Rincón Matemático

Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: argentinator en 06 Agosto, 2011, 09:04 am

Título: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2011, 09:04 am
Hay varios libros de Fundamentos de las Matemáticas.

Yo "pesqué" uno cualquiera, para comentar acá, que se llama

"Logicism, Intuitionism and Formalism, what has become of them?"

(Logicismo, Intuicionismo y Formalismo, ¿qué ha sido de ellos?).

Hay varios editores y autores, no sé si vale la pena nombrarlos.

Si alguno tiene razón, a lo mejor lo nombre para que le manden una tarjeta de felicitación.
Lo mínimo que puede hacer un lógico es tener razón.
Pero ya eso no se ve más en estos tiempos.

Elegí este texto porque parece apuntar a la discusión del tema de los fundamentos, y no tanto al estilo: "Sea T una teoría, entonces T es una lista de Axiomas A1, A2, A3...", aaaahhhh!!! Estaríamos de nuevo en la eterna pregunta de ¿por qué diablos y con la autorización de quién un tipo se pone a definir cosas de tal o cual modo, y hace y dice las cosas que hace?

Voy a poner enlaces en los posts que sigan el "hilo principal", para que no se pierdan entre los posts que surgen a modo de debate o comentario.

En el spoiler siguiente pongo comentarios personales, que no tienen por qué importarle o agradarle a otros.

Spoiler
  • Para mí, la lógica es sólo un juego como cualquier otra construcción mental: es una construcción deliberada.
  • La lógica o formas que usamos para razonar, en general, son "aprendidas, inculcadas, y bajadas al disco rígido".
    A mí nadie me preguntó si yo estaba de acuerdo en que "A y (A implica B) implica B" es algo que me permite deducir que "de A sale que B".
  • Las reglas están para romperse y cuestionarse.
  • Las reglas que no se cuestionan, arrastran vicios de raíz, difíciles de identificar.
  • Las reglas inculcadas empiezan a funcionar como "creencias", un acto totalmente anticientífico.
Así que hay que ir a la raíz de las cosas, meter el dedo donde a nadie le gusta, y hacer desastre.
En lo posible, si hay suerte, causar alguna crisis de paradigma, y que se caiga todo a pedazos.

No sé si la lectura de este libro me va a abrir las puertas para semejante espíritu de destrucción,
y tampoco sé si yo voy a seguir con esa línea de "trabajo".

En realidad, prefiero la prudencia, porque pienso:

  • Primero hay que recorrer fielmente los caminos estandarizados, porque si no, si uno se rebela y despotrica antes de tiempo, los "expertos" se cierran, y ni se molestan en escuchar las críticas. 
  • Es también un modo honesto de hacer una crítica. Uno mismo tiene que escuhar lo que los otros ya han dicho antes, durante siglos.
  • Pero no hay que dudar en bombardear con toda la artillería posible al conocimiento estandarizado, porque la ciencia tiene el deber de no estancarse jamás, y no caben sentimentalismos ni consideraciones, mucho menos para los "expertos".
  • Si una teoría es bastante buena y fuerte, será capaz de resistir cualquier embestida que uno le haga.

Así que, sigo defendiendo lo estándar, porque es lo mejor que tenemos, y debe ser bien comprendido antes de proceder a un ataque destructivo y sistemático.

En los temas deFundamentos me parece, de lejos, que está todo dicho y hecho en forma irresponsable, un desastre de confusión y falta de rigor.

¿Cómo es posible eso en las bases de la lógica matemática, que ha de ser la más precisa, clara, sólida y rigurosa de todas las ciencias?

Hay quienes defienden las "ideas" matemáticas, de modo romántico.
Y no digo que eso esté mal. Por ejemplo, pensar en "el infinito" como cosa platónica, y ver qué sale de ahí.
¿Pero adónde se puede ir a parar con las ideas sin rigor alguno?
Respuesta: a la pura superchería.

Cuando hay que elegir entre romanticismo y rigor, preferiré el rigor.
Entre una "idea hermosa de infinito" y una definición fría que le quite todo significado, voy a preferir esta última, aunque no sea más que una secuencia de signos estrambóticos y aburridos en una hoja de papel.

Porque así será feo, pero por lo menos será verdad.

Prefiero esto útlimo porque es lo más preciso, concreto y honesto que puedo ofrecer.
Lo demás, son especulaciones metafísicas, un juego de la imaginación, abierto a las mentiras.

Así que se imaginarán que no creo en nada de lo que está escrito sobre temas de lógica y fundamentos.
Con ese enojo y desconfianza me lanzo a leer este libro, "a ver qué onda".

Matemáticos sin rigor... ya lo decía mi abuela: "¡Qué degenerado está el mundo! ¿Adónde irá a parar todo?"
[cerrar]



Voy a comentar el capítulo de introducción, y si puedo seguiré con el resto del libro, que está dividido en tres secciones: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo.

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Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2011, 05:51 pm
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Introducción: Los Tres Programas Fundamentales.

Por Lindström y Palmgren.

Vaya uno a saber quiénes son estos dos.
Seguramente unos mentirosos.
Hacer lógica es mentir.

Pero la parte histórica que cuentan, esa debe ser bastante cierta.

Ocasionalmente pondré comentarios al margen en azul marino, así pueden salteárselos libremente si no son de vuestro agrado.

También habrá información adicional en color marrón, la cual no está en el texto original, y la agrego porque me parece que puede ser importante. Aunque también se puede omitir.

En letra negra corriente aparecerán comunmente párrafos traducidos del libro, o bien frases resumidas, o extractos.
Puede que yo opte por decir lo mismo que el libro pero con otro estilo, pensando en la brevedad, en lo que me parece más central, y también en quienes posiblemente lo van a leer.

Finalmente, se puede omitir todo.



Hablan de un período histórico "clásico" de los Fundamentos de las Matemáticas, que se originó con un artículo de Frege en 1879, y culminó con uno de Gödel en 1931. Antes la matemática era un desastre, y después nadie entendió más nada.

Información adicional sobre Frege

Acá pongo un enlace a una página que al parecer explica en detalle la teoría de Frege.
Digamos que era una lógica de 2do orden.

http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/ (http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/)

Durante mucho tiempo yo razonaba "a lo Frege" sin darme mucha cuenta, sobretodo al usar el Principio de Inducción en su forma proposicional, como se enuncia en 2do orden.
Cuando me fui enterando de la formalización en lenguaje de 1er orden y demás, me volví más cuidadoso con la manera de razonar por inducción, escribiendo las cosas de un modo más restringido, pero que de todos modos sirve para las aplicaciones usuales de la matemática.

De paso digamos que esa página pertenece a algo llamado SEP, de la Universidad de Stanford, que acabo de descubrir investigando estas cosas. Supuestamente intenta ofrecer acceso público a textos importantes de la filosofía.
Hay varias cosas sobre fundamentos de matemática, que es el tema que nos compete.

Por 10 dólares anuales se puede tener acceso a cierto material que no aparece públicamente, y de paso quizá se ayude a la causa de que esos archivos queden accesibles a todo el mundo.

Es deseable y probable que aparezcan fundaciones de este tipo en otras áreas.
Ojalá que con los artículos científicos (en nuestros caso matemáticos) ya no haya que pagar 25 dólares por un paper intricado, escueto y que a nadie le interesa; sólo por la mera necesidad de tener que citarlo, o porque ahí figura un cálculo o comenta una referencia interesante de algún otro autor, escondido en una revista de la conchinchina.

Hoy en día, más que problemas de "fundamentos", hay problemas de actitud y de falta de grandeza en la matemática.
Todo es plata y "cuidar el terrenito de uno y de los amigos".
¿Cómo inculcarle entusiasmo a los jóvenes, mintiéndoles sobre las bajezas que cada vez abundan más y más en el ambiente?
Va a haber que arremeter contra eso también.
Pero empecemos con la parte formal, que es complicada, ya que la parte social con un par de puños se acomoda.

Les dejo colgado un archivo (20110806Frege.pdf) que hallé en esa página está para descargar pública, aunque está en alemán...  :banghead: jajaja.



[cerrar]

Se atribuyen (o quizá mejor dicho: asocian) el Logicismo a Frege, Russell y Whitehead, el Intuicionismo a Brouwer, y el programa formalista a Hilbert.
Sabemos que han habido muchos otros autores dando vueltas en estos temas, y seguramente aparecerán a lo largo de los capítulos.

Digamos que esos seis hombres nombrados son los principales "culpables" (o víctimas) de las mencionadas líneas filosóficas.

En 1930 hubo un simposio en Könisberg, en donde se dio un resumen del estado de cosas en el tema de Fundamentos, con papers de Carnap, Heyting y von Neumann. Ahí también Gödel anunció su Primer Teorema de Incompletitud.

La discusión central del libro se centra en este período clásico, y en la pregunta de si acaso en la época actual aún esos programas de Fundamentos de las Matemáticas aún perduran.

En lo que a mí concierne, me parece de vital importancia que aquellos que no tenemos una ardua formación en estos temas, podamos ir caminando paso a paso por el camino recorrido históricamente.
Hoy en día hay tantos libros, páginas web, gente hablando por todas partes, que es muy confuso el panorama.

Hay libros de Lógica que hablan de modelos y otras cuestiones que parecen tener que ver con los Fundamentos, pero resulta que usan deliberadamente lenguaje de Teoría de Conjuntos, lo cual generaría un círculo vicioso, porque es tarea de los Fundamentos discutir lo que le pasa justamente a la Teoría de Conjuntos, como a otras cuestiones más.

La abstracciòn en esos libros a veces es sólo aparente. Se estudian lógicas como una rama del álgebra: Álgebras de la Lógica y temas relacionados.
Pero de fundamentos, nada, y uno tiene que adivinar cuáles son los textos que tratan a la Lógica y los Conjuntos realmente desde la perspectiva fundacional.

Sólo ganando experiencia podremos llenar estos huecos.
Por suerte, la mayoría acá en el foro están igual de perplejos que yo, así que supongo que vamos a hablar todos el mismo idioma.



Logicismo y Neologicismo.

Hay un filósofo que siempre me pareció un pelele: Kant.
Lo único bueno que hizo fue que se animó a hacer lo que otros no: pensar.
Imagino que su fama proviene de que todo el mundo fácilmente halla fácil el modo de estar en desacuerdo con él, y por lo tanto no queda más remedio que nombrarlo.

Digamos que el "filósofo K." deliraba sobre las relaciones entre la intuición y la matemática, y que el conocimiento matemático es sintético a priori (vaya uno a saber qué quiere decir esto. Ni siquiera sé si tengo ganas de enterarme).

Frege más o menos le creía a K. cuando se habla de geometría, porque es bastante claro que la geometría tiene raíces intuitivas.

Tengamos en cuenta que la intuición es una palabra que permite abusos del lenguaje.
La gente empieza a debatir en vano cuando se entra en este terreno.

Se supone en todo esto que hay ciertos "productos de la mente", intuiciones, que de algún modo son comunes a todos los seres humanos. La intuición de línea recta, de plano, etc., es más o menos la misma para todos.

Serían "intuiciones colectivas", porque no son subjetivas, vale decir, no dependen del sujeto que "intuye".

Pero no todo lo intuitivo funciona así, y la frontera entre subjetivo y colectivo es muy borrosa.
Nótese que preferí el uso de la palabra "colectivo" al de "objetivo".


Aún no tenemos claro tampoco qué se entiende por "verdad matemática" o "leyes" o "razonamientos válidos" o "lenguajes", así que al usar esos términos estaremos siendo vagos e imprecisos.
Si hay suerte, a medida que avancemos podremos precisar más.

Por ejemplo, citemos a Frege:

Citar
Las bases de la Aritmética residen, al parecer, más profundas que cualquiera de las ciencias empíricas y aún que la geometría. Las verdades de la aritmética gobiernan todo lo que es numerable. Esto es el más amplio dominio de todo; pues concierne no sólo a lo existente, no sólo a lo intuíble, sino todo lo pensable. ¿No deberían las leyes de los números entonces estar íntimamente conectadas con las leyes del pensamiento?

En esta reflexión coincido con Frege. Pero las razones por las cuales coincido se notarán mejor después, cuando logremos avanzar en los temas de lenguajes y conjuntos.
Como yo lo veo, la estructura de la escala de los números naturales está íntimamente entroncada en la manera que pensamos y escribimos cualquier cosa de matemática, hasta un nivel tan básico que resulta "pegajoso", tan elemental que incluso es anterior a la lógica o cualquier teorización hasta ahora imaginada.

Como es de esperar, mucha gente no tiene ganas ni de oírme cuando empiezo a hablar así. Hasta con la cara dicen: "no pibe, así no es", jaja.
Bueno, ya vamos a ver qué pasa...


Pero las coincidencias con Frege terminan rápido.
Él consideró que la aritmética puede ser deducida directamente de la lógica.
Y por eso sus fundamentos de la aritmética y la matemática son lógicos. Hizo su sistema, y de ahí arrancó.

Los números (siempre naturales en este contexto) son entidades abstractas, no se puede interactuar empíricamente con ellos, así que tenemos el problema de cómo obtener conocimiento de ellos.
Frege decía que esto era posible a pesar de todo, y que bastaba para ello reducir la aritmética a la lógica.

¿Qué son para Frege la aritmética y la lógica?
Bueno, la aritmética se refiere a los números naturales y sus propiedades, incluyendo inducción completa y quizás también las operaciones elementales de suma y producto.

¿Qué es la lógica para Frege?
Esto no lo puedo responder con precisión, no sé en qué estaba pensando Frege en ese entonces.

En esos tiempos se conocía sin dudas la lógica aristotélica, el Álgebra de Boole, y la lógica proposicional (que no incluye cuantificadores).
Pero a continuación Frege define y/o construye un sistema lógico con su propio estilo y criterio.
Esto es lo que Frege nos ofrece como "lógica". Es la lógica de 2do orden (la primera formalmente establecida de ese tipo, seguramente).

