Autor Tema: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Agosto, 2011, 11:04 pm
Respuesta #20

feriva

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,168
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Realmente no hace falta añadir esa definición, ahora que lo veo, puesto que Peano prácticamente define o da a entender que el 1, el primero, es una cota por la izquierda; y ahí hay una diferencia esencial con el primero del conjunto que yo decía; que no es una cota.
 
 Ahora, una pregunta personal (pero no es una pregunta comprometida) cuando decías que la cuestión era si esos axiomas definían a \( \mathbb{N} \) ¿estabas haciendo una pregunta retórica dando por sentado que es así, o crees que puede haber algo que falta?

Saludos.

07 Agosto, 2011, 11:05 pm
Respuesta #21

feriva

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,168
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Si X es el conjunto de las funciones continuas, no hay ni "izquierda" ni "derecha".
Una sucesión de funciones \( f_n \) distintas que converge a la función 0 en X es un ejemplo de sucesión bastante arbitraria, y ahí sigue siendo posible hablar de Axiomas de Peano.
La terna ahí sería \( (F, f_1, S) \), donde \( F = \{f_1, f_2, f_3, ...\}, S(f_n) = f_{n+1} \).

Pero ya con el "subíndice" n le estoy "contagiando" la estructura de los naturales.

Hago siempre lo mismo, que es muy burdo.

No obstante, uno podría construirse ejemplos de ternas \( (X, e, s) \) que cumplan los Axiomas de Peano, sin necesidad de hacerlas a propósito como sucesiones con subíndice natural...

Todo esto, siempre en la teoría de conjuntos más estándar que se te ocurra.

Pues vaya, ya he metido la pata en la contestación que había mandado antes de ver esto...

07 Agosto, 2011, 11:10 pm
Respuesta #22

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

cuando decías que la cuestión era si esos axiomas definían a \( \mathbb{N} \) ¿estabas haciendo una pregunta retórica dando por sentado que es así, o crees que puede haber algo que falta?
 

No, estoy haciendo una pregunta que todo el mundo debería hacerse.

Si das una lista de axiomas, ¿todo objeto matemático que lo satisface es isomorfo?

Tomemos por ejemplo los Axiomas de "Espacio Vectorial".

Está claro que \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^7 \) satisfacen los axiomas de espacio vectorial.
¿Pero son isomorfos?
Claro que no.

Ahora tomemos otra lista de Axiomas: los de Peano.

Supongamos dos ternas (N, e, s), (N', e', s') que satisfacen los Axiomas de Peano.
¿Son isomorfos?
En principio no se sabe.
En la teoría de conjuntos ZFC, sin embargo, esto se puede demostrar.
O sea que la respuesta sería: SÍ, son isomorfos.

Esto permite pensar que los sistemas de números naturales son, en realidad, "como si fueran uno solo", no hay ambigüedad.

Un espacio vectorial no se puede reemplazar por otro cualquiera. No es válido, porque no se sabe si son isomorfos.
En cambio, un sistema de "Peano" (N, e, s) se puede reemplazar por otro cualquiera (N', e', s'), y nada cambia, todo sigue siendo válido.

07 Agosto, 2011, 11:15 pm
Respuesta #23

feriva

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,168
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

En cambio, un sistema de "Peano" (N, e, s) se puede reemplazar por otro cualquiera (N', e', s'), y nada cambia, todo sigue siendo válido.


Bien, quizá eso es lo que yo veía y daba lugar a que pensara en la necesidad de algún axioma extra; sin ser necesario.

Saludos.

07 Agosto, 2011, 11:19 pm
Respuesta #24

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Realmente no hace falta añadir esa definición, ahora que lo veo, puesto que Peano prácticamente define o da a entender que el 1, el primero, es una cota por la izquierda;


En los Axiomas de Peano no se puede hablar de "cotas por la izquierda", porque los números naturales no tienen un orden estipulado previamente en esa lista de Axiomas.

Fijate que nunca aparece una relación de orden en los axiomas.

Tampoco es correcto decir que "1" es un "primer elemento".
Al menos, en la lista de Axiomas de Peano, eso no tiene sentido,
inclusive si Peano alguna vez lo haya dicho así (que no recuerdo).

No hay "primero" porque no hay "orden".

El "orden" de los naturales se construye después.
Se puede hacer en forma algebraica, pero quizá también en forma "recursiva", mediante algún truquito con el Principio de Definición Recursiva.

Pero las "cotas" aparecen sólo si sabés de qué "relación de orden" estás hablando.
¿Cuál es la relación de orden en (N, e, s), si en los Axiomas todavía no la definió?

Los Axiomas sólo dicen aquello que dicen, y nada más.
Lo demás, propiedades que uno "se imagina" o "se acuerda", en realidad hay que "demostrarlas a todas, una por una".
Esto incluye el "ponerse a construir una relación de orden", demostrar que es un orden, y luego demostrar que el 1 es una cota inferior.
Eso lleva trabajo, demostraciones, no sale del aire.

