Hola
En cuanto a la prueba.
Supón que existe \( w_0\in I \) tal que \( r_A(w_0,u)<a^* \). Sea \( a \) con \( r_A(w_0,u)<a<a^2 \). Dado qe se trabaja en la hipótesis de que \( r_A(w,u) \) es decreciente se cumple:
\( r_A(w,u)<a \) para todo \( w\in [w_0,\infty) \)
Ahora consideramos \( v=-e^{-aw} \). Cumple que \( r_A(w,v)=a \). Por tanto:
\( r_A(w,u)<r_A(w,v) \) para todo \( w\in [w_0,\infty) \)
Por lo que discutí en mi anterior mensaje dado que \( a<a^* \) sabemos que:
Por el resultado (i => ii):
existe una función creciente cóncava \( \phi \) tal que \( v(w)=\phi(u(w)) \).
Ahora sabemos por hipótesis que:
\( \dfrac{1}{2}v(w-l)+\dfrac{1}{2}v(w+g)\geq v(w) \) para cualquier \( w \) (*)
Por otra parte por la hipótesis del teorema:
\( \dfrac{1}{2}u(w-l)+\dfrac{1}{2}u(w+g)<u(w) \) (**)
Entonces:
\( \dfrac{1}{2}v(w-l)+\dfrac{1}{2}v(w+g)=\dfrac{1}{2}\phi(u(w-l))+\dfrac{1}{2}\phi(u(w+g)) \)
Por ser \( \phi \) cóncava:
\( \dfrac{1}{2}v(w-l)+\dfrac{1}{2}v(w+g)\leq \phi(\dfrac{1}{2}u(w-l)+\dfrac{1}{2}u(w+g)) \)
y por ser \( \phi \) creciente y usando (**)
\( \dfrac{1}{2}v(w-l)+\dfrac{1}{2}v(w+g)< \phi(u(w))=v(w) \)
¡Pero esto contradice (*)!.
Saludos.