Pero antes de haberla construido, la "lógica" para Frege era algo vago, una idea pululando en las nebulosas Kantianas.

Para mí Kant es el símil filosófico de Arjona.
Lo imagino recostado en un sillón haciendo como que pensaba, y "mandando fruta".

Fue Frege quien se puso realmente a trabajar y construir un sistema concreto, del cual se pudiera decir algo a favor o en contra.



Frege intentó mostrar que:

(i) Los conceptos de la aritmética pueden definirse explícitamente en términos de conceptos lógicos.
(ii) Las verdades de la aritmética pueden deducirse de los axiomas y definiciones lógicas por meras reglas de inferencia.

La palabra "verdad" por estos lados también es controvertida, porque puede interpretarse de varias maneras, según el caso.
Así que la dejamos en "stand by".

Un sujeto racional ideal sería capaz de obtener todo conocimiento de la aritmética (números naturales) "a priori" de esta manera. Los editores critican con razón que Frege a lo sumo "le tira la pelota" a la lógica, porque asume ahora que los principios básicos de la lògica de Frege son conocibles apriori.

Más aún, y lo peor de todo esto, es que el sistema de Frege resultó inconsistente, vale decir, se halló en él una contradicción básica.
Según he leído por ahí, el sistema se puede salvar quitando uno de los axiomas o principios de Frege, y haciendo las cuentas sólo con la parte restante.

A pesar de esa inconsistencia, la influencia de Frege llega hasta nosotros fuertemente a través de los tiempos. Por eso vale la pena estudiarlo. Aunque es bueno saber que tuvo una falla. De no haberse hallado ese error, quizá hoy estaríamos todos usando alegremente la teoría de Frege.

Se habla de cuatro afirmaciones "implícitas" el programa logicista de Frege:


Ya veremos qué tan profunda es para Frege la interacción de los números en el seno de la lógica.

Más o menos en la misma época, Dedekind también argumentaba sobre un tipo de logicismo:

Citar
En la ciencia nada susceptible de demostración debería ser aceptado sin demostración. Aunque esta demanda parece muy razonable, no puedo considerar que se cumple aún en esta parte de la lógica que trata con la teoría de números.
Al hablar de aritmética (álgebra, análisis) como una parte de la lógica, quiero implicar que considero el concepto de número completamente independiente de las nociones de intuición de espacio y tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes dle pensamiento.

Recordemos que Dedekind se ocupó de construir los distintos sistemas numéricos con completo rigor, partiendo de los números naturales. No sé si fue él quien primero expuso la construcción de los enteros desde los naturales, y luego de los racionales desde los enteros.
Pero fue él quien dio una de las tantas maneras de construir los reales a partir de los racionales, a partir del método de las cortaduras.
Como se ve, estaba preocupado tratando de dar consistencia a la aritmética de su tiempo.

A partir de acá, sigue una interesante discusión sobre Dedekind, que ya va más al grano con lindos calculitos.

En particular, Dedekind dio una definición lógica de los números naturales, al mismo estilo de Peano. Veremos los detalles en el siguiente post.


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Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2011, 10:28 pm
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Dedekind

¿Qué quiso hacer Dedekind?

Lo concreto es que hizo varios tiros con los dardos, y le pegó más o menos con algunos... Veamos.

Trabajó en una teoría informal de conjuntos, la cual (supuestamente) puede verse como una parte de la lógica.
Dedekind dio, por primera vez, una caracterización axiomática abstracta de los números naturales.
Lo hizo a través de un:

Sistema simplemente infinito: es un conjunto \( X \) (que vendrían a ser los naturales) junto con un elemento \( e \) (que vendría a ser el \( 0 \)), y una operación \( S \) en \( X \) (la función sucesor), satisfaciendo:


Obviamente (b) es el Principio de Inducción.

¿Por qué Dedekind hacía esto así?
Bueno, como Dedekind quería expresar los números naturales con bases puramente lógicas, lo que pretendía era definir unos entes con ciertas propiedades, demostrar luego que esos entes son todos "equivalentes", y así queda claramente definido, salvo isomorfismos, la noción de sistema de números naturales.

Estos entes abstractos que Dedekind define son una clase especial de conjuntos, que él llama: sistema simplemente infinito.
Se puede demostrar que todos los sistemas simplemente infinitos son isomorfos entre sí.
Esto conduce a una noción matemática inambigua, y permite demostrar con herramientas netamente lógicas la existencia de un sistema como el de los números naturales.

También permite, por supuesto, demostrar propiedades de los números naturales con todo rigor, sin especulaciones "intuitivas", que nadie sabe adónde pueden ir a parar.

En forma independiente Peano publicó su lista de Axiomas de los números naturales:


Observamos dos cosas. La primera, esos axiomas están escritos en una forma muy "conversada". Hay mucho palabrerío.
El término número natural está bien, porque se lo está definiendo a partir de los Axiomas. Pero frases como "dos números naturales diferentes", "el mismo sucesor", están dichas en forma idiomática y no simbólica.

Si nadie me lo define con precisión, no sé qué quiere decir "dos diferentes ... de lo que fuere", o "el mismo".

El uso de términos como "número natural" ó "sucesor" podrían escribirse simbólicamente... pero el problema acá es que se está evitando, al parecer, el simbolismo propio de la teoría de conjuntos.
Se evita hablar de "el conjunto de números naturales", o la relación \( \in{} \).

No sé si esto se debe a antiquismos propios de la época, o bien se trata justamente de dar un sistema formal con absoluta generalidad.

Por ejemplo, ¿qué es \( F(n) \)? Eso es una función proposicional que depende de una variable \( n \), la cual, cuando es reemplazada por un número natural, tiene un cierto valor de verdad.
Esas funciones proposicionales pueden tener un universo de discurso muy amplio: conjuntos, clases propias, e incluso quizá cualquier objeto abstracto imaginablle.

No puedo inferir de esos axiomas el alcance de dicho universo de discurso.
He visto demostraciones matemáticas que usan este principio de inducción matemática general,
por ejemplo, aplicado a clases propias de grupos de orden \( n \).

Por otro lado, el uso de la notación \( S(n) \) me resulta extraño, porque no parece haber ninguna referencia a "funciones" (para que la haya, tendrían que haberse primero definido conjuntos de pares ordenados, o sea, las funciones como conjuntos o clases).
Es así que \( S(n) \) no es una "función sucesor" sino una "notación taquigráfica" para decir "sucesor de \( n \)", y el "sucesor de" es sólo un término primitivo más.


El uso de "palabrerío" para dar sistemas axiomáticos es un síntoma de que los símbolos matemáticos están molestando, porque se pretende permanecer en un estadio "previo" a dicho simbolismo.
No es la primera vez que veo sistemas axiomáticos escritos así.

Es como si uno, viendo que no tiene aún nada definido, busca desesperadamente herramientas de algún otro lugar para poder "decir algo", empezar, construir.

Esas herramientas están en el lenguaje coloquial y libre, pero es tan amplio, vasto, ambiguo e informal, que no veo posible justificar un sistema formal de esta manera.

Pero entonces, ¿cómo si no?

La gente, rendida ante la situación, ni se lo cuestiona, y empieza a "enunciar", esperando que de ahí algo "inambiguo y formal" surja.
Una especie de "segregación" del lenguaje, dentro del lenguaje mismo, para obtener un subproducto más preciso e inambiguo.

Aún así no me lo creo. Pero por ahora, se queda así...




Dedekind probó que dos sistemas simplemente infinitos (como él los llama) son isomorfos.
Acá los editores comienzan a hablar en idioma de teoría de modelos y yo no entiendo más nada. Me limito a traducirlo, con la esperanza de entenderlo más adelante:

Esto significa que la aritmética de Peano de 2do orden, con las semánticas estándar, es categórica, es decir, todos sus modelos son isomorfos,
y por lo tanto es negación-completo, o sea: para cualquier sentencia \( \phi  \) en el lenguaje de la aritmética de 2do orden, o bien \( \phi \) o bien la \( no-\phi \) es una consecuencia lógica de los Axiomas de Peano (o sea, verdadera en todos los modelos de los Axiomas).

En el Spoiler, analizamos ese párrafo.

Traductor casero de terminología esotérica de la lógica

Procuremos traducir algunos de esos términos.
Recordemos que 2do orden es más o menos sinónimo de "una lógica en la que uno puede hablar más libremente sobre funciones proposicionales \( F(x) \)". Más aún, uno puede cuantificar sobre las funciones proposicionales \( F \). Es un lenguaje muy poderoso.
Por ejemplo, esto:

Para toda función proposicional \( F \) que verse sobre los números naturales, si \( F(0) \) es cierta, y \( F(n \)) implica \( F(n+1) \), entonces para todo número natural \( n \) vale que \( F(n) \). En símbolos:

\( \forall{F:}[F(0)\wedge(\forall{n:}F(n)\Rightarrow{F(n+1)})]\Rightarrow[{\forall{n:}F(n)}]. \)

No sé cómo poner que \( n \) es un número natural, porque no sé si Peano me deja poner o no un signo de "pertenece" \( \in \).
Estoy seguro que ese pequeño escollo tiene arreglo, con tal de aprender más sobre lo que Peano dijo.



¿Qué quiere decir la palabra "categórico"?

Esa palabra es culpa de una nueva teoría llamada "de Categorías", que relaciona con alto grado de abstracción vastas estructuras matemáticas que son equivalentes entre sí, en algún que otro sentido.

Las estructuras equivalentes forman una "categoría".

En la teoría clásica de conjuntos, si se admiten clases propias como en el sistema MK (Morse y Kelley), se puede hacer una simulación casera de "categoría".

Para eso, procedemos así.

Supongamos que tenemos una lista de propiedades (o axiomas) con los que queremos desarrollar una teoría matemática.
Digamos, A1, A2, ..., An.
Esos Axiomas hablan de ciertos objetos primitivos, abstractos, digamos O1, O2, ..., Om, que pueden ser elementos sueltos, funciones, operaciones y relaciones.
A nuestra teoría la llamaremos: teoría de los cositos.

Digamos que un conjunto X es de "cositos" si, tiene asociados ciertos objetos O1, O2, ..., Om, que satisfacen los axiomas A1, ..., An.

¿Tiene sentido hablar de una teoría de cositos?

Bueno, podemos formarnos la "clase" de todos aquellos pares \( (X, C) \), donde X es un conjunto y \( C = \{O1,O2,...,Om\} \), tales que satisfacen los axiomas A1,..., An.

En símbolos, esto es sencillamente así:

\( \mathcal Z = \{(X,C): \textsf{$C=\{O1,...,Om\}$, y tanto $X$ como $O1,O2,...,Om$ cumplen los axiomas A1, ..., An}\} \)

Escribir eso para un sistema axiomático específico podría llevar "varios renglones" entre las llaves delimitadoras \( \{ ...\} \).

Se entiende, por tanto, que hice una escritura simbólica informal.

Ahora, preguntar si la teoría de los cositos tiene sentido, es lo mismo que preguntar si la clase \( \mathcal Z \) es no vacía.

Suponiendo que esto es así, podríamos decir, quizá, que todos los elementos de \( \mathcal Z \) son "modelos" de la teoría de los cositos.

¿Qué quiere decir ahora que esos modelos son isomorfos?

Bueno, lo que hay que hacer es demostrar que dados dos cualesquiera  pares \( (X, C) \) y \( (X', C') \) en la clase \( \mathcal Z \), con \( C =\{O1, ..., Om\}, C'=\{O1',...,Om'\}, \)
existe una función biyectiva \( f \) entre \( X \) y \( X', \) que transforma cada \( Oj \) en su correspondiente \(  Oj' \), y viceversa, y tal que las propiedades dadas en los Axiomas A1, ..., Am se conservan al transformar cada \( x\in X \) en su correspondiente \( f(x) \).

Esto quiere decir ahora que todos los \( (X, C) \) en la clase \( \mathcal Z \) son "iguales" salvo isomorfismos. Da lo mismo poner un elemento de la clase que cualquier otro, porque desde el punto de vista de la teoría de los cositos, son indistinguibles.

Son distinguibles como conjuntos, seguramente, pero si sólo usamos de cada (X, C) las propiedades que se derivan de A1, ..., An, no hay forma de distinguir unos de otros, no hay información adicional para lograr tal distinción.

Eso es ser "categórico", estructuralmente son "equivalentes", y forman (o mejor dicho: inducen) una "categoría".




Parece bastante obvio que, todo lo que uno pruebe usando sólo los axiomas de "los cositos" será válido en todo elemento (X, C) de la clase \( \mathcal Z \). ¿No?



Finalmente aclaremos lo de negación-completo. Ahí mismo los editores lo aclaran, al decir que toda afirmación sobre los naturales es verdadera o falsa, y se puede demostrar...
Esto es algo muy importante desde el punto de vista teórico, porque nos está diciendo que cualquier afirmación que hagamos sobre los números naturales, tiene un valor de verdad perfectamente definido.

Sólo restaría averiguar si hay una demostración (una lista ordenada de pasos deductivos) que permita deducir cuál es ese valor de verdad.
No entiendo si esto surge directamente de lo que el párrafo dice: "una afirmación o su negación es consecuencia lógica de los Axiomas de Peano".
Pareciera decir que hay unos pasos lógicos bien concretos que permitan dar con el valor de verdad de una afirmación o su negación.

No quiero dar precisiones acá que aún no tengo.



El término "semánticas estándar" directamente lo desconozco, no puedo aclararlo del todo.
Sí puedo decir que semántica tiene que ver con los "modelos" que satisfacen los axiomas dados.
Pero también puede tener que ver con alguna noción de verdad dada a las sentencias lógicas.

