Autor Tema: Tarski y la verdad (empanada mental importante)

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24 Octubre, 2011, 03:02 am
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Sailor again

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Holas

Tengo una empanada mental con Tarski y adyacentes, y la definición de verdad. Realmente ¿es necesaria una empanada mental para definir la verdad? ¿No es la verdad un concepto primitivo? He llegado a abrir webs donde distinguían entre verdad y certeza. No voy a decir que no haya leido algun párrafo pero la he cerrado. La nieve es blanca, no sé, discutir sobre ciertas cosas llega al punto del absurdo. Verdad y certeza es sintácticamente lo mismo.Cerré la web y no la pienso abrir más. Aunque examinar el concepto de verdad si puede tener cierta lógica. Claro, que llegar a la conclusión de que el concepto de verdad no era factible en los lenguajes naturales,como Tarski,me resulta un tanto fuerte. ¿Hay alguna web donde se trate el tema (web  seria, que de los infinititesimales físicos ya he pasado , aunque me citen soberbio, que no , que no , que paso)?

24 Octubre, 2011, 11:59 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Holas

Tengo una empanada mental con Tarski y adyacentes, y la definición de verdad. Realmente ¿es necesaria una empanada mental para definir la verdad? ¿No es la verdad un concepto primitivo? He llegado a abrir webs donde distinguían entre verdad y certeza. No voy a decir que no haya leido algun párrafo pero la he cerrado. La nieve es blanca, no sé, discutir sobre ciertas cosas llega al punto del absurdo. Verdad y certeza es sintácticamente lo mismo.Cerré la web y no la pienso abrir más. Aunque examinar el concepto de verdad si puede tener cierta lógica. Claro, que llegar a la conclusión de que el concepto de verdad no era factible en los lenguajes naturales,como Tarski,me resulta un tanto fuerte. ¿Hay alguna web donde se trate el tema (web  seria, que de los infinititesimales físicos ya he pasado , aunque me citen soberbio, que no , que no , que paso)?

A ver: exotismos aparte, obviamente el concepto de "verdad" es básico, intuitivo e indefinible y no existe nada que pueda llamarse una "definición de verdad", en el sentido de que si alguien no sabe lo que significa "verdadero" y "falso" no entenderá nada, ni siquiera una definición de "verdad". Pero eso es cierto si hablamos de "verdad de una afirmación".

Otra cosa es que si defines un lenguaje formal y, a partir de él defines lo que es una sentencia de dicho lenguaje formal, en principio una fórmula no es más que una cadena de signos y, en sí misma, no significa nada. Pero entonces puedes atribuirle un significado a cada cadena de signos de tu lenguaje siempre que atribuyas un significado concreto a cada signo no lógico de tu lenguaje. Esto último es lo que se llama definir un modelo de tu lenguaje, y, fijado un modelo, sí tiene sentido definir qué significa que una sentencia de tu lenguaje sea verdadera o falsa en un modelo. Y en este sentido sí existe una "definición de verdad" totalmente rigurosa, como parte de las definiciones básicas de la teoría de modelos, igual que la definición de derivada es parte de las definiciones básicas del análisis matemático.

Y ahí no hay ninguna empanada mental que valga: dado un modelo de un lenguaje formal, existe una definición de "verdad" de una sentencia (una definición que atribuye un valor de verdadero o falso a un objeto que en principio no era más que una sucesión de signos) que satisface todas las condiciones de rigor que puedas pedir, las de ZFC si consideras la definición formalizada en ZFC o las que es razonable exigir para justificar un tratamiento metamatemático del concepto si es que quieres, o necesitas para tus fines, considerar la definición como metamatemática.

Lo fundamental es que sería ingenuo pretender que alguien no supiera lo que significa "ser verdadero" antes de conocer la definición de "verdad de una sentencia en un modelo". Por ejemplo, es verdadero que una sentencia de tipo \( \phi\land \psi \), donde \( \phi \) y \( \psi \) son otras sentencias, es verdadera en un modelo M si y sólo si las dos sentencias \( \phi \) y \( \psi \) son verdaderas en M, y en esta afirmación, el verdadero en negrita tiene un significado distinto del verdadero en itálica. El primero es el que tienes que tener claro a priori si quieres entender algo, y el segundo es el concepto de verdad definible en teoría de modelos.

