[mente oscura]

Hola.
He estado revisando mis intervenciones varias y, he advertido, que no he expuesto un estudio sobre ternas pitagóricas que, ya que lo he realizado, quiero compartirlo con vosotros.
Imagino que ya estará hecho, pero me entretengo. Y si a alguien le puede servir para algo, pues mejor.

La he titulado: Fórmula general recurrente para ternas pitagóricas.

Con esta fórmula se pueden hallar “todas” las ternas pitagóricas posibles.

Base:

\( \textsf{Sean: } a, b, c \in{N} / a^2=b^2+c^2 \)
Con:  a, b impares; c par.

\( a= \dfrac{p^2+q^2}{2} \)

\( b= pq \)

\( c= \dfrac{p^2-q^2}{2} \)

Desarrollo:

La formula está basada en dos variables:
1)   la diferencia: p-q, que tiene que ser par, al ser “p” y “q” impares.
2)   “n”, que es el número de orden recurrente: 1, 2, 3, …

Fórmula:

\( a=4n^2+4n(\dfrac{p-q}{2}-1)+(p-q)(\dfrac{p-q}{2}-1)+1 \)

\( b=4n^2+4n(\dfrac{p-q}{2}-1)-(p-q)+1 \)

\( c=4n \dfrac{p-q}{2}+(p-q)(\dfrac{p-q}{2}-1) \)

La demostración se haría, simplemente, desarrollando la igualdad:

\( a^2=b^2+c^2 \)

Como siempre, os adjunto una “máquina” generadora de todas las ternas pitagóricas posibles.
Sólo es necesario definir en la casilla “d1” la diferencia “p-q” que queramos, y, luego en la “a1” el número de orden recurrente.

Os pediría a los “administradores” que, si veis de utilidad este estudio, pueda quedar publicado permanentemente, una vez que hayáis estudiado su corrección, ya que considero que, dicho estudio, está completo.

Un cordial saludo.

[feriva]

Hola.
He estado revisando mis intervenciones varias y, he advertido, que no he expuesto un estudio sobre ternas pitagóricas que, ya que lo he realizado, quiero compartirlo con vosotros.
Imagino que ya estará hecho, pero me entretengo. Y si a alguien le puede servir para algo, pues mejor.

Hola, mente oscura, seguro que es interesante. Sólo un consejo sobre las letras y su designación:

 Las forma habitual, más extendida, suele ser considerar estas relaciones con estas letras y estas paridades

 \( a^2+b^2=c^2 \) tomando "b" par y haciendo

 \( a=m^2-n^2 \)   \( b=2mn \)   \( c=m^2+n^2 \)

 Si lo reescribes tomando esa disposición y esas paridades asignadas a las letras -aunque tú, para tus cosas, sigas usando la tuya, como es normal, porque estás más acostumbrad- es más inmediato para los demás investigar la relación y ver si hay algo que pueda decirnos alguna cosa interesante.

 Un cordial saludo. 

 

 

[mente oscura]

Hola feriva.
Voy a mirármelo. Pero hay un pequeño inconveniente de partida.
Como el estudio, que he hecho de las Ternas Pitagóricas, es mío; a las conclusiones que llegué implican las siguientes particularidades:
1) El nombre de las letras da lo mismo.
2) El impar menor está en función de dos valores "p" y "q", que son impares (los tuyos en "m" y "n", pero para el valor par, y obliga a ser uno par y otro impar).
3) Parece que con multiplicar sólo por 2, serían las mismas expresiones, pero no es así, debido a la diferencia de las paridades de los valores del punto 2.
Conclusión: me he basado en el impar menor y lo que tú me propones está basado en el par.
A ver si consigo conciliarlo, pero, aún así, creo que es perfectamente válido el estudio y las conclusiones realizadas. ¿Te has descargado la hoja de cálculo, para ver su correcto funcionamiento?
De todas formas, si hay dudas expondré la demostración (es que es muy "engorrosa" ).
Un cordial saludo.

[feriva]

Conclusión: me he basado en el impar menor y lo que tú me propones está basado en el par.

Hoal, mente oscura. Si es que no es mío, ojalá , no se sabe de quién es, se sospecha que de Diofanto; viene en muchas páginas y yo puse la demostración por ahí un día para explicársela a Racedom (la demostración la amplié con detalle a partir de una explicación que venía en Internet, por supuesto, no es que fuera mía tampoco la demostración) no sé si lo recordarás, en cualquier caso está por ahí en alguna parte del foro, en la sección teorema de Fermat, creo.

 De todos modos, lo puedes ver en la Wiki, por ejemplo:

 http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica

 Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola.
Sí, ya sé que no es “tuya”, es una forma de hablar.
Es verdad, ya me habías remitido a esa página de “wiki”. Gracias, de todas formas.
Pero mi propuesta es correcta también y, creo, más general. En esa página no hay propuesta de una fórmula general recurrente (no sé si existe). Bueno, si no existía, ya sí.