Así que lo dejo en suspenso.



Los términos que he explicado son a fines expositivos, para darnos una idea de por dónde va.

En realidad, hay que imaginar que el contexto es más general que el de la teoría de conjuntos y las clases propias.
En el terreno de fundamentos se supone que uno está discutiendo qué pone primero, y qué va después.

No hay conjuntos y clases propias hasta que alguien los defina o ponga en escena.

Hasta ahora todo parece bastante confuso, porque no se entiende si Dedekind o Peano usaban o no tales o cuáles cosas.
Podemos pensar que estaban "buscando" un fundamento, pero aún confusamente, igual que le pasaría a cualquier de nosotros si quiere crear casi de la nada los fundamentos de la matemática, aunque con el plus de la cabeza fresca de aquellos matemáticos.

[cerrar]

Se supone que los Axiomas de Peano se aceptan en la actualidad como referidos a "modelos estándar de 2do orden para los números naturales". Esto requiere que se aclare una terminología técnica, para la cual aún no estoy listo, y aún si lo estuviera, éste no es el lugar propicio.

Hay estructuras de 2do orden que parecen tener agradables propiedades de los sistemas lógicos, las conocidas propiedades de ser recursivamente axiomatizable, compacidad, y el Teorema de Löwenheim–Skölem. Para que esto ocurra, se requiere seguir la teoría de Henkin. Hay semánticas de 2do orden que no satisfacen esas propiedades "deseables" (vaya a saber por quién).

Todo esto lo estudiaremos mucho más adelante...



Dedekind decía que la secuencia de los números naturales eran una libre creación de la mente humana.
Sin embargo, no podía él estar seguro de la existencia real, palpable, de estos números, ni tampoco de sus propiedades, ya que fácilmente se podría caer en contradicciones internas.

Para ello, él puso esos axiomas, luego mostró de alguna manera cómo se "generaba" una de esas posibles secuencias (o modelo) de números naturales, advirtió que podía haber muchos modelos más satisfaciendo las mismas leyes, y los puso a todos en una misma familia, que él llamo: sistemas simplemente infinitos, y finalmente probó que, por suerte, todas ellas eran equivalentes.

Por lo tanto, uno podría usar los números naturales sin temor en todo razonamiento matemático.
No importa con qué grado de abstracción se usen, ni en qué contexto estemos, los números naturales siempre tendrán un mismo comportamiento...

Tendremos ocasión de ver que esto no es siempre así... pero bueno, una cosa a la vez.
Creamos lo mismo que creyó Dedekind en su momento, así entendemos cómo fueron evolucionando las cosas.

Si bien todos los sistemas de Dedekind son isomorfos, no dejan de ser "muchos".
¿Cómo se obtiene algo "único", un definitivo y único "conjunto" de números naturales?
Esto se logra, según Dedekind, mediante abstracción, y le llamó tipo abstracto de los sistemas simplemente infinitos.

Eso es, para Dedekind, la secuencia de los números naturales.
Uno, al hablar de 1, 2, 3, 4, ... está haciendo referencia a todos los 1's, todos los 2's, etc., que "viven" cada uno en su sistema (X, C) correspondiente, y que pueden ligarse unos a otros por un isomorfismo \( f \).

Es algo que tiene mucho sentido, y a cualquiera de nosotros bien se le puede ocurrir decir esto.
Dedekind tan sólo fue el primero que lo pensó.



Siguiendo con estas intenciones de Dedekind de definir todo en abstracto, sólo a partir de propiedades meramente lógicas, podemos ver cómo se las apañó para definir las nociones de finito e infinito, sin usar ningún tipo de "conteo".

Declaró que un conjunto \( X \) es infinito si es biyectivo con algún subconjunto propio \( Y \) de sí mismo.
En cambio, el conjunto \( X \) se dice finito si no es infinito, o sea, si no es posible biyectarse con una parte propia.

Estas nociones se conocen mejor como Dedekind-infinito y Dedekind-finito.
Es importante notar que dichas nociones no presuponen en modo alguno la noción de sistema de números naturales.
No hace falta usar números para definir finitud ni infinitud.  :aplauso:


Algunas precisiones sobre "infinito" versus "Dedekind-infinito"

De nuestra experiencia con la teoría de conjuntos estándar ZFC, la noción usual de conjunto finito es otra bien distinta:

* Se parte en ZFC de suponer de entrada que existe un conjunto de números naturales (Dedekind no lo supone, sino que lo demuestra con su proceso de abstracción).
* En ZFC se dice que un conjunto \( X \) es finito si es biyectivo con un segmento {1, 2, ..., n} de naturales.
* En ZFC se dice que un conjunto \( X \) es infinito si no es vacío, y si no puede biyectarse con ningún segmento de naturales.

En ZFC se puede demostrar que un conjunto es infinito si y sólo si es Dedekind-infinito.
Lo mismo con la finitud.

Y entonces, si son nociones equivalentes, ¿para qué darles tantos nombres distintos?

Bueno, el problema es justamente ese: que no son nociones equivalentes.

En la teoría de conjuntos ZF sin el Axioma de Elección, si bien se puede demostrar que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito (no biyectivo a un segmento de naturales), la recíproca en cambio no se puede demostrar. O sea, no es posible probar que un conjunto infinito es Dedekind-infinito.
Esto quiere decir que en ZF sin axioma de elección no se puede comprobar si un conjunto infinito es biyectivo con alguna parte propia.

Me parece bastante curiosa esta conclusión. Hubiera jurado que el problema venía justamente al revés (que no se podía crear una función inyectiva de los naturales en el Dedekind-infinito \( X \))  :banghead:

O sea que voy a tener que investigar bien este tema, a ver qué cuentas hizo Dedekind.

De todas maneras, si \( X \) es infinito en ZF, quiere decir que toda función inyectiva \( f:{1,...,n}\to X \) no puede ser biyectiva.
De cada función \( f \) así tomada, estoy seguro que me sobra al menos un elemento en \( X \).
De hecho, lo que puedo decir es que \( X\setminus Imagen(f) \neq \emptyset  \).
Pero ahora, yo quisiera formarme un subconjunto propio \( Y \) de \( X \), biyectivo con \( X \).
Me conformo con quitarle a \( X \) un solo elemento, y que eso sea el \( Y \).
¿Puedo?

Lo único que tengo "a mano" es una gran familia de funciones inyectivas cuyo dominio es un segmento de naturales, y cuya imagen cae en \( X \). Para cada \( n \) quisiera poder elegir un elemento de \( X\setminus Imagen(f) \), para una \( f \) con dominio \( \{1,...,n\} \).
Son muchas elecciones en un mundo donde no tengo permitido usar el Axioma de Elección.

Puedo intentar proceder de otra manera. Tomo una función \( f_1 \) con dominio {1}.
Le "adoso" una "extensión" \( f_2 \) inyectiva con dominio {1,2}, a esta la extiendo a una \( f_3 \) inyectiva con dominio {1,2,3}, etc.
Me queda una sucesión de funciones que se van extendiendo una respecto la anterior, y por lo tanto, las puedo "unir" a todas ellas (esto es formalmente posible y correcto), y obtener una función \( f \) cuyo dominio sean todos los naturales, y su imagen caiga en \( X \) en forma inyectiva.

¿Y entonces, dónde está el problema? El problema es que al pasar de \( f_1 \) a \( f_2 \), tengo muchas posibles extensiones, y tengo que "elegir" una de ellas. Lo mismo de \( f_2 \) a \( f_3 \), etc. ¡Y no puedo elegir! ¡No me dejan! Es ZF sin axioma de elección.

¿Y para qué quiero hacer esto con los naturales? Porque al hacerlo, yo podría aprovechar que los naturales son biyectables con una parte propia, y así la \( imagen(f) \) sería una parte de \( X \) biyectiva con una parte propia, a la cual le "pegamos" el trozo de \( X \) que falta, así como está, y listo, nos queda un subconjunto propio \( Y \) biyectable con \( X \).

Pero no pude. ¿Y no se podrá hacer de otra forma? "Dicen" los entendidos que no.
Para decir esto se requiere hacer demostraciones de tipo "metamatemático", porque lo que se afirma es que "no es posible demostrar en ZF, de ninguna forma, que un conjunto infinito es Dedekind-infinito". O sea, no importa cuánto ingenio ni cuánto empeño pongamos, la demostración esa "no existe".

Este tipo de cosas son para mí, difíciles de creer, porque requieren que acepte razonamientos metalógicos, o sea, una lógica que supuestamente ya viene "antes" que la lógica misma que estamos tratando de estudiar.

¿Cuál es esa lógica, cómo está definida, y por qué debo coinfiar en ella?

No sé si tendré la suerte de obtener respuestas a estas preguntas en los libros, ojalá que sí.

[cerrar]


A continuación Dedekind mostró que todo conjunto infinito incluye un sistema simplemente infinito. Esto es lo mismo que decir que todo conjunto infinito contiene adentro una "versión" de los números naturales, o sea, que se puede armar una secuencia ordenada de elementos de \( X \) que se comporten como los naturales. Mejor todavía: que hay una función inyectiva de un sistema de números naturales en \( X \).

De esto, para poder concluir, pues, que existe un sistema de números naturales, es necesario y suficiente que exista un conjunto infinito.

¿Cómo hizo Dedekind para demostrar, a partir de la pura lógica, que existe un conjunto infinito?
Porque eso es lo que se puso a hacer...  :aplauso: Un "troesma".

(Más aún, para que el sistema axiomático de Peano sea consistente, es necesario que exista un tal sistema de números naturales. Consistencia quiere decir acá: satisfabilidad, que haya algún modelo que satisface los axiomas).

El tipo dijo: Considero mi "propio reino de pensamientos, o sea, la totalidad \( S \) de todas las cosas que pueden ser objeto de mi pensamiento". Y argumentó que esa totalidad \( S \) es infinita:

* Dado un \( x\in S \), define el sucesor \( s(x) \) como el pensamiento de que "\( x \) puede ser un objeto de mi pensamiento"  ;) Este objeto s(x) puede ser un objeto de "mi" pensamiento, por lo tanto \( s(x)\in S \).
Además, hay elementos en \( S \) que no son pensamientos de algún otro \( x \). Por ejemplo "mi propio ego".
(Estos vendrían a ocupar el lugar del "0" en una proceso iterativo, son elementos \( x \) sin "antecesor").

Al parecer luego argumenta que \( s \) es una aplicación uno-a-uno de \( S \) en \( S \).
Partiendo de algún elemento sin antecesor (como "mi ego"), se puede generar una secuencia de naturales...

Por lo tanto \( S \) es Dedekind-infinito. Espectacular.  :aplauso:

No me extraña que la mente de Dedekind sea tan vasta que pueda albergar infinitos pensamientos.
Cuanto más lo conozco a Dedekind, más me simpatiza.

En cambio el filósofo K...

Sin embargo, esta "demostración" de Dedekind, más allá de parecer matemáticamente poco seria, adolece de fallos que no se pueden emparchar.
Un conjunto como \( S \) de "todos mis posibles pensamientos", parece ser un conjunto muy amplio.
Cuando esto es así, fácilmente se obtienen colecciones que "no pueden ser conjuntos", como por ejemplo el "conjunto R de todos aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos".
¿Es R un conjunto? Se cae en una paradoja.

Así que el intento de Dedekind, así como está, es un error.

Puede quedar la duda, porque el lenguaje en que está expresado es algo ajeno a la teoría de conjuntos, salvo por un informal uso de los conjuntos... No queda del todo claro la intención precisa en el uso de los términos que aparecen en esos dichos de Dedekind.
Pero pareciera que cualquier intento razonable de precisar mejor las ideas de Dedekind, conducirían seguramente, indefectiblemente, a las consabidas paradojas de la teoría de conjuntos, como la del conjuntor R.


Demostrar la existencia de conjuntos infinitos es un obstáculo importante para cualquier programa meramente logicista.

Desde la perspectiva moderna no se ve cómo puede ser posible demostrar la existencia de infinitos números naturales dentro de la lógica. (Imagino que se refiere a alguna lógica de las modernas).

La lógica moderna procura ser neutral ante los temas que versan sus predicados y prescindir de cualesquiera características ontológicas (la existencia de objetos de algún tipo). Es algo que puede hacerse (dice por ahí) a costa de perder elegancia. Pero es teóricamente posible.
Parece entonces que para cualquier programa logicista que alguien quisiera imponer, se requieren bases lógicas diferentes a las aceptadas en tiempos contemporáneos.


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Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 12:34 am
Hola, Argentinator. Te he leído de arriba a abajo (suelo hacerlo así, me gusta ser ordenado por lo menos para algunas cosas  :laugh: ). En serio, quiero decir que lo he leído todo; menos el PDF en alemán.
 Lo primero que vi cuando abrí un libro de análisis -o de lo primero que vi-, fueron los axiomas de Peano. Es de las cosas que más me sorprendieron: uno empieza a leerlos, a estudiarlos, en plan novato, y al principio te parece que te están tomando el pelo, parecen tan obvios que piensas que están de más, que de ahí no va a salir nada que ya no sepas; y dices "el uno es el primero, pero qué chorrada es ésta". Pero enseguida ves que no es así y que esa "s" de siguiente, que no sugiere más que ese simple y conocido concepto, se transforma en una herramienta prodigiosa. Y te asombras de que no se te ocurriera a ti. Entonces ves que lo más oculto de la ciencia no está encerrado en esos conocimientos que te quedan grandes, lejanos, futuristas y complicados, sino, por el contrario, en lo que parece más básico, en lo elemental.
 No tengo, ahora mismo, ningún comentario concreto que hacer sobre lo que has escrito, sólo te diré que me ha recordado eso que he escrito al principio y que se palpa que, en esos matemáticos  antiguos, existía una acuciante necesidad de "volver a empezar" para encontrar el "eslabón perdido"; eso que muchos tuvieron delante de las narices o en la punta de la lengua pero nunca terminó de concretarse; creo que Schopenhauer -mira, otro filoósofo como K...- fue el que dijo esta frase: "No hay que pretender ver lo que nadie ve, sino pensar lo que nadie piensa sobre lo que todo el mundo puede ver".
   
