[feriva]

Se practica una oquedad esférica dentro de una esfera de  plomo de radio \( \textsf{R} \), de modo que su superficie exterior de la esfera de plomo y pase por su centro.La masa de la esfera antes de practicar la oquedad era \( \textsf{M} \). ¿con que fuerza, de acuerdo con la ley de la gravitación universal, atraerá la esfera de plomo ahuecada a una esfera pequeña de masa \( \textsf{m} \), que este situada a una distancia \( \textsf{d} \) del centro de la esfera de plomo en la linea recta de une los centros de las esferas y de la oquedad.?

ojala alguien lo pueda resolver..saludos
P.D: la oquedad pasa por el centro de la esfera de plomo, esa es la duda??

Hola, Gamby. Perdóname, acabo de descargar el Geogebra, no veía el dibujo.
 Bueno, ¿quizá es esto?

\( \frac{7mMG}{8d^{2}} \)


Un saludo.

[feriva]

Menos cháchara feriva y pon manos a la faena, a ver, ¿como se resuelve este problema usando los fluxiones de Newton? El problema está planteado en esta web y fué gamby quien lo planteó. Yo me limité a resolverlo de la forma más sencilla que conozco, que no es la única forma que conozco, conozco otras aunque son algo más complicadillas, pero ... ¿como lo harías tu? Usando fluxiones ó como mejor te parezca. Si has leido el "Method of fluxions" ó los "Philosophiae Naturalis Principiae Matemática" de Newton y los has entendido me gustaría ver esa solución.

Saludos, Jabato.

Hola, Jabato. Ya he visto el dibujo y lo he calculado mal al principio; porque el dibujo no es sólo lo que se ve, se arrastra con la cruz de la barra de herramientas: la masa m no está dentro, no es el punto C.
Ahora ya sí, es esto:

\( \frac{7mMG}{8d^{2}} \)

[gamby]

Hola, el resultado de mi guía es el siguiente :


\(
\frac{GMm}{{{d}^{2}}}\left[ 1-\frac{1}{8{{\left( 1-R/2d \right)}^{2}}} \right] \)

[Jabato]

Pues está claro que no coincidimos, faltaría ahora averiguar quien tiene el error. Mis cálculos están expuestos, no digo que no contengan algún error, pero ya los he revisado varias veces y para mí que son correctos. ¿Hablaste con tu profesor Gamby?

Saludos, Jabato.

[feriva]

Hola, el resultado de mi guía es el siguiente :


\(
\frac{GMm}{{{d}^{2}}}\left[ 1-\frac{1}{8{{\left( 1-R/2d \right)}^{2}}} \right] \)

Hola, Gamby. si eso fuera así, según mis cálculos, "d" sería la cuarta parte de R, y en el dibujo se ve mucho más larga la distancia que R.
 Un saludo.

[Jabato]

Pues ya he entendido donde está el problema. Resulta que yo había interpretado (incorrectamente claro) que la pequeña esfera de masa \( m \) estaba situada dentro del hueco, y es así como he resuelto el problema. Esta bien resuelto, pero no es eso lo que pedía el enunciado, y por eso me sale distinto.

Si ahora realizo el cálculo que pide el enunciado, el resultado para el campo gravitatorio en el exterior de una esfera de radio \( R \) y masa \( M \) en un punto situado a distancia \( d \) de su centro viene dado por la expresión clásica newtoniana:

\( \mathbf g=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\mathbf u_r \)

y por lo tanto al calcular el campo resultante como diferencia del generado por ambas esferas obtenemos:

\( \mathbf g(d)=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\mathbf u_r+\displaystyle\frac{GM}{8(d-r)^2}}\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-r/d)^2}\right)\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2d)^2}\right)\mathbf u_r \)

ya que la esfera hueca habría contenido, antes de ahuecarla, una masa 8 veces menor que la esfera maciza por tener la misma densidad y radio mitad.


La fuerza resultante será entonces:

\( \mathbf F=-\displaystyle\frac{GMm}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2d)^2}\right)\mathbf u_r \)

resultado que ahora sí coincide con el de la guía de gamby, aunque yo lo expuse en forma vectorial para hacer notar que la fuerza es atractiva.

