Hola
No, no, no solo es eso, lo que afirma el método es que cualquier infinitésimo vale, no solo esos que citas, cualquiera vale y ahí es donde reside la gracia del asunto.
¿Cualquiera vale? ¿Puedo aproximar el área de nuestros trocitos de superificie por cualquier cosa?. Obviamente no como mostró Carlos en su ejercicio, con dos posibles aproximaciones incorrectas. No como muestra la paradoja del cilindro. Y volvemos a lo mismo. La forma que propones para comprobar si esas aproximaciones son correctas, implica conocer el área que buscamos.
Porque si tuviéramos que hacer los cálculos de esa forma efectivamente la discusión había terminado, pero si te fíjas, usar elementos diferenciales abrevia considerablemente el procedimiento de cálculo, aparte de presentar otras muchas ventajas que ya te he citado en otros mensajes.
Es curioso: en los dos ejemplos que hemos trabajado aquí, la esfera y el ejercicio de Carlos, has usado
exactamente la fórmula de Gauss (más allá de que te compliques un poquito más en el cálculo del área del paralelogramo, que puede obtener directamente como la normal de producto vectorial de sus lados).
La esfera en tu respuesta 75:
Spoiler
Quiero ahora incluir aquí un detalle de como se debería calcular la superficie de una esfera usando la noción de "elemento diferencial" de superficie, más que nada por aclarar algunos conceptos que se expresaron en la solución que aportó Island y los posteriores comentarios de Carlos Ivorra.
En principio no estaría de acuerdo con ninguno de los dos, aunque me quedo más con la versión de Island que con los comentarios que se añadieron después.
Si consideramos que el cálculo debe corresponder a una expresión de la forma:
\( \displaystyle\iint_{\sigma}^{}da \)
Entonces el dominio de la integración es la superficie de la propia esfera, \( \sigma \) y ése es por tanto el dominio que debe ser dividido en elementos.
Bien, existen infinitas formas de hacerlo y mostraré aquí una parte de ellas utilizando la técnica de parametrizar la esfera mediante dos haces de curvas que la recubran completamente. Supondré que la parametrización de la esfera viene dada mediante las ecuaciones:
\( x=x(u,v) \) \( y=y(u,v) \) \( z=z(u,v) \) (1)
en las que \( u \) y \( v \) son parámetros con una determinada variación de tal forma que a cada par de valores le corresponde un único punto de la esfera y vicebersa, a cada punto de la esfera le corresponden un único par de valores \( (u,v) \)
Se ve claramente que al fijar el valor de uno cualquiera de los parámetros y considerar que el otro varía en su rango el sistema de ecuaciones (1) se transforma en las ecuaciones paramétricas de una curva que debe estar contenida en la esfera. Considerando las familias de curvas que se obtienen al fijar uno y otro parámetro lo que obtenemos son dos familias de curvas de tal forma que todas ellas están incluidas en la esfera, formando una especie de malla que la recubre y que se conocen habitualmente como haces de curvas paramétricas de una superficie, y que nos van a servir para delimitar los elementos diferenciales de superficie que constituyan la partición de la superficie esférica, que es de momento nuestro objetivo.
Así pues podemos establecer que un elemento diferencial de dicha superficie estará contenido en la superficie y se verá delimitado por cuatro curvas paramétricas, dos correspondientes a cada uno de los haces. El ejemplo más gráfico que conozco para la esfera es el de los meridianos y paralelos, aunque evidentemente no es la única forma de hacerlo. Cada una de las parametrizaciones posibles de la esfera nos conducirá a dos haces distintos de curvas paramétricas y a elementos diferenciales con formas y medidas distintas. Hasta aquí no hay nada raro, todo es formalmente correcto y no existe manipulación alguna.