 Saludos y buenas noches (que aquí es tarde)
 
 
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 01:58 am
Bueno, las propiedades de los números eran bastante conocidas desde hacía siglos.

La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?
¿Qué propiedades son las que caracterizan a los números de esta manera?

Además, en matemática se necesita justificar lo que se afirma mediante razonamientos.
¿Qué relación hay entre los razonamientos y los números?
¿Son los números algo independiente de la lógica, o se pueden construir dentro de la lógica misma?

¿Cómo demostrar con absoluto rigor qué existen los números?
¿Y más importante aún, cómo estar seguros de cuáles son las propiedades de los números naturales, y cómo saber que a la larga no hallaremos una contradicción?

Hay varios ejemplos de paradojas relativas a números si no se tiene cuidado de cuán libre es el universo de discurso en que se les permite actuar.
Por ejemplo, sabemos que todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo, lo cual es intuitivamente obvio.
Ahora consideremos el conjunto X de aquellos números x talles que x no puede expresarse con menos de cien caracteres.

Ese conjunto es no vacío ya que si el número de caracteres admisibles es digamos, el del UNICODE (\( 2^{16} \)), entonces el número de números que, como máximo, podrían expresarse, serían \( 2^{1600} \). Tomemos el máximo de esos números así representados. El número M+1 no podrá representarse con menos de cien caracteres.

Bueno, ahora que el conjunto X es no vacío, tiene un mínimo elemento, digamos m. Ese m no puede expresarse con menos de cien caracteres. Pero por mera definición, m pertenece a X, por lo tanto m es "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres". Pero con esta frase hemos expresado m con menos de cien caracteres, lo cual es una contradicción.
(Paradoja de Berry).

Esto muestra que el uso libre de las propiedades de los números naturales conduce a errores.
Y por lo tanto es necesario determinar con rigor cómo y en qué contexto se puede usarlos o hablar de ellos.
Ya no son algo tan "libre" que pulula en nuestra mente.

Seguramente algo de ellos funciona correctamente, ¿pero qué, hasta dónde, en qué sentido?
Estas preguntas son las que han hecho a la gente cuestionarse los fundamentos de la aritmética.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Fernando Revilla en 07 Agosto, 2011, 08:39 am
¿Son los números algo independiente de la lógica, o se pueden construir dentro de la lógica misma?

Mi conclusión (tras larga, dura y a veces amarga reflexión): están por encima de la Lógica.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 08:57 am
¿Por "encima" te referís a que están profundamente escondidos en la mente, que son previos a la lógica misma?
Porque esto es lo que a mí me parece.
Yo he llegado a esa conclusión.

No obstante, lo que a "uno le parece" lamentablemente no es publicable como artículo científico, jejeje.

Aún tengo un largo camino que recorrer, y muchas pestañas que quemar entre los libros.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Fernando Revilla en 07 Agosto, 2011, 09:22 am
¿Por "encima" te referís a que están profundamente escondidos en la mente, que son previos a la lógica misma?

Que la Lógica no capta toda su esencia.

Citar
Porque esto es lo que a mí me parece. Yo he llegado a esa conclusión.

Bienvenido al Club.  :laugh:

Citar
No obstante, lo que a "uno le parece" lamentablemente no es publicable como artículo científico, jejeje.

No me gusta la frase "lo que a uno le parece". Mejor diría lo que uno deduce después (insisto) de larguísima reflexión. En cuanto a lo de publicable o no, lo veo irrelevante. Creo que se presentan al año medio millón de artículos de "alta" matemática.

Citar
Aún tengo un largo camino que recorrer,

Todos.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Cristian C en 07 Agosto, 2011, 11:33 am
Es grato ver nuevamente este interesante tema por aquí.
Mañana intentaré aportar mi visión sobre el problema de los fundamentos de la Lógica y la Aritmética con la esperanza de que argentinator me diga en qué "ismo" estoy parado.

Saludos.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Óscar Matzerath en 07 Agosto, 2011, 12:58 pm
Hola,

Sobre el asunto de que la aritmética es anterior a la lógica, parece que después del fracaso del logicismo (primero Frege, y luego menor, pero fracaso igual, Russell y Whitehead), hay un cierto consenso entre los expertos en filosofía de las matemáticas de que la aritmética es anterior a la lógica, y por tanto no se pueden deducir las propiedades de los números naturales a partir de la lógica pura, sino que hay que introducir algún elemento "no lógico" para poder reproducir una teoría de la aritmética.

Aparte de esto, yo también estoy de acuerdo (y lo estaba antes de hablar con ningñun experto en filosofía de las matemáticas) en que la aritmética es previa a la lógica.

Por cierto, un comentario sobre la inconsistencia en el sistema de Frege. Frege publicó tres grandes obras sobre lógica y aritmética: el Begriffsschrift, donde expone un sistema puramente lógico y aún no desarrolla al completo su sistema lógico de donde pretende deducir toda la aritmética, pero da unos primeros pasos en esa dirección. Este ha sido el libro influyente, y el sistema de este libro sí es consistente. Aquí es donde aparece por primera vez el concepto de cuantificación y también el de cálculo deductivo o sistema formal tal como lo entendemos hoy en día. En este sistema Frege no tenía semántica, solo sintaxis y el cálculo deductivo. De hecho la sintaxis de su sistema era bastante complicada, haciendo uso de la distinción función - argumento (otra novedad importante de Frege respecto a la lógica anterior que hacia distinción sujeto-predicado) donde cualquier cosa podía tomar el lugar del argumento y de la función.
Después de este influyente libro, publicó los Grundlagen, un libro más orientado a filósofos y menos formal, debido a la poca aceptación de su Begriffsschrift, y por último los Grundgesetze en dos tomos, donde se lanzaba a ampliar su trabajo del Begriffsschrift (con algunos cambios importantes sobre los que había reflexionado y cambiaod de opinión entre los dos libros) y desarrollar al completo su programa logicista. Aquí es donde Russell encontró una contradicción (la famosa paradoja de Russell, en contradicción con el axioma V del sistema de Frege) y se acabó la lógica para Frege. Frege intentó reparar a la desesperada su trabajo, pero el "parche" que le hizo era demasiado ad-hoc como para ser tomado en serio, y además muchos años después alguien demostró que su sistema seguía siendo consistente. Para hacer consistente el sistema de los Grundgesetze había que quitar o restringir un axioma con el cual todo el programa logicista de Frege se hundía, de manera que ya no era posible deducir las leyes de la aritmética de él.

Pero no hay que perder de vista que el trabajo realmente influyente para la lógica actual es el Begriffsschrift, y ese sí que es consistente.

Saludos
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 01:05 pm

La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?


Si no se me escapa alguna definición olvidada que haya por ahí, creo que la respuesta debería ser "no sólo". Esos axiomas, hasta ahí, sin atender a más cosas como axiomas de las suma y demás, definen los elementos de un conjunto numerable en los que se establece que existe un primero por medio del \( 0 \) y el \( 1 \); estableciendo así una relación de orden (creo ver que sin esos axiomas sobre el cero y el uno se podría también establecer, aunque arbitraria). Pero me parece que nada dice o nada hace ver con claridad que no existe un último elemento (no existe un último elemento definido, es un conjunto abierto).
Vamos, ya digo, repasando tu artículo así por encima, y recordando de mala memoria los axiomas de Peano, creo que al menos se escapa ese detalle.

 Por ejemplo, podríamos tomar este subconjunto de \( \mathbb{Q} \):

\(  \{\displaystyle\frac{1}{n}\,\,, \displaystyle\frac{1}{n-1}...\,\,1\} \)

Y podríamos tomar un elemento unidad, y decir el \( 0,0...1 \) es el primero, y \( S(0,0...1) \) será \( 0,0...2 \) etc. También vale en este subconjunto decir que detrás del cero no hay ningún número... La diferencia está en que el símbolo, la grafía, que hemos de utilizar para designar el primer elemento no concreta tanto; aunque quizá esto no es así y es una impresión subjetiva mía; porque si 1 es el primer elemento de un conjunto infinito, y numerable, qué diferencia esencial existe con esto \( 0,0...1 \), en realidad no tanta o no es tan fácil de definir el matiz, simplemente empleamos más símbolos separados en cuanto al trazo; y gastamos mas tinta, más allá de eso no es tan fácil, como en principio parece, señalar diferencias.

Pero no sé, insisto en que no lo he repasado ni pensado suficiente.

---

En cuanto a la paradoja ésa con la que me ilustras (Berry creo que era el nombre, ¿no?, ahora no lo veo escrito desde el editor) entiendo que el asunto está en que cuanto más buscamos abstraer una definición más definiciones necesitamos; es decir, si tenemos la definición modelo Perogrullo (por ejemplo: " éste 2 es el dos") va a ser difícil que surjan paradojas, o casi imposible. Sin embargo, si queremos alejarnos de esa simpleza y abstraer el concepto tendremos que echar manos de otros conceptos más ambiguos que involucran a la definición de más cosas: los números son caracteres pero las letras también los son. Esto hace pensar que una definición abstracta ideal necesitará de infinitas definiciones auxiliares; y, como se suele decir, para ese viaje no hacía falta alforjas, de donde nos debemos rendir a la evidencia de que dejar de emplear la intuición del todo es un sueño imposible. Pero, en mi opinión, eso no debe preocupar tanto, la cuestión es llegar a saber si no sabemos algo, sobre los números, que debiéramos saber y  aún no sabemos; poder asegurar esto, sin dejarlo en una simple hipótesis, sería el primer paso; y después... a buscar ese algo.
Para mí la investigación es semejante a un ejército de millones de personas dando una batida sobre un terreno en el que hay pequeños objetos; va a ser difícil que deje de encontrarse uno brillante, aparentemente "obvio", pero existe al menos alguna probabilidad de ello, de que uno de esos objetos se haya pasado por alto y haya quedado perdido detrás del Ejército; y por existir, aunque se antoje imposible, existe incluso la probabilidad de que un niño que camine detrás de la muchedumbre lo descubra.

Saludos.




Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 02:37 pm
No entiendo la notación que usaste.

Pero en realidad, dado un sistema que cumple los axiomas de Peano, pueden "construirse" ahí las operaciones de suma y producto.
Todo viene gratis, al menos donde yo "me muevo" que es la teoría de conjuntos estándar ZFC.


La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?


Si no se me escapa alguna definición olvidada que haya por ahí, creo que la respuesta debería ser "no sólo". Esos axiomas, hasta ahí, sin atender a más cosas como axiomas de las suma y demás, definen los elementos de un conjunto numerable en los que se establece que existe un primero por medio del \( 0 \) y el \( 1 \);

Esas cuentas las hice bastante acá en el foro...

La suma y la multiplicación, así como la relación de orden "vienen gratis" tras los axiomas de Peano.

Esto es posible porque uno puede probar el Principio de Definición Recursiva a partir del Principio de Inducción.
La Recursión en N permite definir la suma y la multiplicación, y también la relación de orden < viene de la suma misma, al decretar que a < b cuando la ecuación a + x = b tiene solución en N.



Si un sistema axiomático necesita aclarar por separado cuáles son los axiomas para la suma y el producto, es que la lógica subyacente es más débil.

No estoy ducho en esos sistemas aún, pero pienso que se ahí no tiene uno las herramientas de la teoría de conjuntos.
Uno necesita conjuntos para construirse funciones en la demostración del Principio de Definición Recursiva.
Necesita unir esos conjuntos para "pegar" las funciones y formar la función de recurrencia.

En un sistema axiomático de números naturales en que no se asume ninguna teoría de conjuntos, me parece bien que los axiomas de suma y producto se deban agregar aparte, porque no se deducirían, quizá, necesariamente de los Axiomas de Peano.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 02:42 pm
Aparte de esto, yo también estoy de acuerdo (y lo estaba antes de hablar con ningñun experto en filosofía de las matemáticas) en que la aritmética es previa a la lógica.

...

Pero no hay que perder de vista que el trabajo realmente influyente para la lógica actual es el Begriffsschrift, y ese sí que es consistente.


Habría que ser más "preciso" en lo que queremos decir conque la aritmética es previa a la lógica.
No sé, para mí todavía eso tiene un aire místico.
Imagino que Fernando o vos podrán hablar de esto con más fundamento.

Tal como has dicho, la inconsistencia en el sistema de Frege vino cuando agregó su axioma "V".
Va a ver que analizar esto.
En el enlace que puse está supuestamente todo desarrollado (en inglés) el sistema de Frege.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 02:46 pm
Mañana intentaré aportar mi visión sobre el problema de los fundamentos de la Lógica y la Aritmética con la esperanza de que argentinator me diga en qué "ismo" estoy parado.

Los aportes son bienvenidos, pero no sé si estoy calificado para "clasificarte" en algún "ismo".

Estoy exponiendo este libro tal como lo estoy leyendo, y antes de terminar el capítulo introductorio me doy cuenta de que hay muchas cosas que no sabía.

Claro que en estos años he leído sobre estos temas, y hay hechos históricos que los conozco, como lo que Oscar menciona sobre Frege, o algunas cosas de Dedekind. Pero veo que ignoro bastante.

Así que espero no me quieran matar cuando meta algún error descabellado.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 05:30 pm
No entiendo la notación que usaste.