Y las reglas del juego son estas: para afirmar esas nuevas cosas sólo es válido aplicar los axiomas que están dados de entrada.

De eso se tratan los Axiomas.
No es una mera colección de propiedades. Se procura que toda la teoría de los naturales surja usando "solamente" esas propiedades.
Todo sale de los Axiomas de Peano, y nada puede salir "del aire".

Obviamente que los Axiomas de Peano no están solos, también están los Axiomas de la Teoría de Conjuntos, y los Axiomas Lógicos.
Pero la idea es la misma: hay unas reglas de juego, y no se pueden hacer "pasos" fuera de esas reglas.

Es como al jugar al ajedrez: no se puede hacer que el caballo mueva como la reina, es un movimiento no permitido por las reglas.
Cada cosa que se afirma debe ser o un Axioma, o un Teorema exclusivamente deducido a partir de las reglas axiomáticas y lógicas previamente estipuladas.

Algo maquinal.

07 Agosto, 2011, 11:38 pm
Respuesta #25

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
O sea, que la función s se llama "sucesor" o "siguiente" no tiene que traer la confusión de que realmente hay un "orden" ahí, o un primero.

Es sólo una palabra "vacía de significado", salvo por el hecho concreto que los axiomas de Peano le dan: s es una función inyectiva de cierto tipo.

07 Agosto, 2011, 11:39 pm
Respuesta #26

feriva

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,168
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino


Tampoco es correcto decir que "1" es un "primer elemento".
Al menos, en la lista de Axiomas de Peano, eso no tiene sentido,
inclusive si Peano alguna vez lo haya dicho así (que no recuerdo).


 Este error no es culpa mía (todos los demás que suelo cometer sí, pero éste no) es algo que lo tengo en la cabeza desde que estudié y sólo puede proceder de un libro o de las palabras textuales de un profesor en clase; es más en mi cabeza estaba que ése era el enunciado del primer axioma. Es verdad que después, aquí en Internet, creo que no lo he visto nunca.
 Bueno, pues no importa, no soy nostálgico para estas cosas, borrón y cuenta nueva; además me gusta más así, sin relación de orden de antemano.

 Un saludo más, es un placer hablar contigo.


08 Agosto, 2011, 12:01 am
Respuesta #27

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Se pueden dar axiomas para los números naturales con una relación de orden, pero los de Peano no son así.

Es todo muy confuso, pero justamente el estudio de los Fundamentos tiene que ver con cuestionarse todo: qué significado tienen las cosas que pensamos, decimos o hacemos en matemática, qué estamos haciendo exactamente en cada etapa, por qué, con qué reglas, métodos, o inclusive, bajo el efecto de cuáles "creencias" estamos actuando.

Es importante recordar que las palabras usadas en matemática siempre son "sugestivas", pero que su significado no debe interpretarse jamás en sentido literal, tomado desde "el diccionario de la RAE".


08 Agosto, 2011, 12:10 am
Respuesta #28

feriva

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,168
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Es importante recordar que las palabras usadas en matemática siempre son "sugestivas", pero que su significado no debe interpretarse jamás en sentido literal, tomado desde "el diccionario de la RAE".


No, si las palabras no tienen la culpa, la culpa la tiene mi memoria, que en su chochez prematura, cambia en el recuerdo unas palabras por otras; ahora he mirado en Internet y, lo que dice el primer axioma es "el 1 es un número natural" no "el 1 es el primero". Seguramente fue la intuición la que, con el tiempo, cambió una cosa por otra.


11 Agosto, 2011, 08:22 am
Respuesta #29

Garubi

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 104
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El beodo anumérico
Hola.

Ahora consideremos el conjunto X de aquellos números x talles que x no puede expresarse con menos de cien caracteres.

Ese conjunto es no vacío ya que si el número de caracteres admisibles es digamos, el del UNICODE (\( 2^{16} \)), entonces el número de números que, como máximo, podrían expresarse, serían \( 2^{1600} \). Tomemos el máximo de esos números así representados. El número M+1 no podrá representarse con menos de cien caracteres.

Bueno, ahora que el conjunto X es no vacío, tiene un mínimo elemento, digamos m. Ese m no puede expresarse con menos de cien caracteres. Pero por mera definición, m pertenece a X, por lo tanto m es "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres". Pero con esta frase hemos expresado m con menos de cien caracteres, lo cual es una contradicción.
(Paradoja de Berry).

Si hemos dedicado todo el alfabeto UNICODE a la expresión de números, será netamente un alfabeto exclusivamente numérico, y la expresión: "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres", comillas incluidas, será necesariamente una expresión numérica, y será irrelevante que se dé la coincidencia de que en otro uso del mismo alfabeto, aquello tenga un sentido en algún idioma, como el castellano. ¿No?


Un saludo.
La esfera es un cubo romo