Autor Tema: Proposiciones

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15 Noviembre, 2011, 12:31 am
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Gaussa

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Hola.

Me gustaría saber si he hecho bien el siguiente ejercicio. Sé que es sencillo, pero quiero asegurarme.

Considere la proposición siguiente:

Si \( a<b \) entonces \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) para cada \( \lambda \in{(0,1)} \).

a) Escribe cuál es la condición necesaria y para cuál lo es.


La condición necesaria para que  \( a<b \) es que \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) para cada \( \lambda \in{(0,1)} \).

b) Escribe cuál es la condición suficiente y para cuál lo es.

La condición suficiente para que \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) para cada \( \lambda \in{(0,1)} \) es que \( a<b \).

c) Escribe el contrarrecíproco de la proposición anterior.

Si existe \( \lambda \in{(0,1)} \) tal que  \( a\geq{}\lambda a+(1-\lambda)b \) entonces \( a\geq{b} \).

d) ¿Qué deberías hacer en el caso de que debieras demostrar que esa proposición es falsa?


Podríamos suponer que se cumple que si \( a<b \) entonces \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) para cada \( \lambda \in{(0,1)} \). Por tanto, deberíamos llegar a una contradicción, ya que tenemos que demostrar que la proposición es falsa. Es una aplicación del método de reducción al absurdo.

¿A alguien se le ocurre otra forma?

e) Prueba que la proposición del ejercicio anterior es verdadera.


Si \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) se ha de cumplir que \( \lambda a+(1-\lambda)b-a>{0} \). Veamos si es cierto
Operando y agrupando términos tenemos que \( \lambda a+b-\lambda b-a>{0} \), por lo que \( \lambda (a-b)+b-a>0 \).
Como \( a<b \) sabemos que \( b-a>0 \) y como \( \lambda\in{(0,1)} \) vemos que sí se cumple que \( \lambda (a-b)+b-a>0 \). Por tanto, es cierto que si \( a<b \) entonces \( a<\lambda a+(1-\lambda)b \) para cada \( \lambda \in{(0,1)} \), como queríamos demostrar.

Para probar la proposición no he utilizado ninguno de los métodos de demostración que uso habitualmente (contrarrecíproco, forma directa, reducción al absurdo), ¿cómo lo acabo de hacer está bien demostrado?

Saludos y muchas gracias.


15 Noviembre, 2011, 10:21 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 a)b)c) CORRECTOS.

 El (d) no entiendo lo que dices. Para probar que es falsa basta dar un ejemplo en el cual no se cumpla. Es decir, encontrar un par de números \( a<b \) y un \( \lambda\in (0,1) \) tales que \( a\geq \lambda a+(1-\lambda)b \).

 (e) Está bien. Esencialmente lo has probado de forma directa. Usando la hipótesis \( a<b \) has probado que se cumple la tesis (manipulando adecuadamente la inecuación que queremos verificar).

Saludos.

15 Noviembre, 2011, 04:36 pm
Respuesta #2

Gaussa

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Muchísimas gracias por la corrección.

Saludos.