Pero en realidad, dado un sistema que cumple los axiomas de Peano, pueden "construirse" ahí las operaciones de suma y producto.
Todo viene gratis, al menos donde yo "me muevo" que es la teoría de conjuntos estándar ZFC.

 El conjunto al que me refería es el subconjunto de \( Q^{+} \) cuya sucesión de elementos ordenados de mayor a menor es ésta:

\( \dfrac{1}{n}\,\,\,\,,\dfrac{1}{n-1}\,\,\,\,,\dfrac{1}{n-2}\,\,\,\,...\,\,\dfrac{1}{n-(n-1)}\,\, \)

Se puede definir un primero, es numerable, tiene infinitos elementos, permite el método de inducción... pero a diferencia de N está acotado en 1 por la derecha.

 Creo acertar si digo que una buena definición de N debe lograr que este conjunto no sólo no se confunda con ninguno de los otros grandes conjuntos, sino que también debemos intentar que no se confunda con ninguno de sus subconjuntos.
 Tú me habías preguntado si esos axiomas definían a los naturales, y yo te he contestado "creo -que implica que el que habla no está seguro- que no sólo, porque me parecía que esos axiomas no definían bien o suficientemente cómo es el "último" elemento de N. 

 En esencia podríamos decir que he dicho que intuyo que hay que definir más, no menos, sin que ello implique que haya que recurrir a cosas que vienen después, como los axiomas de la suma o, qué sé yo, la teoría de la relatividad  :)

Saludos.


Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 09:33 pm
Ese conjunto es finito.

¿Cuánto es n? Si n = 5, por ejemplo, tu sucesión tiene 5 elementos: 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1.

A lo mejor el ejemplo que buscás es éste: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., o sea, la sucesión 1/n.

Toda sucesión cuyos elementos son objetos distintos, de cualquier especie, satisface los axiomas de Peano, ya que una sucesión no es otra cosa que una función de N en un conjunto X.
Si todos son distintos, la función es inyectiva.

Luego \( f:N\to X \) es una inyección, y si además la función recorre todo X, se tiene una biyección.
En este caso, se puede contagiar la estructura de N a X, por sólo definir el "siguiente" de f(n) como f(s(n)).
Con eso en mano, en X vale el principio de inducción.

En tu ejemplo, la suma en el conjunto X = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} estaría dada por:

\( \dfrac1n \oplus \dfrac 1m = \dfrac 1{m+n} \).

Aquí, el denominador "m+n" es una suma en "N", mientras he usado el símbolo "\( \oplus \)" para indicar la suma en X.

El orden de los elementos en X quedará al revés.

Entiendo lo que estás planteando, pero el conjunto X, visto como un subconjunto de racionales, claramente no satisface los axiomas de Peano.



¿y entonces, satisface o no satisface?

Lo que hay que tener claro es que los Axiomas de Peano no se aplican a un "conjunto" sino a una "estructura".

Dichos axiomas no hablan de un "conjunto N" sino de una terna "(N, e, s)" donde "N" es un conjunto, "e" es algún "primer elemento y "s" es una función inyectiva de N en N - {e}.

La terna (X, 1, s), donde X = {1, 1/2, 1/3, ...}, y  \( s(x) = 1/(1+1/x)  \) satisface los Axiomas de Peano.
Al definir ahí la suma, claro que queda una suma distinta a la suma de racionales.

No es lo mismo \( 1/2 + 1/3 \) (que da 5/6, y que encima no es un elemento de X, se sale afuera del conjunto) sino que además \( 1/2 \oplus 1/3 = 1/5 \), que nada tiene que ver.

Si bien esto puede hacerse con cualquier sucesión (inyectiva) de objetos de cualquier conjunto X,
normalmente las sumas y productos en tales sucesiones no se usan para nada.
Y no se usa sólo porque, si hay que hacer "aritmética", se la hace en el conjunto de índices, que ya tiene a "los" naturales.
(Si has leído lo de Dedekind, verás que no tiene sentido decir "los" naturales, sino "unos" naturales).

Pero la estructura de los naturales está ahí presente.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 10:29 pm
Ese conjunto es finito.


 Digamos que \( n\rightarrow{n} \) y que es el mismo \( n \) de la sucesión

 \( 1,2,3...\,\,n \)

Saludos.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 10:35 pm
Sigo sin entender. Vas a tener que precisar mejor.

¿Podrías enumerar los elementos del conjunto? Porque lo que vos escribís me da un conjunto finito.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 10:43 pm
Sigo sin entender. Vas a tener que precisar mejor.

¿Podrías enumerar los elementos del conjunto? Porque lo que vos escribís me da un conjunto finito.

 Podría, pero estoy pensando en una contraobjeción para evadirme de la objeción que me vas a lanzar;  :laugh:
 Esto del infinito no es fácil, pero admite que lo mismo ocurre por la derecha que por la izquierda.

 Un cordial saludo.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 11:03 pm
Si X es el conjunto de las funciones continuas, no hay ni "izquierda" ni "derecha".
Una sucesión de funciones \( f_n \) distintas que converge a la función 0 en X es un ejemplo de sucesión bastante arbitraria, y ahí sigue siendo posible hablar de Axiomas de Peano.
La terna ahí sería \( (F, f_1, S) \), donde \( F = \{f_1, f_2, f_3, ...\}, S(f_n) = f_{n+1} \).

Pero ya con el "subíndice" n le estoy "contagiando" la estructura de los naturales.

Hago siempre lo mismo, que es muy burdo.

No obstante, uno podría construirse ejemplos de ternas \( (X, e, s) \) que cumplan los Axiomas de Peano, sin necesidad de hacerlas a propósito como sucesiones con subíndice natural...

Todo esto, siempre en la teoría de conjuntos más estándar que se te ocurra.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 11:04 pm
Realmente no hace falta añadir esa definición, ahora que lo veo, puesto que Peano prácticamente define o da a entender que el 1, el primero, es una cota por la izquierda; y ahí hay una diferencia esencial con el primero del conjunto que yo decía; que no es una cota.
 
 Ahora, una pregunta personal (pero no es una pregunta comprometida) cuando decías que la cuestión era si esos axiomas definían a \( \mathbb{N} \) ¿estabas haciendo una pregunta retórica dando por sentado que es así, o crees que puede haber algo que falta?

Saludos.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 11:05 pm
Si X es el conjunto de las funciones continuas, no hay ni "izquierda" ni "derecha".
Una sucesión de funciones \( f_n \) distintas que converge a la función 0 en X es un ejemplo de sucesión bastante arbitraria, y ahí sigue siendo posible hablar de Axiomas de Peano.
La terna ahí sería \( (F, f_1, S) \), donde \( F = \{f_1, f_2, f_3, ...\}, S(f_n) = f_{n+1} \).

Pero ya con el "subíndice" n le estoy "contagiando" la estructura de los naturales.

Hago siempre lo mismo, que es muy burdo.

No obstante, uno podría construirse ejemplos de ternas \( (X, e, s) \) que cumplan los Axiomas de Peano, sin necesidad de hacerlas a propósito como sucesiones con subíndice natural...

Todo esto, siempre en la teoría de conjuntos más estándar que se te ocurra.

Pues vaya, ya he metido la pata en la contestación que había mandado antes de ver esto...
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 11:10 pm

cuando decías que la cuestión era si esos axiomas definían a \( \mathbb{N} \) ¿estabas haciendo una pregunta retórica dando por sentado que es así, o crees que puede haber algo que falta?
 

No, estoy haciendo una pregunta que todo el mundo debería hacerse.

Si das una lista de axiomas, ¿todo objeto matemático que lo satisface es isomorfo?

Tomemos por ejemplo los Axiomas de "Espacio Vectorial".

Está claro que \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^7 \) satisfacen los axiomas de espacio vectorial.
¿Pero son isomorfos?
Claro que no.

Ahora tomemos otra lista de Axiomas: los de Peano.

Supongamos dos ternas (N, e, s), (N', e', s') que satisfacen los Axiomas de Peano.
¿Son isomorfos?
En principio no se sabe.
En la teoría de conjuntos ZFC, sin embargo, esto se puede demostrar.
O sea que la respuesta sería: SÍ, son isomorfos.

Esto permite pensar que los sistemas de números naturales son, en realidad, "como si fueran uno solo", no hay ambigüedad.

Un espacio vectorial no se puede reemplazar por otro cualquiera. No es válido, porque no se sabe si son isomorfos.
En cambio, un sistema de "Peano" (N, e, s) se puede reemplazar por otro cualquiera (N', e', s'), y nada cambia, todo sigue siendo válido.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 11:15 pm

En cambio, un sistema de "Peano" (N, e, s) se puede reemplazar por otro cualquiera (N', e', s'), y nada cambia, todo sigue siendo válido.


Bien, quizá eso es lo que yo veía y daba lugar a que pensara en la necesidad de algún axioma extra; sin ser necesario.

Saludos.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 11:19 pm
Realmente no hace falta añadir esa definición, ahora que lo veo, puesto que Peano prácticamente define o da a entender que el 1, el primero, es una cota por la izquierda;


En los Axiomas de Peano no se puede hablar de "cotas por la izquierda", porque los números naturales no tienen un orden estipulado previamente en esa lista de Axiomas.

Fijate que nunca aparece una relación de orden en los axiomas.

Tampoco es correcto decir que "1" es un "primer elemento".
Al menos, en la lista de Axiomas de Peano, eso no tiene sentido,
inclusive si Peano alguna vez lo haya dicho así (que no recuerdo).

No hay "primero" porque no hay "orden".

El "orden" de los naturales se construye después.
Se puede hacer en forma algebraica, pero quizá también en forma "recursiva", mediante algún truquito con el Principio de Definición Recursiva.

Pero las "cotas" aparecen sólo si sabés de qué "relación de orden" estás hablando.
¿Cuál es la relación de orden en (N, e, s), si en los Axiomas todavía no la definió?

Los Axiomas sólo dicen aquello que dicen, y nada más.
Lo demás, propiedades que uno "se imagina" o "se acuerda", en realidad hay que "demostrarlas a todas, una por una".
Esto incluye el "ponerse a construir una relación de orden", demostrar que es un orden, y luego demostrar que el 1 es una cota inferior.
Eso lleva trabajo, demostraciones, no sale del aire.

Y las reglas del juego son estas: para afirmar esas nuevas cosas sólo es válido aplicar los axiomas que están dados de entrada.

De eso se tratan los Axiomas.
No es una mera colección de propiedades. Se procura que toda la teoría de los naturales surja usando "solamente" esas propiedades.
Todo sale de los Axiomas de Peano, y nada puede salir "del aire".

Obviamente que los Axiomas de Peano no están solos, también están los Axiomas de la Teoría de Conjuntos, y los Axiomas Lógicos.
Pero la idea es la misma: hay unas reglas de juego, y no se pueden hacer "pasos" fuera de esas reglas.

Es como al jugar al ajedrez: no se puede hacer que el caballo mueva como la reina, es un movimiento no permitido por las reglas.
Cada cosa que se afirma debe ser o un Axioma, o un Teorema exclusivamente deducido a partir de las reglas axiomáticas y lógicas previamente estipuladas.

Algo maquinal.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 07 Agosto, 2011, 11:38 pm
O sea, que la función s se llama "sucesor" o "siguiente" no tiene que traer la confusión de que realmente hay un "orden" ahí, o un primero.

Es sólo una palabra "vacía de significado", salvo por el hecho concreto que los axiomas de Peano le dan: s es una función inyectiva de cierto tipo.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 07 Agosto, 2011, 11:39 pm


Tampoco es correcto decir que "1" es un "primer elemento".
Al menos, en la lista de Axiomas de Peano, eso no tiene sentido,
inclusive si Peano alguna vez lo haya dicho así (que no recuerdo).


 Este error no es culpa mía (todos los demás que suelo cometer sí, pero éste no) es algo que lo tengo en la cabeza desde que estudié y sólo puede proceder de un libro o de las palabras textuales de un profesor en clase; es más en mi cabeza estaba que ése era el enunciado del primer axioma. Es verdad que después, aquí en Internet, creo que no lo he visto nunca.
 Bueno, pues no importa, no soy nostálgico para estas cosas, borrón y cuenta nueva; además me gusta más así, sin relación de orden de antemano.

 Un saludo más, es un placer hablar contigo.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 08 Agosto, 2011, 12:01 am
Se pueden dar axiomas para los números naturales con una relación de orden, pero los de Peano no son así.

Es todo muy confuso, pero justamente el estudio de los Fundamentos tiene que ver con cuestionarse todo: qué significado tienen las cosas que pensamos, decimos o hacemos en matemática, qué estamos haciendo exactamente en cada etapa, por qué, con qué reglas, métodos, o inclusive, bajo el efecto de cuáles "creencias" estamos actuando.

Es importante recordar que las palabras usadas en matemática siempre son "sugestivas", pero que su significado no debe interpretarse jamás en sentido literal, tomado desde "el diccionario de la RAE".

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: feriva en 08 Agosto, 2011, 12:10 am
Es importante recordar que las palabras usadas en matemática siempre son "sugestivas", pero que su significado no debe interpretarse jamás en sentido literal, tomado desde "el diccionario de la RAE".


No, si las palabras no tienen la culpa, la culpa la tiene mi memoria, que en su chochez prematura, cambia en el recuerdo unas palabras por otras; ahora he mirado en Internet y, lo que dice el primer axioma es "el 1 es un número natural" no "el 1 es el primero". Seguramente fue la intuición la que, con el tiempo, cambió una cosa por otra.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Garubi en 11 Agosto, 2011, 08:22 am
Hola.

Ahora consideremos el conjunto X de aquellos números x talles que x no puede expresarse con menos de cien caracteres.

Ese conjunto es no vacío ya que si el número de caracteres admisibles es digamos, el del UNICODE (\( 2^{16} \)), entonces el número de números que, como máximo, podrían expresarse, serían \( 2^{1600} \). Tomemos el máximo de esos números así representados. El número M+1 no podrá representarse con menos de cien caracteres.