02 Noviembre, 2011, 01:27 pm
Respuesta #2

Elius

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A ver: exotismos aparte, obviamente el concepto de "verdad" es básico, intuitivo e indefinible y no existe nada que pueda llamarse una "definición de verdad", en el sentido de que si alguien no sabe lo que significa "verdadero" y "falso" no entenderá nada, ni siquiera una definición de "verdad". Pero eso es cierto si hablamos de "verdad de una afirmación".

Otra cosa es que si defines un lenguaje formal y, a partir de él defines lo que es una sentencia de dicho lenguaje formal, en principio una fórmula no es más que una cadena de signos y, en sí misma, no significa nada. Pero entonces puedes atribuirle un significado a cada cadena de signos de tu lenguaje siempre que atribuyas un significado concreto a cada signo no lógico de tu lenguaje. Esto último es lo que se llama definir un modelo de tu lenguaje, y, fijado un modelo, sí tiene sentido definir qué significa que una sentencia de tu lenguaje sea verdadera o falsa en un modelo. Y en este sentido sí existe una "definición de verdad" totalmente rigurosa, como parte de las definiciones básicas de la teoría de modelos, igual que la definición de derivada es parte de las definiciones básicas del análisis matemático.
Carlos, comparto el enfoque que expone. Pero, y aquí le llevo a un terreno que tal vez no le es grato, Tarski, en su "Teoría semántica de la verdad", parece intentar definir la noción elemental de verdad, con su famosa "oración T":

La oración "la nieve es blanca" es verdadera si y sólo si la nieve es blanca.

Y este esquema se reproduce en Teoría de Modelos si el lenguaje modelizado es el de una Teoría de Conjuntos:

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \varphi \)

pues el lenguaje y el metalenguaje usados son el mismo: el de la TC.

Apreciaría conocer su opinión.

Saludos


02 Noviembre, 2011, 02:25 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Carlos, comparto el enfoque que expone. Pero, y aquí le llevo a un terreno que tal vez no le es grato, Tarski, en su "Teoría semántica de la verdad", parece intentar definir la noción elemental de verdad, con su famosa "oración T":

La oración "la nieve es blanca" es verdadera si y sólo si la nieve es blanca.

Hombre, no creo que haya mucha diferencia entre decir que no es posible definir el concepto de "verdad" en general y decir que se define como dice Tarski. Estoy de acuerdo con Tarski, puestos a dar una definición de "verdad" en este contexto, lo único que se puede hacer es eso. Otra cosa es la noción de verdad de una fórmula en un modelo.

Y este esquema se reproduce en Teoría de Modelos si el lenguaje modelizado es el de una Teoría de Conjuntos:

\( M \vDash \varphi  \)  si es el caso que  \( \varphi \)

pues el lenguaje y el metalenguaje usados son el mismo: el de la TC.

Esto ya es más delicado. Aquí hay, por una parte, problemas técnicos, pero, más allá de ellos, la idea en sí misma que pretendes expresar es falsa. Toma por ejemplo la fórmula \( \phi\equiv \exists x\forall y\ y\notin x \).

En principio, un modelo del lenguaje de la teoría de conjuntos es un par \( (M,E) \), donde \( E\subset M\times M \) es la relación que interpreta al relator de pertenencia. Entonces,

\( (M,E)\vDash \phi\leftrightarrow \exists x\in M\forall y\in M\ \lnot y\,E\,x \).

Como puedes ver, el miembro de la derecha es bastante distinto a \( \phi \). Aunque consideraras un modelo natural, en el que \( E \) es la misma relación de pertenencia, la equivalencia se reduciría a

\( M\vDash \phi\leftrightarrow \exists x\in M\forall y\in M\ y\notin x \),

que sigue sin ser lo mismo que \( \phi \).

Aparte de esto hay más problemas derivados de que hay que distinguir entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas como conjuntos, pero no sé si después de lo dicho es necesario entrar en ello. Si crees que puedes reformular tu planteamiento, o consideras que lo que te he respondido no quita sentido a lo que querías plantear, seguimos.


