[Quema]

Hola

Si \( f \)es estrictamente creciente y cóncava y se sabe que \( f(x+g)+f(x-l)<2f(x) \) para todo \( x>0 \) con \( g>l>0 \). ¿Puede saberse algo más sobre \( f \)? Es decir, si puede hallarse las funciones que cumplen estas condiciones.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No creo que puedan caracterizarse de manera explícita.

 Si no me equivoco tienen que cumplir que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f'(x)=0 \); tengo que pensarlo algo más...

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Un intento que está rematadamente mal:

Spoiler

Tenemos la siguiente desigualdad:

\(   \dfrac{f(x+g)  + f(x-l) - 2 \cdot f(x)}{g+l} \leq 0  \).

\(  \dfrac{[f(x+g) - f(x)] + [f(x-l) - f(x)]}{g+l}  \)

\(  \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g+h} = \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} \cdot \dfrac{g}{g+l} =  \).

\(  = \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} \cdot \dfrac{g+l - l}{g+l} =   \)

\(  = \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} + \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} \cdot \dfrac{-l}{g+l}  \)



\(  \dfrac{f(x-l) -f(x)}{g+l} = \dfrac{f(x-l) -f(x)}{-l} \cdot \dfrac{-l}{g+h}   \)




\(  \dfrac{f(x+g)  + f(x-l) - 2 \cdot f(x)}{g+l} =    \)

\(  = \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} + \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} \cdot \dfrac{-l}{g+l} + \dfrac{f(x-l) -f(x)}{-l} \cdot \dfrac{-l}{g+h} =  \)

\(  = \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g}  + \dfrac{-l}{g+l} \cdot [ \dfrac{f(x+g) -f(x)}{g} + \dfrac{f(x-l) -f(x)}{-l} ]  \).

En este momento me explotó la cabeza.

Queŕia hacer uso del siguiente resultado de convexas, para ver si podía transportalo a concavas:

*************************
Sea \(  f: [a,b] \to R  \) una función convexa y sea \(  c \in (a,b)  \). Probar que \(  f  \)
es derivable en \(  c  \) si y sólo sí \(  \lim_{h \to 0+} \dfrac{f(c+h) + f(c-h) -2f(x)}{h} = 0  \).
***********************

Usando 
\(   \dfrac{f(x+g)  + f(x-l) - 2 \cdot f(x)}{g+l} \leq 0  \)

\(  \dfrac{f(x+g) - f(x)}{g} - \dfrac{f(x+l) - f(x)}{l} > 0  \) De esto no estoy muy seguro.

E intentar llegar a:

\(  \lim_{g \to 0} \dfrac{f(x+g)  + f(x-l) - 2 \cdot f(x)}{g+l} \geq 0  \) que no si es cierto.

[cerrar]

[Quema]

Hola

En todo caso alguna función que lo cumpla.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En todo caso alguna función que lo cumpla.

\( f(x)=1-e^{-x} \)

Saludos.

[Quema]

Hola

a) Creo que la función \( f(x)=x^a \) con \( a\in{}(0,1) \) nunca cumpliría esa desigualdad, aún para algún tramo de \( x \), no?

b) Además, la desigualdad mencionada es equivalente a \( f(x+g)-f(x)<f(x)-f(x-l) \). Esto quiere decir que \( f \) se vuelve cóncava muy rápidamente?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

a) Creo que la función \( f(x)=x^a \) con \( a\in{}(0,1) \) nunca cumpliría esa desigualdad, aún para algún tramo de \( x \), no?

Para algún tramo si. Si llamas:

\( h(x)=f(x+g)+f(x-l)-2f(x) \)

queremos que \( h(x)<0 \) en algún intervalo. Tomamos \( f(x)=x^a \) con \( a\in (0,1) \) trabajamos con \( \color{red}\xcancel{x\leq l}\qquad x\geq l\color{black} \) (en otro caso \( f(x-l) \) no está definido).

Estudiamos cuando \( h(l)<0 \):

\( (l+g)^a-2l^a<0 \)

De donde: \( g<(1+\sqrt[a]{2})l \). Bajo esta condición \( h(l)<0 \) y por continuidad esa desigualdad se mantiene en un entorno de \( l \).

b) Además, la desigualdad mencionada es equivalente a \( f(x+g)-f(x)<f(x)-f(x-l) \). Esto quiere decir que \( f \) se vuelve cóncava muy rápidamente?

Si, es una forma intuitiva de entenderlo.

Saludos.

CORREGIDO POR SEGUNDA VEZ

[Quema]

Hola

No es al revés \( x\geq{}l \)?

Saludos

[Luis Fuentes]

HOla

No es al revés \( x\geq{}l \)?

¡Si!.

Saludos.

[Quema]

Hola

Sigue igual.

Saludos