Bueno, ahora que el conjunto X es no vacío, tiene un mínimo elemento, digamos m. Ese m no puede expresarse con menos de cien caracteres. Pero por mera definición, m pertenece a X, por lo tanto m es "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres". Pero con esta frase hemos expresado m con menos de cien caracteres, lo cual es una contradicción.
(Paradoja de Berry).

Si hemos dedicado todo el alfabeto UNICODE a la expresión de números, será netamente un alfabeto exclusivamente numérico, y la expresión: "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres", comillas incluidas, será necesariamente una expresión numérica, y será irrelevante que se dé la coincidencia de que en otro uso del mismo alfabeto, aquello tenga un sentido en algún idioma, como el castellano. ¿No?


Un saludo.
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 11 Agosto, 2011, 08:38 am
Hice uso del UNICODE porque tiene comas, puntos y otros signos, además de los alfabéticos.

Se puede pensar lo mismo con caracteres que no sean de UNICODE.

Se supone que lo relevante son los signos alfabéticos escritos, y no los bits del UNICODE.
Porque si estás mirando los bits de cada caracter, eso es otra codificación del mismo mensaje.

Se puede hacer todo en binario, pero si no le das ningún significado, entonces es sólo una lista de bits 0 1.

Es la paradoja de Berry, y conviene buscar información por ese lado.
Yo no voy a detenerme demasiado en eso. (Por ahora, al menos eso creo).

Saludos
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 06:33 am
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Más de Dedekind

Voy a continuar con algunas cuentas sobre la teoría de Dedekind del infinito.
No sé dónde estará el resultado original de Dedekind, pero no es muy relevante.

Voy a suponer que estamos en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin asumir que vale el Axioma de Elección, escrito todo, claro está, en la lógica de primer orden.
Es lo que conocemos como teoría ZF. Al agregarle el axioma de elección, queda ZFC, que es la teoría estándar de conjuntos.

Es usual en dicha teoría asumir el Axioma del Infinito, el cual afirma básicamente que: existe un conjunto que satisface las propiedades de los números naturales.

Pero esa afirmación es demasiado "fuerte", además de innecesaria.

Podemos asumir, como Dedekind, solamente que "existe un conjunto infinito", y luego proceder a "demostrar" la existencia de un conjunto de números naturales.

Para ello, quitamos el Axioma del Infinito, y lo reemplazamos por la hipótesis de que existe al menos un conjunto Dedekind-infinito.

El sistema axiomático que resulta de quitar el Axioma del Infinito se denota usualmente con ZF-.

Me interesa demostrar lo siguiente:

Teorema. En ZF-, si existe un conjunto infinito \( X \), entonces existe un sistema simplemente infinito \( N \) que además es subconjunto de \( X \).

En otras palabras: hay un subconjunto de números naturales que es subconjunto de \( X \).



Antes de pasar a la demostración, agradezco una intervención posterior de Oscar que sirvió para corregir las cuentas, y de paso aclarar algunas cosas importantes.


Primero que nada, debemos dejar claro que en una teoría como ZF-, que parte de una lista de axiomas más chica que la teoría estándar ZFC, hay hechos naturalmente ciertos en ZFC que no pueden ser demostrados en ZF-.

Más aún, hay "modelos" de muchas de esas afirmaciones que verifican la "negación" de ellas en ZF-.
Sin entrar por ahora en detalles de qué son los "modelos", tomémoslo intuitivamente diciendo que "un modelo es un ejemplo en el que se satisfacen las propiedades listadas en los Axiomas por uno escogidos".

Un ejemplo de estas diferencias es el concepto básico de "finitud" e "infinitud".
En ZFC son equivalentes las nociones de conjunto infinito y conjunto Dedekind-infinito, lo cual se demuestra fácilmente con el Axioma de Elección.
En cambio, en ZF esto no es cierto, y más aún, hay "modelos" en los que un conjunto puede ser a la vez "infinito" en el sentido usual del término (no biyectable con algún conjunto de naturales {1, ...., n}) pero también "Dedekind-finito".

Si bien vamos a probar ahora que todo conjunto Dedekind-infinito en ZF- es también infinito en sentido estándar, la recíproca no es cierta.

Estos "modelos" rebeldes no los voy a postear ahora, aunque más adelante voy a intentar hacerlo, porque sin dudas es algo muy interesante para esta discusión.

Por ahora sólo tengamos en cuenta que:

* Si tenemos una familia de conjuntos Dedekind-finitos, no necesariamente son ellos finitos en sentido estándar.
* Luego, se hace necesario "extraer" alguna subfamilia de todos ellos para obtener conjuntos que sean "finitos" en sentido usual.



Para demostrar el Teorema, vamos a necesitar un resultado previo:

Proposición. Si en ZF- existe un conjunto Dedekind-infinito \( X \), entonces existe un conjunto simplemente infinito, o sea, que cumple los axiomas de los números naturales.

Demostración de la Proposición.

La estrategia de la demostración será la siguiente: (la pongo en spoiler porque ocupa mucho espacio visual).

Spoiler
  • Querríamos decir que el "0" corresponde al conjunto vacío,
    luego elegir sucesivamente elementos distintos \( x_1,x_2,x_3,...\in X \) y probar que los conjuntos \( \{x_1\},\{x_1,x_2\},\{x_1,x_2,x_3\}, \) etc., van formando una secuencia de conjuntos.
    La colección de todos estos conjuntos, junto con una función "sucesor" adecuadamente definida, si se pudiera hacer, nos serviría como conjunto de números naturales.
  • Sin embargo el proceso anterior no puede llevarse a cabo, porque en cada caso hay que "elegir" elementos de conjuntos "grandes".
    O sea, debo elegir un elemento \( x_1\in X \), luego  \( x_2\in X\setminus \{x_1\} \), \( x_3\in X\setminus \{x_1,x_2\} \), y así sucesivamente.

    Esa "elección" no puede hacerse, porque no tengo Axioma de Elección.
    Además, aparece al menos "complicado" definir un proceso en forma recursiva como el expuesto, porque al no tener "aún" un conjunto de números naturales, no tengo "autorización" para usar el Principio de Definición por Recurrencia.

  • Así que no queda más remedio que considerar "los subconjuntos de \( X \) de 1 elemento, todos a la vez", luego a esos agregarles un elemento de \( X \), y considerar "todos los subconjuntos de 2 elementos", y así sucesivamente.

    Con este "proceso" estamos evitando el uso del Axioma de Elección.
    Sin embargo, aún no puedo formalizar bien el "así sucesivamente", porque no tengo números naturales, luego no tengo inducción ni recurrencia. No tengo secuencias, y me está prohíbido decir cosas como "y así sucesivamente".
  • Sin embargo, puedo hacer algunas cosas "periféricas". Por ejemplo, dado un subconjunto Dedekind-finito \( F\subset X \) puedo formarme el conjunto de todos los subconjuntos de \( X \) biyectivos con \( F \).

    A ese conjunto lo denotaremos como \( [F] \) (notación de "clases de equivalencia"), y es posible definir una noción de "siguiente" de \( [F] \), obteniendo un conjunto similar \( [F'] \) asociado a algún \( F'\subset X \) también Dedekind-finito.

  • La familia de todos esos "conjuntos de conjuntos" \( [F] \) (asociados a un Dedekind-finito \( F\subset X \)) es tal que la función "sucesor" estará bien definida como una aplicación "inyectiva".

    Tendremos también un "primer elemento", a saber, el \( [\emptyset ] \).

    La pregunta es si esto alcanza para decir que tenemos un sistema de números naturales.

  • La respuesta es que no, porque aún faltaría probar que vale el Principio de Inducción.

    Pero recordemos la discusión previa de que "no es lo mismo" finito-estándar que Dedekind-finito.

    Así, mientras yo puedo obtener clases que "sucesivamente" vayan teniendo cada una un cardinal inmediatamente siguitente que la anterior, lo cual sin duda se parece a los números naturales,
    lo cierto es que la colección de todas las clases \( [F] \)  puede contener muchos más elementos que los deseados.

    O sea, tendría una primer clase asociada al vacío: \( [\emptyset ] \).
    La clase "siguiente" sería \( [\{x_1\}] \), donde \( x_1 \) es cualquier elemento de \( X \).
    La "siguiente" de esta sería \( [\{x_1,x_2\}] \), donde \( x_1,x_2 \) son cualesquiera elementos "disintos" de \( X \), y así sucesivametne.

    Esas clases son las que uno quiere que se asocien sucesivamente a nuestra idea de números naturales 0, 1, 2, etc.
    Pero no hay modo de "enumerar" dichas clases, porque aún no tenemos justamente la escala de los números naturales.

    Así que tenemos que considerar la familia completa de todas las clases \( [F] \) con \( F \) Dedekind-finito.

    Pero corremos el riesgo de que estas clases sean "demasiadas", y no valga el principio de inducción.

  • La solución típica al último problema sería: probar que la familia de todas las clases satisface "cierta" propiedad "inductiva".

    Luego tomar la mínima de todas las subfamilias inductivas, y llamar "números naturales" a esta clase mínima.

    ¿Por qué debería funcionar?
    Bueno, porque el Principio de Inducción es justamente una forma de "minimalidad" para conjuntos inductivos.
    Es común "cazar" el Principio de Inducción de esta forma.
[cerrar]


A continuación van los detalles formales de la prueba, los cuales también pongo en Spoiler.

Demostración.

Construcción de un sistema de números naturales "en alguna parte"

Sea \( X \) un conjunto Dedekind-infinito dado.
Fijado un elemento \( z\in X \), el conjunto \( \{z\} \) es Dedekind-finito, y además es subconjunto de \( X \).

Dado cualquier subconjunto Dedekind-finito \( F \) de \( X \), es claro que \( X\setminus F \) es no vacío, porque si no, \( X \) sería Dedekind-finito.
Luego, existe algún \( x\in X\setminus F \).

El conjunto \( F'=F\cup \{x\} \) es subconjunto de \( X \) y es Dedekind-finito.
Porque si fuese Dedekind-infinito, habría una biyección \( f \) con un subconjunto propio \( G \) de \( F' \).
Si \( G\subset F \), entonces quitando el elemento \( f^{-1}(x) \) obtenemos una biyección entre \( F \) y un subconjunto propio de \( F \), absurdo.
En cambio, si \( x\in G \), tomando un \( z\in F'\setminus G \), nos queda que \( z\in F\setminus G \), pues \( z\neq x \), y la aplicación \( g:G\to F \), \( g(a) = a, a\neq x, g(x) = z \) es una biyección, lo cual nos permite hallar un subconjunto propio de \( F \) biyectivo con \( F \), absurdo otra vez.

Así que la clase \( \mathcal S_F \) de todos los conjuntos de la forma \( F\cup \{x\} \) para \( x\in X\setminus F \) es no vacía, y además consta de conjuntos Dedekind-finitos.

Se puede probar fácilmente que todos los elementos de \( \mathcal S_F \) son biyectivos entre sí.

Definamos la relación de equivalencia \( \apporx \) entre subconjuntos de \( X \) Dedekind-finitos mediante:
\( F\approx G \) si y sólo si existen \( F'\in \mathcal S_F,G'\in \mathcal S_G \) tales que \( F',G' \) son biyectivos entre sí.

Por la observación anterior, si esto ocurre, todos los elementos de \( \mathcal S_F \) serán biyectivos con todos los de \( \mathcal S_G \).

Si ahora \( \mathcal C \) denota la clase de todos los subconjuntos Dedekind-finitos de \( X \),
tenemos que \( \approx \) induce una partición de \( \mathcal C \) en clases de equivalencia, como es usual.
Esto es fácil, faltando sólo comprobar el sencillo hecho de que \( \approx \) es una relación de equivalencia.
Denotemos con \( [F] \) la clase de equivalencia asociada a \( F \).

Se puede demostrar que, si \( x\not\in F \), entonces \( F'=F\cup \{x\} \), y así todo elemento de \( S_F \) pertenece a la clase \( [F'] \). En símbolos:

\( \mathcal S_F\subset [F'] \)

Más aún, la unión de todos los conjuntos \( S_E \) tales que \( E\approx F \) coincide con la clase \( [F'] \).

Definamos ahora la operación sucesor en la familia de las clases de equivalencia, así:

\( s([F])=[F'] \)

donde \( F'\in S_F \). En particular podemos decir algo como: \( \mathcal S_F\subset s(F) \), lo cual nos permite asociar claramente a un conjunto \( F \) "todos sus siguientes".

Recordemos que nuestro impedimento de no poder echar mano del Axioma de Elección no nos deja "elegir" uno solo de los "siguientes conjuntos" de \( F \).
Es por eso que no nos queda más remedio que trabajar con todos ellos.

La colección de clases de equivalencia se denota, como es usual, mediante \( \mathcal C/\approx \). Simple notación: prohíbido asustarse. Más aún, es un subconjunto de "partes de partes de \( X \)". En símbolos:

\( \mathcal C/\approx\subset \mathcal P(\mathcal P(X)). \)

Definamos ahora la noción de familia inductiva en el conjunto \( \mathcal P(\mathcal P(X)) \).
Decimos que un conjunto \( \mathcal J\subset \mathcal P(\mathcal P(X)) \) es una familia inductiva, si cumple los siguientes requisitos:

  • Todo elemento de \( \mathcal J \) es una de las clases de equivalencia \( [F] \), para algún \( F\subset X \) Dedekind-finito.
    (Esta condición la pido sólo para que la demostración no sea demasiado engorrosa).
  • La clase \( [\emptyset ] \) está en \( \mathcal J \), o sea: \( [\emptyset ]\in\mathcal J \).
  • Si \( [F]\in\mathcal J \), entonces el "siguiente" también está: \( s([F])\in \mathcal J \).