02 Noviembre, 2011, 05:01 pm
Respuesta #4

Elius

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Como puedes ver, el miembro de la derecha es bastante distinto a \( \phi \). Aunque consideraras un modelo natural, en el que \( E \) es la misma relación de pertenencia, la equivalencia se reduciría a

\( M\vDash \phi\leftrightarrow \exists x\in M\forall y\in M\ y\notin x \),

que sigue sin ser lo mismo que \( \phi \).

Bueno,

\( M \vDash \varphi  \)  si y sólo si es el caso que  \( \psi(\varphi) \)

siendo \( \psi \) una fórmula fija, que agregue \( \in M \) luego de cada variable, tomaría en cuenta las transliteraciones y variaciones lexicográficas.

Citar
Aparte de esto hay más problemas derivados de que hay que distinguir entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas como conjuntos, pero no sé si después de lo dicho es necesario entrar en ello. Si crees que puedes reformular tu planteamiento, o consideras que lo que te he respondido no quita sentido a lo que querías plantear, seguimos.

Cierto, pero es justamente el papel que cumplen las palabras "la oración" y "es verdadera", junto a las comillas aplicadas a "la nieve es blanca": distinción entre lenguaje y meta-lenguaje, pero no veo mucho más.

Saludos!
 

02 Noviembre, 2011, 11:53 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Bueno,

\( M \vDash \varphi  \)  si y sólo si es el caso que  \( \psi(\varphi) \)

siendo \( \psi \) una fórmula fija, que agregue \( \in M \) luego de cada variable, tomaría en cuenta las transliteraciones y variaciones lexicográficas.

Aquí es donde entran en juego los problemas técnicos. Hay que distinguir entre fórmulas metamatemáticas y fórmulas definidas en ZFC como sucesiones de signos. Una cosa es el lenguaje \( \mathcal L \) de la teoría de conjuntos con el que escribes los axiomas y los teoremas, que está formado por signos, como \( \in, =, \lnot \), etc., y otra cosa es que, al igual que puedes definir en ZFC los conceptos de "número natural", "grupo", "anillo", etc., también puedes definir "el lenguaje \( L \) de la teoría de conjuntos" como un cierto conjunto de conjuntos (a los que llamamos signos, igual que llamas puntos a los elementos de un espacio topológico) con los que formar sucesiones. Por ejemplo, puedes establecer que el signo \( \in \) sea el número natural \( 1 \), el signo \( \lnot \) sea el \( 2 \), y así establecer todos los convenios necesarios.

Entonces, tienes que distinguir entre la cadena de signos metamatemática \( \phi\equiv \exists x\forall y \lnot y\in x \), que no es más que lo que parece, una cadena de signos, y la sucesión de números naturales \( [\phi]=(0,7,3,8,2,8,1,7)\in L \), que normalmente escribirás también como \( \exists x\forall y \lnot y\in x \) (con el convenio de que \( \exists \) es, por definición, el número \( 0 \), etc.

Así, una cosa es la fórmula (de verdad) \( \phi \) y otra cosa el conjunto \( [\phi] \) que es la formalización en ZFC de la fórmula metamatemática \( \phi \).

Igualmente, no puedes confundir la colección metamatemática de todas las fórmulas del lenguaje de ZFC, que podemos llamar \( F \), y el conjunto \( [F] \) que puedes definir en ZFC, igual que defines \( \mathbb{N} \) o \( \mathbb{R} \) que contiene a todas las sucesiones de números naturales que cumplen la definición de fórmula de \( L \).

Así, metamatemáticamente, \( \phi \) es una fórmula de la colección \( F \), mientras que en ZFC puedes demostrar que \( [\phi]\in [\F] \).

Entiendo por tus planteamientos que tú pretendes hablar de la definición formal (no metamatemática) de la "verdad" de una fórmula (un elemento de \( [F] \)) en un modelo dado \( M \). Si es así, lo primero que tienes que advertir es que \( \phi \) es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos, pero \( [\phi] \) no es una fórmula, sino un término sin variables libres (aunque \( \phi \) pueda tenerlas). Tienes escrito \( [\phi] \) un poco más arriba, es una sucesión de 9 números naturales, es un conjunto concreto, no una afirmación sobre nada.