Si yo ahora realizo particiones cada vez más finas de los dominios de \( u \) y \( v \) respectivamente estableceré sendos conjuntos de curvas paramétricas que se extenderán por la superficie de la esfera formando una red, de manera tal que cada una de las celdillas de dicha red es lo que va a constituir nuestro elemento diferencial de superficie. Y la manipulación viene ahora, cuando debemos estimar la medida de cada una de esas celdillas. Una sencilla imagen aclarará un poco todo lo dicho hasta ahora, aunque para cualquiera que conozca un poco la geometría diferencial esto no debería suponer ningún descubrimiento:
La suma de las áreas de cada una de las celdillas que conforma la red de curvas paramétricas extendida a toda la superficie nos dará una aproximación de la superficie total, que será tanto mejor cuanto mayor sea el número de curvas paramétricas que consideremos y por lo tanto cuanto mayor sea el número de celdillas. En el límite la aproximación es exacta.
Y bien ahora viene la manipulación, si es que existe alguna, que se produce a la hora de evaluar el tamaño, la medida, de cada una de las celdillas. La manipulación de dichos elementos diferenciales permite aproximar las curvas paramétricas a sendas poligonales y las celdillas a pequeños rombos delimitados por los elementos de cada una de esas poligonales. El resto es un sencillo cálculo geométrico que no debería plantear dificultad alguna y que en el caso de considerar una parametrización cualquiera de la esfera dada el resultado al que deberemos llegar será el correcto, es decir:
\( S=4\pi R^2 \)
Si hace falta muestro aquí algunos ejemplos para corroborar mi afirmación de que el cálculo conduce siempre al valor correcto de la superficie de la esfera. Omito los detalles por brevedad y porque creo que son innecesarios, aunque creo que el caso ilustra perfectamente mi idea de lo que son los elementos diferenciales y cual es el uso correcto que debe hacerse de ellos. Todo lo demás son consideraciones que no guardan relación con mi interpretación de lo que son tales objetos.
Resulta evidente ahora que aunque el cálculo que mostró Island de la superficie de la esfera es correcto, el elemento de superficie que eligió no se ajusta a las exigencias que yo considero que deben satisfacer lo elementos diferenciales (deben tener un diámetro tan pequeño como queramos) y por lo tanto no es en principio aceptable en cuanto a lo que debe considerarse elemento diferencial. Con lo que ya no estoy en absoluto de acuerdo es con los comentarios que hizo Carlos Ivorra a ese cálculo, porque para mí sí es cierto que hay una razón para justificar que ese elemento elegido puede utilizarse y no puede utilizarse el que nos propuso Carlos como substituto para ese cálculo, aunque eso estará explicado en el próximo mensaje que exponga, cuando tenga otro rato.
Saludos, Jabato. 
El ejercicio de Carlos, respuesta 175:
Spoiler
Utilizaré la estrategia de los elementos diferenciales, ya que para eso la tenemos. Consideraré como elemento de superficie aquella que cubre cada una de las celdillas que tu consideraste en tu cálculo anterior y como estimación a su medida el valor del área equivalente pero medida esta vez sobre el plano tangente a la superficie en cada punto.
Dicho plano, considerado en un sistema de referencia centrado en cada punto, viene dado por la ecuación:
\( dz=ydx+xdy \)
en la que se considera ahora que \( x \) e \( y \) son constantes que dependen solo del punto considerado. La porción de ese plano bajo la celdilla correspondiente tiene por superficie el valor:
\( dS=\displaystyle\frac{dxdy}{Cos(\gamma)} \)
en la que el ángulo \( \gamma \) representa la inclinación de dicho plano tangente respecto del plano XY, que es constante para cada plano tangente pero que depende de los valores de \( x \) e \( y \), puesto que la inclinación del plano tangente varía con el punto de la superficie que considremos.
