Hola
ok. En primer lugar, entiendo que la relación de equivalencia considerada en el problema me indica que \( xRy \Leftrightarrow{} x, y \in{L} \), donde L es la recta que pasa por el origen, es decir \( L:\left\{{x\in\mathbb{R}^3:x=tD, con\ t\in\mathbb{R},D\in\mathbb{R}^3}\right\} \). ¿es esto correcto?
Correcto.
I. Respecto a la prueba de que R es una relación de equivalencia. Podrías decirme si esta bien los siguientes argumentos?
Si \( xRy \), entonces \( x,y \) se encuentran sobre la misma linea que pasa por el origen, entonces \( y,x \) se encuentran sobre la misma línea que pasa por el origen. Así que \( xRy \).
Correcto.
Si \( xRy \) y \( yRz \), entonces \( x,y \in{L_0} \) y \( y,z \in{L_1} \) respectivamente. Entonces existen, \( t_1, t_2 \in\mathbb{R}: x=t_1D, y=t_2D \), también \( y=s_1D_1, z=s_2D_1 \). Pero se tiene que \( t_2D=y=s_1D_1 \), luego \( D_1 \) es múltiplo de D, es decir son paralelos. Por tanto \( L_0 y L_1 \) coinciden, luego x y z están sobre la misma recta, es decir \( xRz \).
Correcto.
II. Para probar la simetria (\( xRx \Longleftrightarrow{} \) x y x se encuentran en linea a traves del origen).
Realmente no se cómo garantizar esta condición.
Dado \( x\in R^3-\{0\} \) considera la recta \( L \) que pasa por el origen generado por \( x \). Entonces \( x\in L \) y así \( xRx \).
III. Entiendo que para probar que \( p^2 \) es homeomorfo a \( s^1 \) me sugieren probar que \( h= g\circ f \) es un homeomorfismo (osea que debo probar que \( h=g\circ f \) es biyectiva y bicontinua (es decir h y \( h^{-1} \) son continuas) ).
Si. Equivalentemente que \( h \) es continua, biyectiva y cerrada.
IV. En lo que investigue, lo que entendí es que el plano proyectivo al que se refiere el problema se trata de lo siguiente:
...El “plano proyectivo” es a grosso modo una superficie (no necesariamente plana) sobre la que se proyectan los rayos que salen de un foco puntual. La definición precisa es independiente de la superficie sobre la que proyectemos:
P^ 2 = {rectas de R^3 que pasan por el origen (0,0,0)}.
Si; pero de manera precisa se definie como el cociente de \( R^3-\{0\} \) por la relación de equivalencia que indicaste al principio del mensaje.
V. Entiendo que cuando se hace uso de coordenadas polares en la funión g sugerida, lo hacen por que \( x=rcos(\theta) \) en coordenadas cartesianas, entonces \( \theta=cos^{-1}(\displaystyle\frac{x}{r}) \). Pero no sé prque debemos trabajar en polares. O si estoy equivocada en la interpretación.
No. Simplemente expreso la función en polares porque es mucho más sencilla y clara de expresar que en cartesianas. La idea es que la función lleve puntos antipodales de \( S^1 \), es decir aquellos que están sobre la misma recta pasando por el origen en un mismo punto. Nota que un punto de ángulo \( \theta \) tiene como antipodal otro de ángulo \( \theta+\pi. \); y el punto de la circunferencia de ángulo \( \theta \) es el mismo que el de ángulo \( 2\theta+2\pi \).
En cartesianas tendríamos que llevar:
\( (x=cos(\theta),y=sin(\theta))\longrightarrow{}(cos(2\theta),sin(2\theta)) \)
Dado que \( cos(2\theta)=cos^2(\theta)-sin^2(\theta),\quad sin(2\theta)=2sin(\theta)cos(\theta) \) en cartesianas la aplicación sería:
\( g(x,y)=(x^2-y^2,2xy) \)
Saludos.
