades).
Y ahora argumenta, ¿es posible eso?, ¿por qué es posible o no posible?
En este caso es muy sencillo, ya te digo, muy obvio, pero después vendrán otros más complicados. Los hay tan complicados que, por ejemplo, llevan tres siglos, o cosa así, sin ser demostrados al día de hoy.
Saludos.