Así pues el área que buscamos tiene por expresión:
\( \displaystyle\iint_{}^{}\displaystyle\frac{dxdy}{Cos(\gamma)} \)
Solo nos queda expresar \( Cos(\gamma) \) en función de los valores de \( x \) e \( y \) que estemos considerando y realizar a continuación la correspondiente integración a todo el dominio. Puesto que el vector normal a cada plano tangente tiene por componentes las (-y,-x,1) podemos concluir que:
\( Cos(\gamma)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x^2+y^2+1}} \)
y el área buscada tiene por expresión:
\( \displaystyle\iint_{\sigma}^{}\displaystyle{\sqrt[ ]{x^2+y^2+1}}\ dxdy \)
La expresión que se obtiene es algo complicadilla de integrar, pero como lo que interesa aquí es el método empleado me vas a permitir que omita su resolución. Probablemente esta complejidad es consecuencia del elemento que he escogido para resolverla, quizás si lo medito un poco más ecuentre otra solución que conduzca a una integral más sencilla, ó si interesa determinar su valor podría utilizarse otra vez el programa Mathemática para evaluarla. Yo no lo conozco así que lo dejo estar así, pero ése debería ser el valor de la superficie pedida, lo que salga la integración.
Saludos, Jabato.
Además parece que la crítica generalizada es la de no tener fundamento la forma de manipular los elementos, y esa forma de manipulación es consecuencia de pensar en "elementos diferenciales" como en trocitos de dominio, no como entidades abstractas como son las formas diferenciales, y es ahí donde estriba la diferencia fundamental, yo cuando integro me imagino un trocito de dominio y razono en base a esa imagen geométrica, intuitiva, no me imagino una forma diferencial y actúo en base a sus propiedades algebraicas, aunque también podría hacerlo.
O sea, que al final razonas en base a la intuición: ¿estamos de acuerdo en que la intución no es un método seguro, inambiguo, de cálculo?. Si piensas que si lo es. Tema zanajado también: tenemos concepciones distintas sobre la rigurosidad en matemáticas.
Yo desde luego no me lo pienso dos veces a la hora de calcular y solo recurro a los métodos ortodoxos cuando no me queda otra alternativa, que también sé hacerlo, pero siempre que puedo utilizo éstos porque son mucho más intuitivos y ágiles.
Insisto en los dos cálculos que hemos hecho aquí, has usado la fórmula de Gauss y no se tarda ni un minuto mas en hacerlo formalmente que "veladamente" (no interpretes lo de "veladamente" como "maliciosamente", me refiero a llegando a ella desde tu propio enfoque). La fórmula es bien fácil y directa de aplicar. Y no tengo que preocuparme de justificarla para cada caso particular, porque ya lo han hecho riguosamente (en los libros de geometría diferencial) para el caso general.
Tendré que pensarlo para hacer eso que me pides por que el caso es complicado, pero lo intentaré. Ya te diré algo.
Aunque ya que tu me pides algo, yo haré lo mismo contigo, pero además sin limitarte las herramientas, puedes usar las que quieras. Te voy a pedir que me demuestres que ese conjunto de triángulos extrapolado al límite converge a la superficie del cilindro, porque si es cierto que la suma de sus áreas debería corresponder al área del cilindro es porque tenemos claro que dicha convergencia se produce, y eso no es tan evidente para mi, de hecho es falso para algunos casos.
¿Te parece razonable mi petición?
Es que no entiendo lo que me pides. ¡
El propio artículo hace esos cálculos y muestra que dependiendo de como se sumen las áreas de los triangulitos, se llega o no al valor correcto de la superificie!. Eso muestra que la elección de las aproximaciones de las áreas de los elementos diferenciales, no es trivial. Debe de justificarse porque si valen unas y no otras. Que es lo que se te pide por activa o por pasiva. Yo no tengo que justificar nada en este punto: Yo usaría la fórmula de Gauss que esta probada en los libros con toda rigurosidad. Yo
no pretendo afirmar que puede tomarse cualquier otra aproximación del área de los elementos diferenciales, basándome en criterios geométricos, intuitivos, o como les quieras llamar.
Saludos.
