Hola. Yo creo que es mejor que partiendo de la idea que te comenté, vayas detallando punto por punto tus dudas.
Es difícil darte indicaciones si no sé que cosas sabes y cuáles no. No sé donde apoyarme.
ok. En primer lugar, entiendo que la relación de equivalencia considerada en el problema me indica que \( xRy \Leftrightarrow{} x, y \in{L} \), donde L es la recta que pasa por el origen, es decir \( L:\left\{{x\in\mathbb{R}^3:x=tD, con\ t\in\mathbb{R},D\in\mathbb{R}^3}\right\} \). ¿es esto correcto?
En segundo lugar, presento las siguientes inquietudes:
I. Respecto a la prueba de que R es una relación de equivalencia. Podrías decirme si esta bien los siguientes argumentos?
Si \( xRy \), entonces \( x,y \) se encuentran sobre la misma linea que pasa por el origen, entonces \( y,x \) se encuentran sobre la misma línea que pasa por el origen. Así que \( xRy \).
Si \( xRy \) y \( yRz \), entonces \( x,y \in{L_0} \) y \( y,z \in{L_1} \) respectivamente. Entonces existen, \( t_1, t_2 \in\mathbb{R}: x=t_1D, y=t_2D \), también \( y=s_1D_1, z=s_2D_1 \). Pero se tiene que \( t_2D=y=s_1D_1 \), luego \( D_1 \) es múltiplo de D, es decir son paralelos. Por tanto \( L_0 y L_1 \) coinciden, luego x y z están sobre la misma recta, es decir \( xRz \).
II. Para probar la simetria (\( xRx \Longleftrightarrow{} \) x y x se encuentran en linea a traves del origen).
Realmente no se cómo garantizar esta condición.
III. Entiendo que para probar que \( p^2 \) es homeomorfo a \( s^1 \) me sugieren probar que \( h= g\circ f \) es un homeomorfismo (osea que debo probar que \( h=g\circ f \) es biyectiva y bicontinua (es decir h y \( h^{-1} \) son continuas) ).
IV. En lo que investigue, lo que entendí es que el plano proyectivo al que se refiere el problema se trata de lo siguiente:
...El “plano proyectivo” es a grosso modo una superficie (no necesariamente plana) sobre la que se proyectan los rayos que salen de un foco puntual. La definición precisa es independiente de la superficie sobre la que proyectemos:
P^ 2 = {rectas de R^3 que pasan por el origen (0,0,0)}.
V. Entiendo que cuando se hace uso de coordenadas polares en la funión g sugerida, lo hacen por que \( x=rcos(\theta) \) en coordenadas cartesianas, entonces \( \theta=cos^{-1}(\displaystyle\frac{x}{r}) \). Pero no sé prque debemos trabajar en polares. O si estoy equivocada en la interpretación.