Tu fórmula original

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \varphi \)

no tiene sentido, porque, fíjate en que se queda en el caso concreto del ejemplo que te he puesto:

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( (0,7,3,8,2,8,1,7) \)

Lo que está a la derecha, no es una afirmación. Definir el término de la izquierda no es coger el de la derecha y añadirle unas cuantas emes, como propones en tu último post, porque aunque cambies \( (0,7,3,8,2,8,1,7) \) por \( (0,7,3,11,8,2,8,11,1,7,13) \) (no le busques sentido, he añadido unos cuantos números al azar), aunque añadas unos cuantos números por aquí y por allá, sigues teniendo una cadena de números naturales que sigue sin significar nada.

Definir la verdad en el modelo \( M \) es definir una fórmula metamatemática \( M\vDash \phi \) con dos variables libres, \( M \) y \( \phi \), de modo que cuando \( M \) es un modelo y \( \phi \) es una sucesión de números naturales, la fórmula metamatemática \( M\vDash \phi \) significa que \( M \) cumple lo que \( \phi \) pretende significar que cumpla. Ahora viene bien tu frase:

Cierto, pero es justamente el papel que cumplen las palabras "la oración" y "es verdadera", junto a las comillas aplicadas a "la nieve es blanca": distinción entre lenguaje y meta-lenguaje, pero no veo mucho más.

Tienes razón, lo que estamos haciendo es quitar las comillas (o los corchetes) a \( [\phi] \), pero sucede que quitar esos corchetes no es trivial, pues supone transformar un conjunto (una sucesión de números naturales) en una afirmación metamatemática.

En todo lo que he dicho he pasado por alto el problema técnico de que, para fórmulas con variables libres, es necesario considerar valoraciones que les asignen un significado, pero creo que entrar en esos tecnicismos simplemente habría desviado la atención de lo esencial.

03 Noviembre, 2011, 11:03 am
Respuesta #6

Raúl Aparicio Bustillo

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Hola

Bueno, el por qué de mi pregunta, es, (pongamonos en un lenguaje primero orden pero sólo por simplificar) La logica de primer orden nos da una serie de axiomas que a la hora de aplicar las reglas de inferencia podemos usarlos indistitamente junto con los axiomas propios de la teoría).Ahora bien, no es complicado deducir que esos axiomas son verdaderos, basandonos en la semántica de los mismos), por ejemplo ^ signifa y, y eso es así aunque nos cambiemos de modelo ,--> singnifica "implica" sí, etc...es decir, al contrario de otros singos de las fórmulas, estos singifican lo mismo en todos los modelos


De ahí se me vienen 2 cuestiones:


Realmente los axiomas lógicos, ¿restringen el significado de los símbolos hasta que sólo puedan tener ese significado?

Esos axiomas lógicos, ¿se pueden deducir
sintácticamente a partir  del concepto de verdad?

03 Noviembre, 2011, 02:17 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Esos axiomas lógicos, ¿se pueden deducir sintácticamente a partir  del concepto de verdad?

Se pueden "comprobar", es decir, puedes comprobar que son verdaderos en cualquier modelo. No sé si te refieres a eso.

Realmente los axiomas lógicos, ¿restringen el significado de los símbolos hasta que sólo puedan tener ese significado?

Es una pregunta muy compleja. En realidad lo complicado es formularla de forma precisa. Viene a ser algo así como si sería posible "leer" los signos lógicos de otro modo de forma que los teoremas lógicos siguieran siendo verdaderos en todo modelo y las fórmulas que no sean teoremas lógicos sean falsas en algún modelo.

Ante todo, no es posible forzar a que el signo = se interprete como "igual", pues cualquier interpretación que sea una relación de equivalencia (consistente con la interpretación de cualquier signo específico (no lógico) del lenguaje) haría verdaderos a los teoremas lógicos en cualquier modelo. Por lo demás, supongo que a partir de los teoremas lógicos podrías deducir las tablas de verdad de los signos lógicos. Tendría que pensarlo, pero parece algo farragoso.

