Hola, Carlos:
La verdad es que no hacían falta 200 mensajes para acabar aplicando a las "bravas" la fórmula general del área de una superficie en \( R^3 \). Sinceramente, esperaba alguna otra explicación diferente a emplear el método general ya que has insistido tanto en pedir una justificación que por lo he visto no existe.
Me imagino que sabrás que conozco ese método que has empleado aunque me gustaría exponerlo exactamente como yo lo habría aplicado en los dos ejemplos que teníamos abiertos:
1.- Área de la Superficie de la Esfera:
Puesto que la esfera centrada en el origen \( O \) y con radio \( r \), tiene por ecuación \( f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 \) en coordenadas cartesianas, si la escribimos en polares, tendríamos:
\(
\left\{ \begin{array}{l}
x = r\sin (v)\cos (u) \\
y = r\sin (v)\sin (u) \\
z = r\cos (v) \\
\end{array} \right.,0 \le v \le \pi ;\,\,0 \le u \le 2\pi
\)
Ahora, el diferencial de superficie \( dS \) se puede escribir con ayuda del Jacobiano, de la siguiente manera:
\(
dS = \sqrt {J^2 \left( {\frac{{x,y}}{{u,v}}} \right) + J^2 \left( {\frac{{y,z}}{{u,v}}} \right) + J^2 \left( {\frac{{z,x}}{{u,v}}} \right)} \,du\,dv = ... = r^2 sen(v)dudv
\), donde:
\(
J\left( {\frac{{x,y}}{{u,v}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial x}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial x}}{{\partial v}}} \\
{\frac{{\partial y}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial y}}{{\partial v}}} \\
\end{array}} \right|,\,J\left( {\frac{{y,z}}{{u,v}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial y}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial y}}{{\partial v}}} \\
{\frac{{\partial z}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial z}}{{\partial v}}} \\
\end{array}} \right|,\,J\left( {\frac{{z,x}}{{u,v}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial z}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial z}}{{\partial v}}} \\
{\frac{{\partial x}}{{\partial u}}} & {\frac{{\partial x}}{{\partial v}}} \\
\end{array}} \right|
\)
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera será:
\(
S = \int\limits_0^{2\pi } {du} \int\limits_0^\pi {r^2 \sin (v)dv = ... = 4\pi r^2 }
\)
2.- Área de la superficie \( f(x,y) = xy \) en el dominio \( \left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right] \):
Estamos ante el caso de una superficie definida de forma explícita, por lo que de los Jacobianos se deduce que:
\(
dS = \sqrt {1 + \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)^2 } dx\,dy = ... = \sqrt {1 + y^2 + x^2 } dx\,dy
\)
Por lo tanto, él área de la superficie buscada será:
\(
S = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + y^2 + x^2 } dx\,dy} = ... = 1.280789275...
\)
Ahora me dirás que, efectivamente, estos dos cálculos derivan, como no puede ser de otra manera, de la fórmula general para el área de una superficie \( \overrightarrow \varphi (u,v) = x(u,v)\overrightarrow i + y(u,v)\overrightarrow j + z(u,v)\overrightarrow k ,\,\,\,\forall (u,v) \in D. \), i.e.:
\( S = \iint\limits_D {\left\| {\overrightarrow {T_u } \times \overrightarrow {T_v } } \right\|du\,dv \), donde los vectores \( {\overrightarrow {T_u } } \) y \( {\overrightarrow {T_v } } \) determinan el plano tangente a la superficie en un punto \( (u_{_0 } ,v_0 ) \) y por lo tanto el vector \( {\overrightarrow {T_u } \times \overrightarrow {T_v } } \) es normal a la superficie \( S \).
Como te ha dicho Jabato y te repito yo, cualquier matemático aplicado (leáse ingenieros, físicos, etc.) no resuelve los problemas planteando a las bravas la fórmula más general posible y particularizando en cada caso, sino que utilizando los principios físicos, la lógica, la intuición y la experiencia establece un enfoque al problema que con el "mínimo esfuerzo" sea suficiente para resolver el problema, y deja la "artillería pesada" para los casos en que la visión espacial o la geometría del objeto es más compleja porque sabe que por encima de dimensión 3 o 4 en relatividad, las Matemáticas rigurosamente son capaces de proporcionarle las herramientas necesarias y debidamente demostradas para lidiar con el problema. Afortunadamente, los problemas diarios con los que se enfrentan los ingenieros no precisan resolver integrales sextuples o de dimensión 46 sino que con simples, dobles o triples nos vamos "apañando" y no está mal porque eso permite diseñar y construir aviones, puentes, torres, coches, barcos, carreteras, etc. con suficiente "calidad".
Por ello, en el caso concreto de la superficie de la esfera, mi enfoque y el elemento diferencial considerado fue el que fue por las razones que te acabo de esgrimir. Siendo preguntado por qué era ese el correcto y no otro, te dije que no encontraba una justificación que te satisficiera pero es que ahora me he dado cuenta que tú tampoco la tienes. Tú lo único que sabes hacer es aplicar el método general y decir que lo que no dé igual a eso no vale pero en el fondo no respondes a tus mismas preguntas que versaban sobre por qué el área de un elemento diferencial de superficie esférica se puede aproximar por el de un elemento diferencial de superficie cilíndrica con altura diferencial igual al diferencial de arco y no al diferencial de altura.
Si estás de acuerdo en algo por primera vez, podemos pasar a estudiar el caso del volumen de la esfera. De lo contrario, podemos seguir dándole vueltas al manubrio.
Carlos, intento frenarme y no decirte cosas que no aportan nada al debate, pero es que eres reiterativo. Ya sabemos todos que escribes latín (una proeza hoy en día, aunque yo lo estudié en profundidad en su día), pero ¿a qué diablos viene tanto latinajo? ¿Es para demostrar lo bien que sabes latín? Yo podría escribir todos mis mensajes en perfecto ingés británico e incluso mantener el debate en inglés por teléfono y no lo hago porque en este foro se habla en español o en castellano y porque no necesito dejarle ver a la gente mi dominio del inglés, del francés o del austro-húngaro, ya que en defintiva es un foro de MATEMÁTICAS. Tus latinajos demagógicos e irónicos desde luego que no aportan NADA al debate. La pedantería ya no está de moda, my friend, you'd better put it behind you now.
Saludos,
island in the darkness.
