Es gravedad normal y corriente, pero lo que ocure es que dentro del la esfera la ley no es la del inverso del cuadrado, sino que cambia, es que no es facil de explicar si no se tienen unos conocimientos de matemática un poco elevados, y creo que tu no los tienes, aunque lo expondré. El campo gravitatorio clásico satisface dos propiedades muy importantes, que a su vez nos van a servir para calcularlo en el caso que nos ocupa:
\( \mathbf g=\mathbf\nabla\phi \) \( \nabla^2\phi=-4\pi G\rho \)
ecuaciones en las que \( \phi \) representa el potencial gravitatorio, \( \mathbf g \) el campo gravitatorio y \( \rho \) la densidad de masa en el punto considerado.
Para calcular ahora el campo gravitatorio en un punto interior a una esfera de masa \( M \) y radio \( R \), situado a una distancia \( r \) de su centro, solo tenemos que aplicar el teorema de Gauss a la superficie esférica centrada con la primera esfera y que contiene al punto considerado, con lo que obtenemos:
\( \displaystyle\int_{\sigma}^{}\mathbf{\nabla\phi\cdot da}=\displaystyle\iiint_{\tau}^{}\nabla^2\phi d\tau \)
ecuación que traducida al roman palatino, dada la simetría esférica del campo y a la distribución uniforme de la masa en la esfera, se transforma, en este caso, en la siguiente ecuación:
\( 4\pi r^2g(r)=-4\pi\displaystyle\frac{3GM}{4\pi R^3}\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3=-4\pi GM\displaystyle\frac{r^3}{R^3} \)
de la que facilmente deducimos el valor del campo gravitatorio en el interior de la esfera:
\( \mathbf g(r)=-\displaystyle\frac{GM}{R^3}\mathbf r \)
siendo \( \rho \) la densidad de masa (uniforme) en el seno de la esfera. El campo está dirigido, por ser negativo, hacia el centro de la esfera, pero es tal que que su ley es muy distinta a la del inverso del cuadrado, ya que su módulo decrece con la distancia al centro de la esfera, anulándose en él.
Es ésta la fórmula que debemos emplear para resolver nuestro problema, ya que el campo que verá la pequeña esfera de masa m del enunciado inicial será la diferencia de los campos creados por la esfera de plomo mayor y la menor (la esfera ahuecada).
Llamando \( \mathbf E \) al campo generado, en la posición de la pequeña esfera, por la esfera de plomo maciza, \( \mathbf h \) al campo generado por la esfera menor de plomo hueca y \( \mathbf H \) al campo resultante por diferencia de los dos primeros resulta qué:
\( \mathbf{H=E-h} \)
y ahora solo hay que calcular los valores de \( \mathbf E \) y \( \mathbf h \) usando la expresión que deduje antes y \( \mathbf H \) como diferencia de los dos primeros:
\( \mathbf E=-\displaystyle\frac{GMd}{R^3}\mathbf u_r \) \( \mathbf h=\displaystyle\frac{GM(r-d)}{R^3}\mathbf u_r \) \( \mathbf H=-\displaystyle\frac{GMr}{R^3}\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GM}{2R^2}\mathbf u_r \)
para tener entonces que la fuerza total sobre la pequeña esfera de masa \( m \) vendrá dada por:
\( \mathbf F=m\mathbf H=-\displaystyle\frac{GMmr}{R^3}\mathbf u_r=-\displaystyle\frac{GMm}{2R^2}\mathbf u_r \)
dirigida hacia el centro de la esfera mayor.
Es verdaderamente curioso el resultado obtenido al ser el campo independiente del valor de \( d \). Vemos que mientras la pequeña esfera se mantenga en el hueco y en la linea que une los centros de ambas esferas el resultado es independiente del punto que consideremos, sin embargo a ambos lados de dicha zona el campo gravitatorio resulta ser variable al seguir alguno de los campos ó ambos la ley del inverso del cuadrado, por encontrarnos entonces fuara de la esfera menor, ó de ambas.
Saludos, Jabato.