Siento haber interpretado mal el enunciado y haberos llevado a posibles errores de concepto, aunque la solución que expuse inicialmente es correcta si aceptamos que la pequeña esfera está situada en la misma recta pero dentro del hueco, que es el problema que resolví yo incialmente. Creo que ahora lo arreglé ¿no?

Como confirmación de que el resultado es correcto podemos calcular el campo en la superficie de la esfera maciza haciendo \( d=R \) y ver que el resultado coincide con el que calculamos para el campo interior al hueco, campo que también vale para este punto de la superficie de la esfera maciza:

a).- El valor del campo que obtuvimos allí, con la expresión del campo interior al hueco era:

\( \mathbf H=-\displaystyle\frac{GM}{2R^2}\mathbf u_r \)

b).- Y el que obtenemos ahora al hacer \( d=R \) en la expresión del campo exterior a la esfera es:

\( \mathbf g(R)=-\displaystyle\frac{GM}{R^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2R)^2}\right)\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{2R^2}\mathbf u_r=\mathbf H \)

ambos idénticos, como era de esperar.

Saludos, Jabato.

[feriva]

Hola, el resultado de mi guía es el siguiente :


\(
\frac{GMm}{{{d}^{2}}}\left[ 1-\frac{1}{8{{\left( 1-R/2d \right)}^{2}}} \right] \)

Hola, Gamby. He puesto un problema de física aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,34989.msg138945/topicseen.html#msg138945

Si lo resolvieras te pido que no digas las operaciones enseguida, me gustaría que quedara como un misterio durante un tiempo para ver cuánta gente lo resuelve.
 (Y a ti, Jabato, te ruego lo mismo)
 Saludos.

[gamby]

Pues ya he entendido donde está el problema. Resulta que yo había interpretado (incorrectamente claro) que la pequeña esfera de masa \( m \) estaba situada dentro del hueco, y es así como he resuelto el problema. Esta bien resuelto, pero no es eso lo que pedía el enunciado, y por eso me sale distinto.

Si ahora realizo el cálculo que pide el enunciado, el resultado para el campo gravitatorio en el exterior de una esfera de radio \( R \) y masa \( M \) en un punto situado a distancia \( d \) de su centro viene dado por la expresión clásica newtoniana:

\( \mathbf g=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\mathbf u_r \)

y por lo tanto al calcular el campo resultante como diferencia del generado por ambas esferas obtenemos:

\( \mathbf g(d)=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\mathbf u_r+\displaystyle\frac{GM}{8(d-r)^2}}\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-r/d)^2}\right)\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2d)^2}\right)\mathbf u_r \)

ya que la esfera hueca habría contenido, antes de ahuecarla, una masa 8 veces menor que la esfera maciza por tener la misma densidad y radio mitad.


La fuerza resultante será entonces:

\( \mathbf F=-\displaystyle\frac{GMm}{d^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2d)^2}\right)\mathbf u_r \)

resultado que ahora sí coincide con el de la guía de gamby, aunque yo lo expuse en forma vectorial para hacer notar que la fuerza es atractiva.

Siento haber interpretado mal el enunciado y haberos llevado a posibles errores de concepto, aunque la solución que expuse inicialmente es correcta si aceptamos que la pequeña esfera está situada en la misma recta pero dentro del hueco, que es el problema que resolví yo incialmente. Creo que ahora lo arreglé ¿no?

Como confirmación de que el resultado es correcto podemos calcular el campo en la superficie de la esfera maciza haciendo \( d=R \) y ver que el resultado coincide con el que calculamos para el campo interior al hueco, campo que también vale para este punto de la superficie de la esfera maciza:

a).- El valor del campo que obtuvimos allí, con la expresión del campo interior al hueco era:

\( \mathbf H=-\displaystyle\frac{GM}{2R^2}\mathbf u_r \)

b).- Y el que obtenemos ahora al hacer \( d=R \) en la expresión del campo exterior a la esfera es:

\( \mathbf g(R)=-\displaystyle\frac{GM}{R^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{8(1-R/2R)^2}\right)\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{2R^2}\mathbf u_r=\mathbf H \)

ambos idénticos, como era de esperar.

