La verdad es que no hacían falta 200 mensajes para acabar aplicando a las "bravas" la fórmula general del área de una superficie en \( R^3 \). Sinceramente, esperaba alguna otra explicación diferente a emplear el método general ya que has insistido tanto en pedir una justificación que por lo he visto no existe.
Sí que existe. La tienes en mi libro de análisis matemático, páginas 321-326. El núcleo del argumento está en la página 324, donde se demuestra que si tienes un subconjunto compacto de una variedad, para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que para todo cubrimiento finito del compacto formado por conjuntos de Borel de diámetro menor que \( \delta \) la suma de las áreas de las proyecciones sobre los espacios tangentes en un punto cualquiera de cada conjunto dista de la integral que da la fórmula de Gauss menos de \( \epsilon \), que es la forma técnica de decir que si embaldosas la superficie con baldosas tangentes, la suma de las áreas de las baldosas converge a un mismo número (independiente de la carta que consideres) y ese número es el que proporciona la fórmula de Gauss.
Me ofrecí a exponerlo particularizado al caso de superficies, pero quienes saben de qué va esto no mostraron interés (lo cual es comprensible) y, desde luego, no me voy a tomar la molestia de detallarlo (que supondría mucho esfuerzo y mucho tiempo) para que luego os salgais por la tangente como venís haciendo todo el tiempo Jabato y tú. Si quieres leerlo, ya te he dado la referencia y con gusto te resolveré cualquier duda que te surja al respecto.
Como te ha dicho Jabato y te repito yo, cualquier matemático aplicado (leáse ingenieros, físicos, etc.) no resuelve los problemas planteando a las bravas la fórmula más general posible y particularizando en cada caso, sino que utilizando los principios físicos, la lógica, la intuición y la experiencia establece un enfoque al problema que con el "mínimo esfuerzo" sea suficiente para resolver el problema,
Te he pedido varias veces que expliques cómo funciona esa "lógica" y esa "intuición" de las que hablas, y hasta ahora no me has dicho nada al respecto. Es muy extraña una lógica y una intuición que ante los mismos datos "deduce" conclusiones distintas según que quieras un área o un volumen. Así que me ratifico en que lo que hay detrás no es ni "lógica" ni "intuición", sino más bien "experiencia", que en este contexto es más o menos lo mismo que "buena memoria".
En cuanto a lo del "mínimo esfuerzo", no es tan mínimo, porque yo puedo calcular el área de la esfera mucho más rápidamente que tú. Mira:
Mi "intuición" y mi "lógica" me dicen que el área de una semiesfera es:
\( \displaystyle\frac{ S}{2}=2\pi r^2 \),
luego, operando llegamos a que \( S= 4\pi r^2 \). ¡Ni integrales me han hecho falta!
Y espero que notes que la parodia es menos superficial de lo que podrías pensar: a la hora de calcular el área de la esfera, el punto delicado es calcular \( dS \), y lo que queda es una integral trivial. (En otros ejemplos la integral puede no ser trivial, pero en éste sí lo es.) Así que si tu "solución" consiste en plantar sin justificación alguna (aún la estamos esperando) la fórmula para \( dS \) y luego poner sobre el papel la parte trivial del argumento, puestos a admitir ese juego sucio yo puedo igualmente poner sobre el papel el área de la semiesfera y acabo antes con la misma falta de rigor. Puestos a dar saltos en el vacío, cuanto más largo sea el salto, antes acabamos.
y deja la "artillería pesada" para los casos en que la visión espacial o la geometría del objeto es más compleja porque sabe que por encima de dimensión 3 o 4 en relatividad, las Matemáticas rigurosamente son capaces de proporcionarle las herramientas necesarias y debidamente demostradas para lidiar con el problema. Afortunadamente, los problemas diarios con los que se enfrentan los ingenieros no precisan resolver integrales sextuples o de dimensión 46 sino que con simples, dobles o triples nos vamos "apañando" y no está mal porque eso permite diseñar y construir aviones, puentes, torres, coches, barcos, carreteras, etc. con suficiente "calidad".
Todo ello gracias a que, después de divagar sobre infinitésimos, acabas aplicando la fórmula de Gauss.
Por ello, en el caso concreto de la superficie de la esfera, mi enfoque y el elemento diferencial considerado fue el que fue por las razones que te acabo de esgrimir.
¿Razones? Sigo esperando esas razones que nunca consigo leer cuando las "esgrimes". Sólo leo vaguedades.
