[Tanius]

Ahora bien, verás que en el pdf se demuestra que la dimensión de un subespacio es siempre menor o igual que la dimensión del espacio, luego la dimensión de todo abierto de \( \mathbb{R}^n \) es, por una parte, \( \leq n \) y, por otra parte, todo abierto contiene un subespacio homeomorfo a un cubo \( I^n \), cuya dimensión también es \( n \) (como se prueba en el pdf), luego la dimensión de todo abierto de \( \mathbb{R}^n \) es igual a \( n \), y eso prueba que un abierto de \( \mathbb{R}^n \) no puede ser homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R}^m \) salvo si \( n=m \).

Aaah, ¡claro! De acuerdo, muchas gracias. Ahora sí tengo todo claro 

Hola

 Por autopublicitarnos un poco, señalar que nuestro más joven moderador Braguildur realizó un trabajo sobre la cohomología de DeRham dónde se prueba el resultado.

Qué artículo tan interesante. Gracias por pasar el link

[argentinator]

Hola gente.

Estoy investigando sobre este tema, y necesitaría saber sobre la parte histórica de la demostración de que \( R^n,R^m \) son homeomorfos sii \( n=m \).

Me refiero a los dos caminos de demostración que Carlos menciona.

He leído la prueba del primer PDF que adjuntó Carlos y allí usa el Teorema de punto fijo de Brouwer.
La versión que se invoca ahí de dicho teorema, ¿fue hecha "a mano", o usando herramientas de topología algebraica? (en el libro de Munkres aparece en la parte de Topología Algebraica).

Cualquier información al respecto se agradecerá. 

[Carlos Ivorra]

He leído la prueba del primer PDF que adjuntó Carlos y allí usa el Teorema de punto fijo de Brouwer.
La versión que se invoca ahí de dicho teorema, ¿fue hecha "a mano", o usando herramientas de topología algebraica? (en el libro de Munkres aparece en la parte de Topología Algebraica).

Cualquier información al respecto se agradecerá. 

Pues no conozco con detalle las cuestiones de historia de las matemáticas, pero lo que tengo entendido es que del teorema de Brouwer se obtuvieron antes de Brouwer demostraciones para casos particulares (n = 2, 3) y que Brouwer fue el primero en demostrarlo para n arbitrario, creo que con técnicas de homotopía. Posteriormente se han encontrado pruebas más "elementales", como la que figura en el otro archivo que adjunté, que no requieren nada de topología algebraica. También hay pruebas algebraicas que usan homología en lugar de homotopía.

[argentinator]

Gracias Carlos.

Ahora me surge una duda del PDF que colgaste.

Estoy leyendo la demostración que usa la noción de dimensión inductiva para la demostración.
Al parecer usa el teorema de Brouwer, aunque no entiendo bien por qué es necesario realmente usar eso.

A lo mejor no estoy entendiendo bien la noción de dimensión ind(X).

Si tomamos un punto x en el n-espacio, y un entorno U de x, hay una bola B centrada en x, cuya clausura aún está contenida en U, y tal que la frontera es homeomorfa a la (n-1)-esfera.

Por inducción en n, yo podría suponer que la dimensión de la (n-1)-esfera es n-1, ya que localmente es homeomorfa al (n-1)-espacio euclidiano, que por hipótesis inductiva tendría dimensión n-1.

Así, no puedo decir que la dimensión de la frontera de B es menor o igual que n-2...

Como estoy vale para todo punto x, y todo entorno U, entonces la dimensión del n-espacio es n.

¿Qué me estoy perdiendo?

¿Acaso tengo que considerar todos los abiertos que contienen a x, y no sólo las bolas B?

[Carlos Ivorra]

Si tomamos un punto x en el n-espacio, y un entorno U de x, hay una bola B centrada en x, cuya clausura aún está contenida en U, y tal que la frontera es homeomorfa a la (n-1)-esfera.

Por inducción en n, yo podría suponer que la dimensión de la (n-1)-esfera es n-1, ya que localmente es homeomorfa al (n-1)-espacio euclidiano, que por hipótesis inductiva tendría dimensión n-1.

Hasta aquí de acuerdo.

Así, no puedo decir que la dimensión de la frontera de B es menor o igual que n-2...

Esta frase no la entiendo. Tienes una bola B cuya frontera tiene, por hipótesis de inducción, dimensión n-1.

Como estoy vale para todo punto x, y todo entorno U, entonces la dimensión del n-espacio es n.

No. Por definición, tienes que la dimensión del n-espacio es menor o igual que n.

¿Qué me estoy perdiendo?

¿Acaso tengo que considerar todos los abiertos que contienen a x, y no sólo las bolas B?

Lo que te estás perdiendo es que, por definición, tener dimensión n es no tener dimensión menor o igual que n-1, es decir, tienes que demostrar que no puedes encontrar otro entorno de x (que no sea la bola B que has tomado) cuya frontera tenga dimensión menor o igual que n-2. Tú sabes que las bolas tienen frontera de dimensión n-1, pero no sabes si hay otros entornos con frontera de dimensión menor o igual que n - 2.

Más concretamente, si \( \mathbb R^n \) fuera homeomorfo a \( \mathbb R^{n-1} \), entonces,  las bolas n-dimensionales tendrían frontera de dimensión \( \leq n-1 \), pero las imágenes por el homeomorfismo de las bolas n-1-dimensionales de \( \mathbb R^{n-1} \) serían una base de entornos de \( \mathbb R^n \) con fronteras de dimensión \( \leq n-2 \). Eso es lo que hay que probar que es imposible. Y ahí interviene el teorema de Brouwer.

[argentinator]

Gracias carlos. Respondiste mi pregunta. Es esa justo la duda q tenia