[Tanius]

¡Hola!

¿Hay algún enlace o libro accesible donde pueda ver una demostración de que ningún subconjunto abierto de \( \mathbb{R} ^n \) es homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R} ^m \) con \( m\neq n \)?

¡Gracias!

[Carlos Ivorra]

Hay dos formas de probar ese resultado. Una es mediante topología algebraica, y la otra mediante teoría de la dimensión. Una prueba por el primer camino la puedes encontrar en mi libro de topología algebraica. No obstante, es probable que te interese más el camino de la teoría de la dimensión, pues los conceptos empleados te resultarán mucho más familiares. Acabo de encontrar en internet el archivo que adjunto que contiene una prueba basada en la dimensión. No lo he leído con detalle, pero parece que se ajusta a lo que estás buscando.

[Tanius]

¡Muchísimas gracias, Carlos!  Eso era lo que buscaba, ya lo estoy leyendo a detalle. También veré tu libro que mencionas.

¡Un saludo!

[Carlos Ivorra]

Me he fijado un poco más, y enuncia sin demostración el teorema de punto fijo de Brouwer, pero tiene una demostración relativamente elemental. Ya te la buscaré. He visto algún otro resultado sin prueba en el artículo, pero sin mirarlo más a fondo no podría decirte si es algo que se prueba fácilmente y que el autor deja a cargo del lector o es algo de más peso.

[Carlos Ivorra]

Te adjunto la prueba del teorema de Brouwer que me estudié en su día junto con una simplificación que no he mirado con detalle.

[Héctor Manuel]

Estaba pensando en esto. Supongamos que \( n<m \). Puedes demostrar que \( \mathbb{R}^n \) es isométricamente isomorfo con un subespacio (en el sentido del análisis funcional) de \( \mathbb{R}^m \), digamos \( V \).  Luego, este subespacio no es abierto (ningún supespacio puede ser abierto).  Si \( R^n \) fuera homeomorfo a algún abierto \( S \) en \( \mathbb{R}^m \), entonces \( S \) y \( V \) serían homeomorfos y por tanto \( V \) es abierto, lo cual es una contradicción.

Saludos.

[Héctor Manuel]

¡Huy! Acabo de leer bien el problema, y es más general que lo que entendí.   

Ergo, es claro que mi solución no es completa.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Estaba pensando en esto. Supongamos que \( n<m \). Puedes demostrar que \( \mathbb{R}^n \) es isométricamente isomorfo con un subespacio (en el sentido del análisis funcional) de \( \mathbb{R}^m \), digamos \( V \).  Luego, este subespacio no es abierto (ningún supespacio puede ser abierto).  Si \( R^n \) fuera homeomorfo a algún abierto \( S \) en \( \mathbb{R}^m \), entonces \( S \) y \( V \) serían homeomorfos y por tanto \( V \) es abierto, lo cual es una contradicción.

Saludos.

No se conoce ninguna demostración elemental de que \( \mathbb{R}^n \) no sea homeomorfo a \( \mathbb{R}^m \) para \( n\neq m \). Tu argumento es correcto hasta el último paso: llegas a que un abierto \( S \) en \( \mathbb{R}^m \) es homeomorfo a un cerrado \( V \) en \( \mathbb{R}^m \) (que no es todo \( \mathbb{R}^m \)). ¿Cuál es la contradicción?

Ciertamente, eso no es posible, pero se trata de un teorema de Brouwer nada trivial:

Si \( h: A\subset \mathbb{R}^n\longrightarrow B\subset \mathbb{R}^n \) es un homeomorfismo y \( A \) es abierto, entonces \( B \) también es abierto.

Demostrar este teorema cuesta más que probar directamente que \( \mathbb{R}^n \) no es homeomorfo a \( \mathbb{R}^m \).

[Héctor Manuel]

No.  Lo que demuestro es que \( \mathbb{R}^n \) no es homeomorfo a un subconjunto abierto de \( \mathbb{R}^m \).  Esa era la intención de mi demostración.

Pero, como ya dije, acabo de leer correctamente el ejercicio, y no es el que yo había creído.  Por eso digo que mi demostración está mal: no porque esté mal hecha (porque cumple su propósito: demuestra), sino porque no responde al ejercicio original.

Saludos.

[Tanius]

Lo que no entiendo es cuando concluyes "entonces \( S \) y \( V \) serían homeomorfos". ¿Estás seguro de que eso está bien?

Apropósito, sigo leyendo lo que me ha enviado Carlos. Ya comentaré acerca de eso 

(Ah, ya comprendí, no recordaba la definición de isométricamente isomorfos, pensé que esto no era un homeomorfismo)