Saludos, Jabato.

Hola, notablemente correcto el mismo procedimiento que use, la verdad es simple solo había que pensar que se restan los campos y ademas usar la misma densidad para la masa que se saca..saludos

[feriva]

Hola, el resultado de mi guía es el siguiente :


\(
\frac{GMm}{{{d}^{2}}}\left[ 1-\frac{1}{8{{\left( 1-R/2d \right)}^{2}}} \right] \)

Hola, Gamby. He puesto un problema de física aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,34989.msg138945/topicseen.html#msg138945

Mira, este problema se resuelve por una sencilla propiedad que tienen todos los cuerpos formados por la misma materia, la densidad. La densidad de la esfera interior -que se le quita a la grande- es la misma de la grande antes de que se la quiten. Esa esfera pequeña tiene de densidad...

\( \frac{3M_{2}}{4\pi d_{1}^{3}}

 \)

Y la masa grande...

\( \frac{3M_{1}}{4\pi R^{3}}

 \)

¿Estás de acuerdo en que las dos tienen la misma densidad? Sí, la densidad del plomo. Por tanto:

\( \frac{3M_{2}}{4\pi d_{1}^{3}}=\frac{3M_{1}}{4\pi R^{3}}\Longrightarrow

 \)

\( \frac{M_{2}}{d_{1}^{3}}=\frac{M_{1}}{R^{3}}\Longrightarrow

 \)

\( M_{2}=\frac{d_{1}^{3}M_{1}}{R^{3}}

 \)

Y ya tenemos \( M_{2}  \)en función de \(  M_{1} \)

Basta restar ahora las dos más...

\( M_{1}-\frac{M_{1}d^{3}}{R^{3}}=M_{1}(1-\frac{d_{1}^{3}}{R^{3}})

 \)

Ésa es la masa. Luego la fuerza vendrá dada por...

\( \frac{mGM}{d^{2}}=\frac{mGM_{1}(1-\frac{d_{1}^{3}}{R^{3}})}{d^{2}}=

 \)

Y como

\( d_{1}=R/4

 \)

\( \frac{mGM_{1}(1-\frac{1}{64})}{d^{2}}

 \)

\( \frac{63}{64}\frac{mGM_{1}}{d^{2}}

 \)

¿No te parece más elegante? Lo otro es sólo aplicar una fórmula y dar un resultado no concreto, sin pensar. Ahora, en cambio se puede presentar asi:

\( F_{2}=\frac{63}{64}F_{1}

 \)

Donde \( F_{1} \) es la fuerz sin agujero.

[/tex]

(el otro dia me equivoqué con el valor del radio de la esfera pequeña; las prisas por no hacerlo en el ordenador despacio, espero no haberme equivocado otra vez en las cuentas).

Si te preguntas por qué la integral de campo no funciona con la gravedad, busca en Wikipedia, por ejemplo; no es una fórmula demostrada empíricamente, y la teoría de la Relatividad de Einstein la contradice. La integral de campo de Gauss la hemos usado todos en electromagnetismo, pero ¿conoces algún físico profesional que la use? Muy pocos, y en la práctica, en tema de graveda que no sea la fisica teórica, ninguno, sólo sirve en casos muy concretos, con masas pequeñas. Piensa, además, que la distribución de la capa aquí no es homogénea; la masa está cargada hacia un lado y aquí la masa es decisiva, no es como en electromagnetismo donde las fuerzas que gobiernan las partículas son muy superiores.

Saludos

[Jabato]

El teorema de Gauss es un teorema matemático que tiene su demostracón exactamente igual que la tiene el teorema de Pitágoras, y por lo tanto su validez es general, en relatividad, en mecánica newtoniana, en electromagnetismo ó en cualquier otra teoría física que se te ocurra.

Saludos, Jabato.