Es claro que \( \mathcal C/\approx \) es ella misma una familia inductiva.
Pero es posible que haya subconjuntos de esa familia que aún sean inductivas.

Esta posibilidad nos impide demostrar que en \( \mathcal C/\approx \) vale un Principio de Inducción.
Así que busquemos la "mínima" subfamilia inductiva, y verifiquemos que esa es la que nos sirve.
Para ellos, denotamos con \( \mathcal U \) al conjunto de todas las familias inductivas.
(Para entender en qué "país" vive ese conjunto, notemos que \( \mathcal U\subset \mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(X))) \))

Como \( \mathcal U\neq \emptyset  \), la intersección de todos los conjuntos que pertenecen a \( \mathcal U \) está bien definido, o sea, existe un conjunto

\( \mathcal N=\bigcap\{\mathcal J:\mathcal J\in \mathcal U\} \).

Es fácil verificar que \( \mathcal N \) es también una familia inductiva.
Además, dada cualquier otra familia inductiva \( \mathcal U\subset \mathcal N \), se tiene necesariamente, por la intersección involucarada en la definición de \( \mathcal N \), que \( \mathcal N\subset \mathcal U \), y esto implica que

\( \mathcal U=\mathcal N. \)

¡Pero esto es el Principio de Inducción relativo a la terna \( (\mathcal N,s,[\emptyset ]) \)!


Se obtiene entonces que \( (\mathcal N, s, [\emptyset ] ) \) es un sistema simplemente infinito, o sea, un sistema de números naturales.

Así que hemos probado nuestra Proposición auxiliar: existe un sistema \( \mathcal N \) de números naturales con sólo suponer que existe un conjunto infinito.

Ese conjunto aún no es subconjunto de \( X \).
Es tan sólo un conjunto números naturales que construimos "por ahí" (en realidad es subconjunto de "partes de partes de \( X \)").

[cerrar]

La prueba que he usado tiene para mí "olor a no-corriente".
Imagino que la prueba típica utiliza construcciones del tipo Von-Neumann para generar la secuencia de números naturales.

Como sea, ahí está.

Ahora procedamos a construir un subconjunto numerable de \( X \).

Por definición, existe \( X'\subset X \) tal que \( X'\neq X \) y tal que existe una biyección \( f:X\to X' \).
Ahora, la mera existencia de un sistema de números naturales nos permite definir funciones por recurrencia (lo cual es un Teorema que puede probarse en ZF-, a partir de las propiedades de Peano de cualquier sistema de números naturales que tengamos a mano).

Así que, por el Principio de Definición por Recurrencia, tiene sentido definir la composición de \( n \) funciones \( f^{(n)}:X\to X \), siendo \( f^{(n)}=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{n} \).

Ahora definimos la función \( g:\mathcal N\to X \), \( g(n)=f^{(n)}(x_0) \), donde \( x_0 \) es un elemento prefijado del conjunto no vacío \( X\setminus X' . \)

Se puede, además, definir la sucesión de conjuntos \( X_0=X, \qquad X_n=f^{(n)}(X) \).
Se puede probar por inducción que \( X_0\supset X_1\supset X_2\supset \cdots \).
En efecto, la primer inclusión es trivial, y dado \( n \), asumiendo que \( X_{n-1}\supset X_n \), tenemos ahora que:
\( X_n=f(X_{n-1})\supset f(X_n)=X_{n+1} \).

Tenemos trivialmente que \( g(n)\in X_n \), todo \( n \).
Pero más aún, \( g(n)\not\in X_{n+1} \), porque si no, aplicando "a ambos miembros" \( f^{(-n)} \) obtendríamos que \( x_0=g(0)\in X_1=X' \), en contra de la forma en que elegimos \( x_0 \).

Por lo tanto, para todo \( n \), tenemos que \( g(n)\in X_{n}\setminus X_{n+1} \).
Sin embargo, los conjuntos de la forma \( E_n=X_{n}\setminus X_{n+1} \) son todos disjuntos entre sí,
lo cual muestra que \( g \) es una función inyectiva.

Ergo, hemos obtenido un subconjunto de \( X \) biyectivo con los números naturales, tal como deseábamos.



No he encontrado la prueba original de Dedekind, pero estoy seguro que en esta última parte él ha seguido este camino, que es el más simple y natural.



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Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Óscar Matzerath en 12 Agosto, 2011, 03:15 pm
Hola,

Antes de nada agradecerte estos posts, me parecen un trabajo magnífico y seguro que te lleva tu tiempo.

Pero sobre el último post, tengo una duda en la demostración de la existencia de un sistema de naturales a partir de la existencia de un conjunto Dedekind-infinito. Al final, dices que:


Tenemos que demostrar que:


  • \( s \) es una función inyectiva de \( \mathcal N \) en \( \mathcal N \setminus \{[\emptyset ]\} \).

  • Si \( \mathcal A\subset \mathcal N \), \( [\emptyset ]\in A \), y si \( [F]\in \mathcal A \) implica que \( [F']\in \mathcal A \) para algún \( F'\in S_F \), entonces \( \mathcal A=\mathcal N \).



La primera es muy fácil de ver que es así, por sencillos teoremas de biyecciones en ZF.
Pero la segunda no me parece nada sencilla. ¿Qué pasa si X tiene un subconjunto Dedekind-finito pero infinito? En ese caso, el principio de inducción no puede cumplirse, ya que existe un subconjunto propio de \( \mathcal{N} \) que lo cumple (aquí voy a asumir que estamos en ZF y por tanto tenemos los naturales ya construidos antes, para poder usar principio de recursión):

El conjunto \( A= \{x \in \mathcal{N} : x=s^n(0) \) para algún n natural }, que está bien definido por el teorema de recursión, es claramente isomorfo a N (con el mismo 0 y la misma s), sin embargo si F es un Dedekind-finito pero infinito, \( [F] \notin X \), ya que si \( [F] = s^n([\emptyset] \), se demuestra fácilmente (por inducción) que F tiene cardinal n, y por tanto es finito. Esto es, el conjunto \( \mathcal{N} \) no puede ser en ese caso isomorfo a los naturales, ya que cualquier isomorfismo debe mandar los naturales en el conjunto A (respetando la operación s) y por tanto como \( \mathcal{N} - A \) es no vacío, no puede ser exhaustiva.

Saludos
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 03:30 pm
Tenés razón Oscar, voy a tener que revisar esa prueba. Me confié demasiado.

Tengo que considerar los conjuntos asociados a "finitos" en sentido "estándar" y no los Dedekind-finitos.
Por otra parte, así está pensada esa prueba, ya que los "finitos" son "Dedekind-finitos", y son ellos quienes forman una secuencia de naturales.
Luego la reviso...
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 04:57 pm
Agradezo a Oscar su corrección, ya que me ha hecho recordar que esta cuenta no sale así no más, sino que al menos falta un paso.

Como bien él menciona, no es equivalente en ZF- decir "finito" que "Dedekind-finito".

El problema con los conjuntos "finitos" es que no los puedo definir, porque un conjunto es "finito" en sentido estándar, si es coordinable con algún conjunto de naturales {1, ..., n}, pero resulta que los números naturales "aún" no los tengo.

Y si los tuviera, no podría asegurar en ZF- que están autorizados a "juntarse" para formar un "conjunto".

Así que hay que "producir" un conjunto de números naturales de algún modo.
La aplicación s() que definí está bien definida en esas clases asociadas a conjuntos Dedekind-finitos.

Pero tengo que asegurarme de que puedo "extraer" de ahí algún subconjunto de naturales.
Para eso, la estrategia básica que se me ocurre es la siguiente, que es bastante estándar además:

* Demostrar que la familia de clases [F] asociadas a conjuntos Dedekind-finitos es "inductiva".
* Tomar la "mínima" subfamilia inductiva (que existe trivialmente, tomando intersección), y a esa llamarla \( \mathcal N \).
* Finalmente chequear que esta subfamilia satisface los axiomas de los números naturales, lo cual es siempre bastante trivial debido a que el principio de inducción es una forma de "minimalidad inductiva".

Cuando corrija estas cosas este post quedará redundante, pero está bien que Oscar haya intervenido, porque de paso decimos algo importante y es que no es para nada equivalente la noción estándar de finitud con la que da Dedekind.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 06:11 pm
YA está corregido el error en el post de "Dedekind-infinito".

Bueno, aprovechando la intervención de Oscar, decidí corregir la demostración, y además agregué muchos comentarios de tipo "pedagógico" porque me di cuenta que estuve algo tacaño con las ideas y claves tras este tema de los Dedekind-infinitos.

Ahora puse más explicaciones de "por qué" uno tiene que probar las cosas de un modo y no de otro, para que la demostración no sea algo extraño que deje perplejo al lector incauto.

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 07:24 pm

El conjunto \( A= \{x \in \mathcal{N} : x=s^n(0) \) para algún n natural }, que está bien definido por el teorema de recursión, es claramente isomorfo a N (con el mismo 0 y la misma s),


En este punto no estoy muy de acuerdo, a ver...

Al decir que A es isomorfo a N, estás asumiendo que "ya hay" algún N.

Eso no puede hacerse en ZF-.
Con los Axiomas de ZF-, uno puede generar los números naturales de uno en uno, con varios métodos distintos,
pero no puede afirmar (creo yo) que la "colección" de todos esos naturales realmente se pueda "formar" o sea, constituir como un "conjunto" con pleno "certificado" otorgado por ZF-.

Justamente, hay que construirse un conjunto así.
Para eso hace falta al menos un conjunto infinito.
En ZF- ni siquiera se asume la existencia de un tal conjunto.
El universo podría quizá constar de conjuntos "finitos" solamente.

Además, cuando has hablado del Teorema de Recursión, ¿te estás refiriendo al Teorema de Definición por Recurrencia que se deduce de los Axiomas de Peano, o estás pensando en unos naturales "concretos" ya "fabricados" en la teoría de conjuntos a lo Von Neumann con ordinales?

A lo mejor se pueda trabajar con ordinales para probar que existe un conjunto de naturales.
Pero no lo he hecho, porque preferí no asumir nada previo.
Y de hecho, creo que no se puede asumir que la construcción típica de ordinales de Von Neumann conduzca a un conjunto de naturales... a menos que haya supuesto que hay un conjunto infinito, y pase por las demostraciones que antes expuse, o algo análogo.

 ???
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Óscar Matzerath en 12 Agosto, 2011, 07:46 pm
Hola,

Tienes razón en todo lo que dices, en ZF- puede pasar que no haya conjuntos infinitos, y que no exista el conjunto de todos los naturales, de hecho es el modelo más natural para ZF + ¬Inf, y el teorema de recursión para naturales (de hecho estaba pensando en los naturales típicos en ZF, es decir, los ordinales finitos) no se puede demostrar en ZF- simplemente porque no hay conjunto de todos los naturales (no está garantizado que exista) así que ni siquiera el enunciado tiene sentido.

Por cierto, como nota al margen, ¿a qué teorema te refieres exactamente cuando hablas del teorema de definición por recurrencia que se deduce de los axiomas de Peano?

De todas maneras eso no invalida para nada mi post anterior. Me explico. Como digo en el párrafo anterior, no trabajo en ZF- sino en ZF, donde tengo a mi disposición N, el teorema de recursión y todas las demás herramientas. Esto me basta para ver que la demostración falla, porque yo sé que existe un modelo de ZF donde existe un conjunto infinito pero Dedekind-finito. Ahora, en ese modelo, mi conjunto A está bien definido y todo lo demás es válido (ya que estoy en ZF, con infinitud), y muestro que no puede haber ningún isomorfismo entre los naturales (que los tengo en mi modelo, por ser modelo de ZF) y el \( \mathcal{N} \) de ese modelo, tal como lo habías definido. Por tanto, tengo un modelo de ZF donde es cierto que "\( \mathcal{N} \) no es un sistema de naturales" (ya que de serlo, sería isomorfo con los naturales que tengo, N). Pero como ZF es una extensión de ZF- (es ZF- con un axioma más) todo modelo de ZF es también modelo de ZF-, luego tengo un modelo de ZF- que cumple "\( \mathcal{N} \) no es un sistema de naturales", y por tanto, ZF- no prueba que "\( \mathcal{N} \) es un sistema de naturales, para cualquier X Dedekind-infinito".

Otra manera de verlo, más sintáctica. He demostrado que en ZF+"existe un conjunto Dedekind-finito pero infinito" es consistente que exista un X Dedekind-infinito tal que "\( \mathcal{N} \) no es un sistema de naturales" y por tanto ZF+"existe un conjunto Dedekind-finito pero infinito" no prueba "para cualquier X Dedekind-infinito, \( \mathcal{N} \) es un sistema de naturales". Pero si no lo prueba ZF+"existe un conjunto Dedekind-finito pero infinito", tampoco lo puede probar ZF- que es estrictamente más débil.

Saludos
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 07:58 pm
Está bien Oscar, estoy de acuerdo con eso último, y por eso corregí la demostración para distinguir justamente los Dedekind-finitos de los finitos.

Es cierto que no sólo en ZF- sino también en ZF, no es lo mismo Dedekind-finito que finito.

En ZF uno tiene los naturales, y entonces la demostración de que existe un subconjunto numerable de un Dedekind-infinito es como puse al final del post, que es bastante directo, al menos la idea es clara.

Mi dilema está entonces cuando trabajamos en ZF-, donde no tenemos asumido que existe un conjunto de números naturales.

Ahí TODO me lo tengo que fabricar, incluidos los números.