Siendo preguntado por qué era ese el correcto y no otro, te dije que no encontraba una justificación que te satisficiera pero es que ahora me he dado cuenta que tú tampoco la tienes. Tú lo único que sabes hacer es aplicar el método general y decir que lo que no dé igual a eso no vale pero en el fondo no respondes a tus mismas preguntas que versaban sobre por qué el área de un elemento diferencial de superficie esférica se puede aproximar por el de un elemento diferencial de superficie cilíndrica con altura diferencial igual al diferencial de arco y no al diferencial de altura.
Sí tengo las respuestas. Te remito a mi libro de análisis matemático.
Si estás de acuerdo en algo por primera vez, podemos pasar a estudiar el caso del volumen de la esfera. De lo contrario, podemos seguir dándole vueltas al manubrio.
¿Y en qué tendría que estar de acuerdo? Todas las preguntas siguen en pie. Estamos de acuerdo en que cuando calculas en serio, calculas en serio, pero sigo sin saber cuál es esa alternativa al método serio. Hasta ahora no has dicho más que "se mira fijamente a la figura y se deja que la mano escriba sola dS igual a algo". No has dicho nada sobre cuáles son esos argumentos lógico-intuitivos que te permiten llegar a la fórmula de Gauss (porque ahí llegas) a través de meditación zen. No me has explicado cómo te las compones para distinguir "intuitivamente" las propuestas de dS que son correctas (= corroboradas por Gauss) de las incorrectas. Reconozco que no puedo asegurar que tu método no sea correcto. Lo que puedo asegurar es que tu método no existe (si es que se supone que tu método está explicado en este hilo).
Carlos, intento frenarme y no decirte cosas que no aportan nada al debate, pero es que eres reiterativo.
Hombre: ¿cómo distingues las diferenciales buenas de las malas? (respuesta: silencio), pero ¿cómo distingues las diferenciales buenas de las malas? (respuesta: vaguedades), pero ¿cómo distingues las diferenciales buenas de las malas? (respuesta: ya te lo he explicado (?)), pero ¿cómo distingues las difereciales buenas de las malas? (respuesta: eres reiterativo).
A ver qué quieres que te diga mientras no me expliques cómo distingues las diferenciales buenas de las malas.
Ya sabemos todos que escribes latín (una proeza hoy en día, aunque yo lo estudié en profundidad en su día), pero ¿a qué diablos viene tanto latinajo? ¿Es para demostrar lo bien que sabes latín? Yo podría escribir todos mis mensajes en perfecto ingés británico e incluso mantener el debate en inglés por teléfono y no lo hago porque en este foro se habla en español o en castellano y porque no necesito dejarle ver a la gente mi dominio del inglés, del francés o del austro-húngaro, ya que en defintiva es un foro de MATEMÁTICAS. Tus latinajos demagógicos e irónicos desde luego que no aportan NADA al debate.
Es que en latín tengo menos soltura que en castellano, así que en castellano diría más cosas, por lo que es mejor dejarlo en el latinajo, pero, ya que me lo pides, te respondo:
¿Qué respuesta crees tú que merece alguien que dice "esto es muy fácil de probar, no hace falta que lo haga", yo le replico: "pues yo no lo veo, si es fácil, indica la prueba", y me responde
"ah, pues si no sabes demostrarlo, yo no lo voy a hacer, te vas a quedar sin saberlo".Es la última frase que yo me imaginaba que leería nunca en este foro, que alguien pregunte algo que "en teoría" es fácil y que reciba como respuesta que "te vas a quedar sin saberlo porque yo no te lo pienso decir". Me recuerda a cuando le preguntaron a Warren Sánchez por el sentido de la vida (busca en internet "el sendero de Warren Sánchez y sabrás de qué hablo"). ¿No es evidente para todos que si Jabato hubiera sido honesto no habría dicho ese despropósito y habría reconocido que estaba diciendo que era fácil algo que no tiene ni idea de cómo demostrar (lo cual es disculplable porque es falso)?
Y en cuanto al otro: ¿No te parece cínico hasta el absurdo que primero adule a el_manco ensalzando sus virtudes y que en cuanto éste le lleva la contraria le diga que no se entera de nada, que sus argumentos no se sostienen y barbaridad sobre barbaridad?, cuando, huelga decir, que el_manco entiende perfectamente todo lo que dice Jabato, y que sus respuestas son objeciones en toda regla a las incongruencias de Jabato. Jabato tiene todo el derecho a decir incongruencias y ser tratado con respeto, pero no tiene derecho a decir incongruencias y mirar por encima del hombro tratando de tonto a quien se las señala con rigor y educación (me refiero a el_manco, por supuesto).
La pedantería ya no está de moda, my friend, you'd better put it behind you now.
No es para tanto. Lo de
Sic transit gloria mundi lo aprendí en un episodio de El coche fantástico (es que Devon Mails era un tanto pedante, a veces).