Demostración de la fórmula propuesta:
Para escribir menos, voy a hacer el cambio:

\( p-q=x \)


\( a=4n^2+4n(\dfrac{x}{2}-1)+x(\dfrac{x}{2}-1)+1 \)

\( b=4n^2+4n(\dfrac{x}{2}-1)-x+1 \)

\( c=4n \dfrac{x}{2}+x(\dfrac{x}{2}-1) \)



\( a^2=16n^4+16n^2(\dfrac{x}{2}-1)^2+x^2(\dfrac{x}{2}-1)^2+1+32n^3(\dfrac{x}{2}-1)+8n^2x(\dfrac{x}{2}-1)+8n^2+8n(\dfrac{x}{2}-1)x(\dfrac{x}{2}-1)+8n(\dfrac{x}{2}-1)+2x(\dfrac{x}{2}-1) \)

\( b^2=16n^4+16n^2(\dfrac{x}{2}-1)^2+x^2+1+32n^3(\dfrac{x}{2}-1)-8n^2x+8n^2-8n(\dfrac{x}{2}-1) x+8n(\dfrac{x}{2}-1)-2x  \)

\( c^2=4n^2 x^2+x^2(\dfrac{x}{2}-1)^2+4nx^2(\dfrac{x}{2}-1) \)

Como: \( a^2=b^2+c^2 \), anulo coincidencias.


\( 8n^2x(\dfrac{x}{2}-1)+8n(\dfrac{x}{2}-1)x(\dfrac{x}{2}-1)+2x(\dfrac{x}{2}-1)=x^2-8n^2x-8n(\dfrac{x}{2}-1) x-2x+4n^2 x^2+4nx^2(\dfrac{x}{2}-1) \)


\( 8n^2x\dfrac{x}{2}-8n^2x+8n(\dfrac{x}{2}-1)x(\dfrac{x}{2}-1)+x^2-2x=x^2-8n^2x-8n(\dfrac{x}{2}-1) x-2x+4n^2 x^2+4nx^2(\dfrac{x}{2}-1) \)

\( 4n^2x^2+4n(\dfrac{x}{2})x(\dfrac{x}{2}-1)-8nx(\dfrac{x}{2}-1)= 4n^2x^2+4n(\dfrac{x}{2})x(\dfrac{x}{2}-1)-8nx(\dfrac{x}{2}-1)  \)

Ya dije que era “engorrosa”, pero correcta.

También señalar que, con esta fórmula recurrente, se consiguen todas las Ternas Pitagóricas (primitivas o no), a excepción de las "no primitivas" pares.

Un cordial saludo.

[feriva]

Hola.
Sí, ya sé que no es “tuya”, es una forma de hablar.
Es verdad, ya me habías remitido a esa página de “wiki”. Gracias, de todas formas.
Pero mi propuesta es correcta también y, creo, más general. En esa página no hay propuesta de una fórmula general recurrente (no sé si existe). Bueno, si no existía, ya sí.

Hola, mente oscura, de nada. Bueno, necesita decirse que las fórmulas de Diofanto -vamos a llamarlas así aunque no se sepa el autor- sirven para hallar todas las ternas primas; es decir con "a" "b" y "c" coprimos. De esa manera, no sólo existen las ternas que se pueden hallar con esas fórmulas, sino todas las que surgen al multiplicar en los dos lados por \( k^2 \), como es casi inmediato o inmediato de comprender. Pero, con esa precisión, sí son generales, no hay más ternas pitagóricas que ésas y en la demostración se ve, se demuestra que es así; en la Wiki no viene la demostración, estaba en otro sitio y ya te digo que yo la reproduje aquí analizando todo los detalles por mi cuenta y uniéndolos acto seguido a la demostración que existe sobre UTF4, la cual, tras largos años de esfuerza por parte de muchos, nunca terminó de aceptar racedom (buscarla es un poquito pesado, pero a lo mejor lo hago en algún momento). En cualquier caso, la demostración empieza por considerar "a", "b" y "c" coprimos y las paridades y, a partir de ahí, va dando pasos hasta que llega a las fórmulas descartando cosas; tiene algún paso ingenioso que hace ver la habilidad de quien solucionó la cuestión, pero es una demostración cortita.

 Todavía tengo pendiente seguir los pasos de la tuya con atención, perdóname, pero es que con estos ojos tengo que ir despacito porque veo menos que Pepe leches; lo haré en algún momento.

 Saludos.

