[Carlos Ivorra]

No.  Lo que demuestro es que \( \mathbb{R}^n \) no es homeomorfo a un subconjunto abierto de \( \mathbb{R}^m \).  Esa era la intención de mi demostración.

Pero, como ya dije, acabo de leer correctamente el ejercicio, y no es el que yo había creído.  Por eso digo que mi demostración está mal: no porque esté mal hecha (porque cumple su propósito: demuestra), sino porque no responde al ejercicio original.

Sí, te entiendo, pero lo cierto es que tu demostración no prueba lo que pretendes probar. Acabas diciendo que todo subconjunto de \( \mathbb{R}^m \) homeomorfo a un abierto es abierto, y lo que te digo es que ese paso no es evidente, sino que es más difícil de probar que lo que pretendes probar con tu argumento.

[Héctor Manuel]

Tanius: El homeomorfismo es una relación de equivalencia.

Carlos: mmm no sé.  No lo veo claro: si \( A,B\subseteq\mathbb{R}^m \) son homeomorfos, con \( B \) abierto y \( f:A\to B \) el homeomorfismo, entonces \( f^{-1}(B) \) es abierta por continuidad, pero éste último es \( A \) por la suprayectividad.  Creo que hasta aquí estamos de acuerdo.  Entonces no entendí cuál es el error que me quieres hacer ver.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Carlos: mmm no sé.  No lo veo claro: si \( A,B\subseteq\mathbb{R}^m \) son homeomorfos, con \( B \) abierto y \( f:A\to B \) el homeomorfismo, entonces \( f^{-1}(B) \) es abierta por continuidad, pero éste último es \( A \) por la suprayectividad.  Creo que hasta aquí estamos de acuerdo.  Entonces no entendí cuál es el error que me quieres hacer ver.

Lo que tienes por continuidad es que \( f^{-1}[B] \) es abierto en \( A \) (en su topología relativa), lo cual no significa que sea abierto en \( \mathbb{R}^m \). Eso no es trivial.

[Héctor Manuel]

No quiero hacerte enfadar (tal vez sea porque estoy muy cansado pues tuve un día muy laborioso), pero sigo sin verlo:

\( f^{-1}(B) \) es abierta, en la topología relativa, en \( A \) (correcto).

Pero \( f^{-1}(B)=A \)... huy, ya lo ví.  \( A \) es abierto en sí mismo, trivialmente, pero ello no implica que sea abierto en \( \mathbb{R}^m \).   Tienes razón.

Por otra parte, entonces entiendo que dicha afirmación es correcta, y ahora veo que:

si \( A,B\subseteq\mathbb{R}^m \) son homeomorfos, con \( B \) abierto y \( f:A\to B \) el homeomorfismo, entonces \( f^{-1}(B) \) es abierta por continuidad, pero éste último es \( A \) por la suprayectividad.

no implica dicha afirmación, y tú me dices que la demostración no es trivial.  ¿He comprendido bien?, en cuyo caso, ¿dónde puedo revisar dicha demostración?

Saludos.

[Carlos Ivorra]

No quiero hacerte enfadar (tal vez sea porque estoy muy cansado pues tuve un día muy laborioso), pero sigo sin verlo:

¡Oye! Que yo no me enfado por que alguien me lleve la contraria, y mucho menos si lo hace razonadamente.

Por otra parte, entonces entiendo que dicha afirmación es correcta, y ahora veo que:

si \( A,B\subseteq\mathbb{R}^m \) son homeomorfos, con \( B \) abierto y \( f:A\to B \) el homeomorfismo, entonces \( f^{-1}(B) \) es abierta por continuidad, pero éste último es \( A \) por la suprayectividad.

no implica dicha afirmación, y tú me dices que la demostración no es trivial.  ¿He comprendido bien?, en cuyo caso, ¿dónde puedo revisar dicha demostración?

Pues eso es un teorema de Brouwer y la única prueba que conozco se basa en la teoría de la dimensión. Yo me estudié la prueba hace muchos años, y la saqué del libro "Dimension Theory" de Hurewicz y Wallmann, pero la tengo en unos apuntes manuscritos impresentables en una libreta, nada que pueda subir al foro.

Esta mañana busqué en la red algo de teoría de la dimensión para Tanius y no tardé en encontrar el archivo que le he adjuntado. Ahí no viene ese resultado, pero tal vez buscando algo más a fondo se podría encontrar. En cualquier caso, tendrías que buscar por material sobre teoría de la dimensión. No sé si existirá una prueba por la vía alternativa (la topología algebraica), pero no recuerdo haber visto ninguna.

[Héctor Manuel]

Gracias.

Saludos.

[Tanius]

Perdón, Carlos. En el primer pdf que me enviaste se menciona la relación: \( \mathbb{R} ^n \) es homeomorfo a \( \mathbb{R} ^m \) si y sólo si \( n=m \). ¿Pero esto es suficiente para decir que ningún abierto de \( \mathbb{R} ^n \) es homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R} ^m \) (me refiero a que si de aquí es posible deducir lo que preguntaba al principio, lo cual es más general)?

[Carlos Ivorra]

Perdón, Carlos. En el primer pdf que me enviaste se menciona la relación: \( \mathbb{R} ^n \) es homeomorfo a \( \mathbb{R} ^m \) si y sólo si \( n=m \). ¿Pero esto es suficiente para decir que ningún abierto de \( \mathbb{R} ^n \) es homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R} ^m \) (me refiero a que si de aquí es posible deducir lo que preguntaba al principio, lo cual es más general)?

Sí. A partir de lo que se demuestra en el pdf la generalización es trivial: se trata de asociar una dimensión a cada espacio topológico a partir exclusivamente de su topología, de modo que dos espacios homeomorfos tienen necesariamente la misma dimensión, y luego demostrar que la dimensión de \( \mathbb{R}^n \) es precisamente \( n \).

Ahora bien, verás que en el pdf se demuestra que la dimensión de un subespacio es siempre menor o igual que la dimensión del espacio, luego la dimensión de todo abierto de \( \mathbb{R}^n \) es, por una parte, \( \leq n \) y, por otra parte, todo abierto contiene un subespacio homeomorfo a un cubo \( I^n \), cuya dimensión también es \( n \) (como se prueba en el pdf), luego la dimensión de todo abierto de \( \mathbb{R}^n \) es igual a \( n \), y eso prueba que un abierto de \( \mathbb{R}^n \) no puede ser homeomorfo a un abierto de \( \mathbb{R}^m \) salvo si \( n=m \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Por autopublicitarnos un poco, señalar que nuestro más joven moderador Braguildur realizó un trabajo sobre la cohomología de DeRham dónde se prueba el resultado.

 El trabajo está publicado en la cabecera de nuestro sitio:

http://rinconmatematico.com/

 Esencialmente las técnicas son de topología algebraica y geometría diferencial.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Decía que no sabía si hay una prueba del teorema de Brouwer (el que dice que todo subconjunto de \( \mathbb{R}^n \) homeomorfo a un abierto es abierto) basada en la topología algebraica y resulta que lo tengo probado en mi libro de topología algebraica (Teorema 3.21).