04 Noviembre, 2011, 05:08 pm
Respuesta #8

Elius

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Tu fórmula original

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \varphi \)

no tiene sentido, porque, fíjate en que se queda en el caso concreto del ejemplo que te he puesto:

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( (0,7,3,8,2,8,1,7) \)

Lo que está a la derecha, no es una afirmación. Definir el término de la izquierda no es coger el de la derecha y añadirle unas cuantas emes, como propones en tu último post, porque aunque cambies \( (0,7,3,8,2,8,1,7) \) por \( (0,7,3,11,8,2,8,11,1,7,13) \) (no le busques sentido, he añadido unos cuantos números al azar), aunque añadas unos cuantos números por aquí y por allá, sigues teniendo una cadena de números naturales que sigue sin significar nada.

No entiendo. ¿Se refiere a alguna forma de gödelización?

¿No es la forma general de una proposición de teoría de modelos

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \psi \)?

donde \(  \varphi  \) está en el lenguaje objeto, y  \( \psi \) en el metalenguaje?

Saludos!



04 Noviembre, 2011, 07:48 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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¿No es la forma general de una proposición de teoría de modelos

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \psi \)?

donde \(  \varphi  \) está en el lenguaje objeto, y  \( \psi \) en el metalenguaje?

Exacto. Eso es lo que trataba de hacerte ver (aunque parece que lo tienes claro). Por eso te decía que tu formulación original

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \varphi \)

no tenía sentido, porque identificabas una fórmula del lenguaje objeto con una fórmula del metalenguaje, que son cosas muy distintas. Precisamente por eso no puede decirse que sea "trivial" la definición de verdad en un modelo. La interpretación informal será todo lo trivial que quieras, pero \( M\vDash \phi \) es una fórmula del metalenguaje que ha de ser definida, y la definición, sin ser complicada, requiere una recursión sobre la longitud de \( \phi \).

Decir que "el lenguaje y el metalenguaje son el mismo" puede ser confuso, porque una fórmula del lenguaje es un conjunto, y una fórmula del metalenguaje no es un conjunto, no es el nombre de un objeto, es una afirmación. No sé si queda claro. De hecho, no sé si hay algo en lo que no estemos de acuerdo.


06 Noviembre, 2011, 04:48 pm
Respuesta #10

Raúl Aparicio Bustillo

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Hola

2 cuestiones: el concepto de verdad de Tarski, ¿premite deducir los axiomas lógicos y reglas de inferencia, o esto es demasiado pretencioso?

http://e-spacio.uned.es:8080/fedora/get/tesisuned:Filosofia-LogHisFilCiencia-Bsantos/PDF

Como he visto que hablabais acerca de Tarski y el uso de 2 lenguajes diferentes, aunque es una tesis sobre la paradoja del mentiroso,  hace una crítica en las páginas 15-16 donde habla sobre los problemas del uso de un metalenguaje y un lenguaje objeto, en particula, afirma que la paradoja vuelve a aparecer en el metalenguaje

06 Noviembre, 2011, 10:21 pm
Respuesta #11

Elius

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¿No es la forma general de una proposición de teoría de modelos

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \psi \)?

donde \(  \varphi  \) está en el lenguaje objeto, y  \( \psi \) en el metalenguaje?

Exacto. Eso es lo que trataba de hacerte ver (aunque parece que lo tienes claro). Por eso te decía que tu formulación original

\( M \vDash \varphi  \)  ssi es el caso que  \( \varphi \)

no tenía sentido, porque identificabas una fórmula del lenguaje objeto con una fórmula del metalenguaje, que son cosas muy distintas. Precisamente por eso no puede decirse que sea "trivial" la definición de verdad en un modelo. La interpretación informal será todo lo trivial que quieras, pero \( M\vDash \phi \) es una fórmula del metalenguaje que ha de ser definida, y la definición, sin ser complicada, requiere una recursión sobre la longitud de \( \phi \).

Decir que "el lenguaje y el metalenguaje son el mismo" puede ser confuso, porque una fórmula del lenguaje es un conjunto, y una fórmula del metalenguaje no es un conjunto, no es el nombre de un objeto, es una afirmación. No sé si queda claro. De hecho, no sé si hay algo en lo que no estemos de acuerdo.



Claro, pero puede suceder que

\( codg(\psi) = \varphi \)

e incluso

\( "\psi" = \varphi \)

con lo que resultaría que

\( M\vDash codg(\varphi) \Longleftrightarrow{} \varphi  \)

o también

\( M\vDash "\varphi" \Longleftrightarrow{} \varphi  \)

Es como que

\( M\vDash "\varphi" \)

vendría a representar el papel de

La oración \(  "\varphi"   \) es verdadera

en la cláusula T de Taski.