[mente oscura]

Hola, mente oscura, de nada. Bueno, necesita decirse que las fórmulas de Diofanto -vamos a llamarlas así aunque no se sepa el autor- sirven para hallar todas las ternas primas; es decir con "a" "b" y "c" coprimos. De esa manera, no sólo existen las ternas que se pueden hallar con esas fórmulas, sino todas las que surgen al multiplicar en los dos lados por \( k^2 \), como es casi inmediato o inmediato de comprender. Pero, con esa precisión, sí son generales, no hay más ternas pitagóricas que ésas y en la demostración se ve, se demuestra que es así; en la Wiki no viene la demostración, estaba en otro sitio y ya te digo que yo la reproduje aquí analizando todo los detalles por mi cuenta y uniéndolos acto seguido a la demostración que existe sobre UTF4, la cual, tras largos años de esfuerza por parte de muchos, nunca terminó de aceptar racedom (buscarla es un poquito pesado, pero a lo mejor lo hago en algún momento). En cualquier caso, la demostración empieza por considerar "a", "b" y "c" coprimos y las paridades y, a partir de ahí, va dando pasos hasta que llega a las fórmulas descartando cosas; tiene algún paso ingenioso que hace ver la habilidad de quien solucionó la cuestión, pero es una demostración cortita.

 Todavía tengo pendiente seguir los pasos de la tuya con atención, perdóname, pero es que con estos ojos tengo que ir despacito porque veo menos que Pepe leches; lo haré en algún momento.

 Saludos.

Hola Feriva.
He puesto dos fórmulas:
1) Es la fórmula general "normal", con la diferencia a la de Diofanto (supongamos que es suya), en que está en función de divisores del elemento impar menor, mientras que la otra está en función de los divisores del par.
En esto nada que objetar y la demostración sería, imagino, similar en las dos.
2) Esta fórmula, que es la que propongo, halla las ternas por recurrencia (es distinto), basándome en la fórmula mía anterior. Se podría hallar también, creo, una fórmula recurrente con la fórmula de Diofanto.

Si has visto el otro hilo mío, de cuaternas cúbicas, habrás visto que también he encontrado recurrencias para ciertas cuaternas, aunque, todavía, no he encontrado la general que pueda hallar todas.

Un cordial saludo.

[feriva]

Si has visto el otro hilo mío, de cuaternas cúbicas, habrás visto que también he encontrado recurrencias para ciertas cuaternas, aunque, todavía, no he encontrado la general que pueda hallar todas.

Un cordial saludo.

 Hola, mente oscura. Lo quiero ver despacio, pero no sirvo como buen corrector dado mi despiste y mi "vista de lince". No obstante, a buen seguro que el_manco pasará por aquí y, si no dice nada, casi se puede entender como un visto bueno.

 Sin embargo, no me cuesta orientarte en una cosa sobre qué debes comprobar:

 

También señalar que, con esta fórmula recurrente, se consiguen todas las Ternas Pitagóricas (primitivas o no), a excepción de las "no primitivas" pares.

 Puede ser lo que dices, no veo impedimento en principio; es decir, es cierto que siempre existirá un natural \( k^2 \) con "k" impar tan grande como quieras para multiplicar a ambos lados, pero esa misma expresión, podría ser igual a la tuya (sin multiplicar por un cuadrado que haga de factor común a ambos lados) cambiando el nombre de las variables; poniendo las mismas con "primas" o subíndices, por ejemplo. Eso es podría ser así, aunque lo digo sin analizarlo mucho.

  Si puedes asegurar eso, entonces, desde mi punto de vista, es muy interesante.

 Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola.
Como buen contable, he conciliado las cuentas entre Diofanto y yo, para la primera de las fórmulas. Voy a cambiar “m” y “n” (base de la generación del número par), por “p” y  “q” (base de la generación del número impar menor).

Según Diofanto:
\( \textsf{Sean: } a, b, c \in{N}}/ a^2+b^2=c^2 / \)a, c impares, b par.


\( a=m^2-n^2 \), impar menor.

\( b=2mn \), par.

\( c=m^2+n^2 \), impar mayor.

Siendo m ó n par.

\( \textsf{Si: } a=m^2-n^2=(m+n)(m-n) / \)
Haciendo los cambios:
\( m+n=p, m-n=q \)

Tendríamos:
\( a=pq \)

\( b=\dfrac{p^2-q^2}{2} \)

\( c=\dfrac{p^2+q^2}{2} \)

Que son mis ecuaciones (sólo que yo, en mis anteriores intervenciones, he utilizado otras letras: a para el impar mayor, b para el impar menor y c para el par).

Un cordial saludo.

[feriva]

Hola.
Como buen contable, he conciliado las cuentas entre Diofanto y yo, para la primera de las fórmulas. Voy a cambiar “m” y “n” (base de la generación del número par), por “p” y  “q” (base de la generación del número impar menor).
...

Que son mis ecuaciones (sólo que yo, en mis anteriores intervenciones, he utilizado otras letras: a para el impar mayor, b para el impar menor y c para el par).

Un cordial saludo.

 Pues sigue siendo interesante para mí, y mucho; el hecho de que alguien llegue a un conclusión conocida sin conocerla lo es, aunque pueda considerarse más o menos "normal".

 Un cordial saludo y hasta mañana.