Hola
Usando la fórmula que te di puedes hallar la ecuación de una simetría respecto al eje \( x=3 \). Es una recta que pasa por \( (3,0) \) y tiene por vector director el \( (0,1). \)
Entonces:
\( M=\begin{pmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Con lo que la simetría queda:
\( \begin{pmatrix}{x'}\\{y'}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{3}\\{0}\end{pmatrix}+M \begin{pmatrix}{x-3}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{6-x}\\{y}\end{pmatrix} \)
Aplicándo la fórmula a cada uno de los vértices obtienes su transformado.
La segunda simétria es respecto a la recta \( AD \) que pasa por el \( (0,3) \) y tiene como vector director el \( (1,1) \). De nuevo aplicándo la fórmula que te indiqué:
\( M=\begin{pmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}{x''}\\{y''}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{0}\\{3}\end{pmatrix}+M \begin{pmatrix}{x'}\\{y'-3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{y'-3}\\{x'+3}\end{pmatrix} \)
Aplicando las fórmulas a los primeros transformados de los vértices obtienes los vértices del cuadrado final.
Si compones las dos ecuaciones halladas te queda:
\( (x'',y'')=(y-3,9-x) \)
Para ver a que giro corresponde, consideramos la intersección de las rectas de simetría \( x=3 \) y \( x-y+3=0 \) es el punto \( (3,6). \) Ese es nuestro candidato a centro de giro ya que es el punto que queda fijo en la composición.
La transformación puede escribirse entonces como:
\( (x'',y'')=(3,6)+(y-6,3-x) \)
Matricialmente:
\( \begin{pmatrix}{x''}\\{y''}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{3}\\{6}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0 & 1\\ -1 &0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x-3}\\{y-6}\end{pmatrix} \)
La matriz de giro es:
\( \begin{pmatrix}{0 & 1\\ -1 &0}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{cos(A) & -sin(A)\\ sin(A) &cos(A)}\end{pmatrix} \)
Por tanto se trata de un giro de \( -90 \) grados centrado en el punto \( (3,6). \)
En general la composición de dos simetrías axiales es un giro de centro la intersección de los ejes y ángulo el doble del formado por los ejes de simtetrías. Puedes verlo ilustrado aquí:
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/giroev2.htmlSaludos.