No es que haya un desacuerdo entre nosotros, es más bien que Tarski quiso dejar un mensaje con su frase sobre la nieve, algo así como que el paso del lenguaje objeto al metalenguaje es inefable, como diría Wittgenstein.

En otro orden, ¿ha tenido noticias sobre la paradoja de Orayen? En tal caso, ¿qué piensa de ella?

Saludos!




07 Noviembre, 2011, 12:24 am
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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el concepto de verdad de Tarski, ¿premite deducir los axiomas lógicos y reglas de inferencia, o esto es demasiado pretencioso?

El concepto de verdad permite justificar los axiomas lógicos y las reglas de inferencia, en el sentido de que permite demostrar que los axiomas son verdaderos en cualquier modelo y que las reglas de inferencia, cuando se aplican a afirmaciones verdaderas en un modelo, dan lugar a afirmaciones verdaderas en ese mismo modelo.

http://e-spacio.uned.es:8080/fedora/get/tesisuned:Filosofia-LogHisFilCiencia-Bsantos/PDF

Como he visto que hablabais acerca de Tarski y el uso de 2 lenguajes diferentes, aunque es una tesis sobre la paradoja del mentiroso,  hace una crítica en las páginas 15-16 donde habla sobre los problemas del uso de un metalenguaje y un lenguaje objeto, en particula, afirma que la paradoja vuelve a aparecer en el metalenguaje

¡Uf! Un poco larga la tesis, como para ponerme a leerla. Me temo que no tengo tiempo. Lo que dice en las páginas que citas es muy vago. Tendría que leer más.

07 Noviembre, 2011, 12:28 am
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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Claro, pero puede suceder que

\( codg(\psi) = \varphi \)

e incluso

\( "\psi" = \varphi \)

con lo que resultaría que

\( M\vDash codg(\varphi) \Longleftrightarrow{} \varphi  \)

o también

\( M\vDash "\varphi" \Longleftrightarrow{} \varphi  \)

Si, eso es cierto, a cada fórmula del metalenguaje \( \phi \) se le puede asociar una codificación \( ``\phi" \), de modo que se cumple

\( M\vDash "\varphi" \Longleftrightarrow{} \varphi  \)

Perdón: me he colado. Lo que se cumple es que

\( M\vDash "\varphi" \Longleftrightarrow{} \varphi^M  \),

donde \( \varphi^M \) es la fórmula del metalenguaje que resulta de cambiar todo \( \forall x \) por \( \forall x\in M \), e igualmente con los cuantificadores existenciales. Para prescindir de esta relativización haría falta poder definir una fórmula \( \vDash \varphi \), y demostrar que

\( \vDash "\varphi" \Longleftrightarrow{} \varphi \),

pero esto es justo lo que el teorema de Tarski afirma que no se puede hacer.


Es como que

\( M\vDash "\varphi" \)

vendría a representar el papel de

La oración \(  "\varphi"   \) es verdadera

en la cláusula T de Taski.

Pues sí, se puede ver así. Ojo, "es verdadera en M"

No es que haya un desacuerdo entre nosotros, es más bien que Tarski quiso dejar un mensaje con su frase sobre la nieve, algo así como que el paso del lenguaje objeto al metalenguaje es inefable, como diría Wittgenstein.

Esto es demasiado filosófico para mí. No sabría qué decirte.

En otro orden, ¿ha tenido noticias sobre la paradoja de Orayen? En tal caso, ¿qué piensa de ella?

Pues alguna vez leí algo sobre ella, pero no llegué a entender en qué consistía exactamente. Parecía que para ello no había más remedio que leerse el trabajo de Orayen, y siempre tengo muchas cosas pendientes. No me resultó especialmente prioritario ocuparme de eso. No sabría decirte mucho, pero la impresión que me dio (con la precaución de que estoy hablando sin saber exactamente de qué) es que Orayen hace un planteamiento radicalmente realista de la teoría de conjuntos y pretende hablar de "todos los conjuntos de los que habla la teoría de conjuntos", algo que dudo que tenga sentido alguno, pero, ya digo, es muy posible que no haya entendido el asunto.