→ Espero que ahora me haya echo comprender, pues no considero como existentes los 899 números, sino 220 números base donde hay 143 primos, que restando 77 son números base multiplos ó pseudoprimos.
Saludos...
Hola, Víctor.
Bien, de acuerdo. Pero independientemente del porcentaje de tus números base, existen al menos tres demostraciones aceptadas como correctas del postulado de Bertrand, así que siempre encontraremos primos entre “n” y “2n” siendo “n” igual o mayor que dos. Es más, está demostrado que si n=8 o mayor, entran como poco 2, y cada vez van entrando más en la medida que “n” es más grande. Puedes darlo por hecho; puedes fiarte, si tuviera alguna pega, ya has visto cómo se las gastan los matemáticos, no hubieran admitido esas pruebas.
Yo no me sé las demostraciones, hasta la más sencilla es algo liosa, pero si quieres convencerte un poco, aunque no sea una prueba formal, atiende a mi planteamiento.
\( {\color{red}0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,{\color{red}10},11,12,13,14,15,16,17,18,19,{\color{red}20} \)
(es un caso particular pero pensémoslo más en general).
La cantidad de números que hay a un lado y a otro entre los números rojos es igual y va a ser igual con cualquier número 2n que tomemos (en este caso con 2n=20, tenemos 9 números a cada lado)
Todos los múltiplos de 2 que hay en 2n, todos, se obtienen multiplicando los primeros números, empezando por la derecha, de (0,n): en este caso \( 2\cdot9=18;\,2\cdot8=16... \) etc.
Al multiplicar por 2 nos aparecen los pares de (n,2n) que son la mitad o la mitad menos uno de los números que hay en (n,2n); que sean la mitad o la mitad menos uno depende de si “n” es impar o no.
Luego al hacer eso ya hemos ocupado unos lugares con compuestos (los múltiplos de 2) en dicho intervalo; nos quedan por ocupar cinco lugares (no importa dónde estén, importa que vamos gastando lugares, rellenándolos).
Estamos suponiendo que todos son compuestos, luego en ese caso se tendrían que poder “tapar” todos esos lugares multiplicando por los primos siguientes.
Así, buscamos el números más grande de (0,n) que multiplicado por 3 no es mayor que 2n, y repetimos multiplicando de derecha a izquierda hasta llegar a un número que multiplicado por 3 se queda pequeño; o sea, que es igual o menor que “n”.
Pero va a ocurrir que, al hacer eso, tengamos que multiplicar algún par, y los pares ya están todos colocados en su lugar, no hay más pares en (n,2n); así que ese número será múltiplo de 3 y de 2 y no cubrirá ningún lugar.
Luego, haré lo mismo multiplicando por 5, pero todos los números que multiplique, y que sean pares o múltiplos de 3 o ambas cosas, ya no ocupan lugar; entonces, los lugares que hubieran quedado vacíos al haber multiplicado por tres los números pares, no los va a tapar ninguno de los productos nuevos (no repetidos) que obtenga con el 5; porque son lugares que, según su distancia a 2n, tienen que ser múltiplos de 2 o de 3 o de nadie (los lugares están claramente relacionados con la multiplicidad de los primos).
Y si ahora sigo el procedimiento con el siguiente primo, 7, los múltiplos de 2, de 3 y de 5 que me salgan, ya están colocados, están repetidos; y los nuevos múltiplos de 7, si los hubiera, no subsanan los lugares vacíos por la misma razón que antes; no pueden ir colocados ahí.
Entonces, como necesito cubrir esos lugares con compuestos —porque estoy suponiendo que todos son compuestos en (n,2n)— tengo que seguir multiplicando por 11, por 13, por 17... hasta dar con un primo que multiplicado por 1 es demasiado grande o bien directamente entra como primo en (n,2n). Pero ¿qué pasa si fuera demasiado grande? Pasa que el 1 es el último número que necesito multiplicar por otro número para ocupar el último lugar vacío de (n,2n) y si no es un primo será un compuesto. Pero los compuestos de otros primos ya están todos utilizados y todos han cubierto su sitio; la cuestión está en que estamos usando el 1, y si multiplico 1 por un compuesto, sea como sea, aunque sea el cuadrado o el cubo de un primo o lo que sea, ése ya ha salido en la criba, el procedimiento obliga a ello. Y un primo que se quedara corto tampoco puede ser, porque entonces no cubre el último lugar, deja un vacío.
Los lugares vacíos —que se producen al repetirse los distintos números al multiplicar— no los pueden tapar los compuestos siguientes si vamos obteniendo los compuestos de esta manera; pero tiene que existir alguien en esos lugares, y sólo pueden ser los primos, porque no hay otros.
Supongamos que no hay repeticiones; al llegar al 1 tendríamos que multiplicar por un primo para completar el último lugar en (n,2n); si multiplicamos por un compuesto hay repetición en contra de la hipótesis hecha, si multiplicamos por un primo que se queda corto o se sale... queda un lugar vacío.
Ya digo que esto no es un demostración —a no ser que alguien más la “viera”— pero para mí me sirve para convencerme plenamente, apoyándome también en que sé que existen demostraciones sí aceptadas. Siempre va a existir al menos un primo entre “n” y “2n” para “n” mayor que 1.
Un cordial saludo.