En cuanto al Teorema de definición por recurrencia, puede "demostrarse" una vez que uno ha conseguido un sistema de números naturales.
Las cuentas las hice en este thread:

Números Naturales (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805)

(Las ideas seguro las habré copiado de algún otro lado, pero son cuentas tan típicas que usualmente las vuelvo a hacer cada vez que hace falta).

En ese thread usé ZFC sin avisar.
De todos modos, estoy seguro de que no se usa el Axioma de Elección en el Teorema de Definición por Recurrencia.
Así que es válido en ZF.
No creo que haga falta revisar si es válido en ZF-, porque la mera hipótesis de que hay un conjunto que cumple los Axiomas de Peano nos da un conjunto infinito, con lo cual se sigue la construcción que hice unos posts atrás en este hilo que me da la existencia de un tal conjunto.
Puedo luego demostrar que es válido usar "recurrencia" en general en ZF- (siempre que sigamos suponiendo que hay algún X infinito).

Yo no sé si vos te referías a alguna forma de recurrencia más típica de la teoría de conjuntos, como las que a lo mejor podrían aparecer al manipular "ordinales" (o sea, te lo estoy preguntando porque no me acuerdo si se habla de "recurrencia" en este contexto).

Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Óscar Matzerath en 12 Agosto, 2011, 08:09 pm
Hola,

Ah, me refería exactamente al mismo teorema entonces (lo de usar N como ordinales u otro sistema isomorfo es irrelevante). El teorema es válido en ZF, no se usa elección en ninguna parte. Tambien hay un teorema de definición recursiva para ordinales en general, y para cosas más generales, pero aquí me refería al que has puesto tú.

Es que por un momento creí (al mencionar axiomas de Peano) que hablabas de la aritmética de Peano como sistema formal, sin teoría de conjuntos, y por eso me chocaba tal teorema.

Por cierto, fíjate que lo que has demostrado realmente es que ZF- + "existe un X Dedekind-infinito" es equivalente a ZF, ya que una vez tienes tu sistema de naturales, puedes demostrar un teorema de definición recursiva para ellos, y usarlo para demostrar la existencia del N típico (y por tanto la existencia de un conjunto inductivo, que es lo que afirma el axioma de infinitud): la imagen de f definida por recursión como \( f(0)= \emptyset \), \( f(s(n)) = n \cup \{ n \} \). Por otro lado, en ZF existe un Dedekind-infinito, el mismo N.

Saludos

Saludos
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 08:15 pm

Por cierto, fíjate que lo que has demostrado realmente es que ZF- + "existe un X Dedekind-infinito" es equivalente a ZF,

Es cierto.

Yo insistí en que "suponer algún Dedekind-infinito" era algo más "general" que suponer la existencia de un sistema de números naturales.

No obstante, es una "mentira piadosa", porque resultan teorías equivalentes.

Hay sólo una "apariencia" de mayor generalidad, debido a que "el" sistema de números naturales asumido en ZF es algo concreto, con propiedades bien estipuladas, y en cambio el "X" infinito de ZF- es bastante arbitrario. Es "alguno" cualquiera de los muchos conjuntos infinitos que existen (luego de asumir que existe al menos uno, claro).

Gracias Oscar por estar pendiente de estos detalles.
Me ayuda a estar más seguro de que estoy escribiendo bien las cosas.

Aunque estos terrenos me dan inseguridad, mientras "todavía" ande caminando en el país de Zermelo-Fraenkel voy a sentir confiado de las cuentas que hago.
Después veremos qué pasa en "otros países".
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 14 Agosto, 2011, 08:47 pm
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Futuras perspectivas del Logicismo

Retornamos ahora al texto de nuestro libro de referencia, y proseguimos con unos párrafos dedicados a pensar "cómo debiera ser un programa logicista en estos tiempos" si quisiera tener éxito.

Los comentarios que hacen los autores no son demasiado "discutibles", porque adelantan información sobre experiencia en el tema que ellos tienen, y que el lector no necesariamente tiene. Uno puede imaginar que tiene sentido lo que dicen, y según el caso, algunos de nosotros hasta seguramente pensamos lo mismo desde antes.
Pero las conclusiones globales requieren una mayor experiencia, la cual estamos "construyendo" justamente al seguir la lectura de este libro.
(Si ya tuviéramos dicha experiencia no necesitaríamos leer el libro.  ::)  :banghead: )

Pero bueno, por algo es un capítulo introductorio, y hay que aceptar que algunas cosas se nombren para ser desarrolladas más adelante.

Discurren brevemente sobre cómo debiera ser un programa logicista a la luz de los conocimientos actuales (los que tendremos que hacer de cuenta que "más o menos" tenemos, pero recordemos que más adelante tendremos que profundizar más para quitarnos las dudas).
En tal sentido, creen ellos que deben considerarse tres preguntas importantes:


En realidad las tres preguntas me parecen muy parecidas.
Como sea, son preguntas bastante "lógicas".  :D
Yo mismo me hago estas preguntas todo el tiempo, y es que para hablar de algo lógicamente válido, necesito una buena razón para aceptar que lo es.

Muchas veces se oye a gente discutir sobre los Axiomas de la Teoría de Conjuntos,
diciendo cosas como "yo creo en el Axioma de Elección porque...".

Eso es un error de actitud.

Los Axiomas no son algo en lo que uno pueda "creer". La matemática no es un sistema de creencias más o menos razonables...
Eso podría haber pasado con los axiomas de la geometría en la época de Euclides, que intentaba indicar las propiedades elementales del espacio.

Pero hoy en día sabemos que la matemática es una construcción humana.
Sabemos también que una lista de Axiomas se da en forma deliberada.
Si un axioma se cambia por su negación, simplemente se obtiene otra lista de Axiomas.

Dada una lista de Axiomas, lo que uno debe exigir no es "si es creíble o no", sino "si ellos no se contradicen entre sí".

Bien, pero este principio de no-contradicción es un Axioma lógico.
Los Axiomas lógicos, una vez que uno los establece, también puede cuestionarse, y dar otros.
Así, pueden surgir nuevas formas de razonar, con sus propias reglas...

Este punto es delicado, porque involucra un cuestionamiento de las leyes del razonamiento que nos deja desamparados.
No podemos usar reglas de ningún tipo, entonces ¿cómo concluimos algo válido?

La respuesta no está, me parece, en negar la lógica, ni tampoco aceptarla sin más.
Más bien hay que pensar las cosas con más profundidad.
En este punto no quiero hacer esto, porque no quiero que se produzca un exceso de entusiasmo antes de tener suficientes conocimientos para debatir.

Así que voy dejando esas ideas en suspenso hasta más adelante.


Podemos resumir las preguntas anteriores en una sola:


Según afirman los autores, el problema de dar caracterizar conceptos lógicos y principios lógicos permanece abierto aún en la actualidad.

Aún no hemos visto en detalle el sistema de Frege, pero se afirma de él que aparece como un marco en el que la lógica aparece con toda su generalidad. Sin embargo esto es sólo "aparente", ya que es una sensación vaga. ¿Qué tan general es, en qué sentido?



¿Qué quiso hacer Frege?

Recordemos que Frege está relacionado a una lógica de 2do orden, y que esto quiere decir más o menos, que se puede cuantificar sobre "propiedades", o sea, sobre "funciones proposicionales". Esto no importa mucho, salvo para la conclusión que sigue:

Se sabe que en aritmética de 2do orden una afirmación es verdadera si y sólo si se satisface en el modelo pre-entendido (la palabra en inglés es "intended", y se refiere a una estructura que el matemático imagina más o menos en su mente, aunque no de modo formal).
Aquí queda de manifiesto la subyacente intención de un cierto matemático, y pareciera ser que su estructura imaginada se toma como "modelo" que cumple ciertos axiomas.

En el texto no queda esto muy claro. Habla de una estructura \( (N,0,S) \) donde uno se refiere a \( N \) como los números naturales, \( 0 \) como el "cero" y \( S \) como la operación de ir tomando el "sucesor".
No me queda claro qué tan formal o informal es este "modelo" del que está hablando.

No obstante, puede que no tenga relevancia en este punto de la discusión.
Aunque a veces puede entenderse el término "intended" como "estándar", diría que no necesariamente es el caso.
Y de todos modos, ¿cuál sería el modelo "estándar" de los naturales?


Pero si una afirmación es cierta en la aritmética de 2do orden (o sea, aritmética de los números naturales en una lógica que permite cuantificar sobre proposiciones), entonces es cierta en todos los modelos estándar de la aritmética de 2do orden.

No voy a probar esto acá, porque nos faltan muchas bases teóricas.
Sin embargo, para sentir mejor el aroma del contexto, recordemos algunas cosas que ocurren en la aritmética de 2do orden.
Por ejemplo, el principio de inducción, que puede enunciarse en forma proposicional, así:

\( \forall{P}:[P(0)\wedge(\forall{n\in\mathbb{N}}:P(n)\Rightarrow{P(n+1)})]\Rightarrow{[\forall{n\in\mathbb{N}}:P(n)]} \)

Aquí, \( P(\cdot ) \) es una función proposicional.
Nos dice que, para toda función proposicional \( P(n) \) que depende de los números naturales \( n \), si \( P(0) \) es cierta, y si \( P(n) \) implica siempre la validez de \( P(n+1) \), entonces \( P(n) \) es cierta para todo \( n\in\mathbb{N} \).

Esta forma "proposicional" del Principio de Inducción es la que suele enseñarse.
Pero al hacerlo así le "enchufan" a uno una lógica de 2do orden, pero sin embargo después resulta que no tenemos tanta libertad, sino que lo formalmente aceptado es una aritmética construida en una teoría de conjuntos ZFC escrita en lenguaje de 1er orden, lo cual es más restringido, porque, sencillamente, no podemos cuantificar sobre "funciones proposicionales".

En una teoría de conjuntos con "clases propias" como MK ó NGB, toda función proposicional está asociada a una clase (propia o no), y si bien no está permitido cuantificar sobre "funciones proposicionales", es posible hacerlo indirectamente pasando por las "clases" que ellas definen.

Desconozco por ahora el alcance de este método de trabajo, pero tengo la sospecha de que aún así no se llega a tener todo el poder expresivo de una teoría de 2do orden.


Estas fuertes propiedades de equivalencia teórica entre cualesquiera sistemas de números naturales dan la idea de que, si uno fuera capaz de brindar dentro de la lógica misma "algo" con las propiedades de los números naturales, esto satisfaría las propiedades de Dedekind-Peano, y podríamos usar con confianza los números naturales desde el principio, en cualquier contexto matemático.
En particular el muy importante Principio de Inducción.

Frege intentó algo así. Su invento fue un sistema lógica de alto orden (yo diría que en realidad fue de un orden mayor que 2, pero es posible ver en teoría de lenguajes formales que equivale más o menos a tener un lenguaje de 2do orden, o sea que...), que además tenía una teoría de extensión de conceptos. Esto último me lo imagino, pero aún no sé qué es. Lo veremos al introducirnos en el sistema de Frege

Su sistema pretendía incluir a los números naturales con sus poderosas propiedades antes descriptas.

Es muy conocido que este sistema así hecho, al agregarle la parte aritmética, quedó inconsistente.
O sea que fue un error.
Pero aún si este error se subsanara, el resultado obtenido sería una teoría que abarca en su seno una aritmética de 2do orden, lo cual se sabe que acarrea los problemas del Primer Teorema de incompletitud de Godel, el cual implica que ningún sistema formal será capaz de brindar la demostración de toda sentencia de la aritmética de 2do orden que sea verdadera.

Como no toda sentencia aritmética es susceptible de demostración en un sistema formal prefijado, habría que conformarse con algo más débil.



En resumen, la característica principal del Logicismo es esto de intentar subordinar la teoría de los números naturales a un subsistema o subproducto de la lógica, entendiendo por lógica algún sistema formal bastante amplio (permiento múltiples grados de abstracción) de reglas de inferencia.

Si bien este intento fracasó, hay partes de la teoría de Frege que son salvables, y por eso lo estudiaremos.
Es el primer paso obligado en la comprensión del Logicismo.


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Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 16 Agosto, 2011, 03:42 am

Lógica de Frege y Paradoja de Russell
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 05 Noviembre, 2011, 07:45 am
Me parece interesante la idea que comentes un libro sobre fundamentos de Matemáticas. De todas formas, con respecto al Platonismo, creo que te has hecho una idea equivocada. Platón creía que las ideas matemáticas (el círculo, el tríángulo, un espacio de Hilbert, ptertenecían a lo que el llamaba "el mundo de las Ideas" (bueno, el espacio de Hilbert formaría parte de su mundo de las ideas, aunque el obviamente en la época no  lo conocía, pero según su criterio, debería pertenecer a dicho mundo), al cual se accedía a través de la intuición. No debe ser una idea tan descabellada, aunque no la comparto (Gödel era platonista, y no creo que nadie se atreva a cuestionar sus logros en la Matemática).Pero ni Gödel ni Platón relacionaban ese mundo de las ideas con el mundo físico real. Yo soy formalista a nivel matemático, en Física dudo que se pueda plantear el ser formalista, sería negar la existencia del mundo real, eso no tiene ningún sentido, desde luego no para un físico. La principal crítica que se le hace al Platonismo, es si el mundo de las ideas esta fuera de nuestro espacio y tiempo, cómo se puede acceder a él. Pero bueno, aclarado esto , te sigo preguntando lo mismo con respecto a la teoría de la relatividad , ¿qué alternativa propones (sin puntos)?
Título: Re: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)
Publicado por: argentinator en 13 Noviembre, 2011, 10:26 pm
Sailor: He repetido tu mensaje en dos partes, debido a que era parte de dos discusiones distintas, una sobre el platonismo, que iría en este thread, y la otra en que hablábamos sobre relatividad.

En lo posible sería deseable seguir en este thread sólo con el tema del platonismo, y no con el tema de relatividad que venía del otro thread.