Hola el_manco, gracias por la correción, bueno sigo con otra duda, se trata sobre la Desigualdad de Jensen en varias variables complejas, dice así:
Sea \( f \) holomorfa en una vecindad de \( \overline{\triangle}(0,r)\subset\mathbb C^n \). Entonces
\( \log |f(0)|\leq \cfrac{1}{V_r}\displaystyle\int\limit_{\overline{\triangle}(0,r)}^{}\log |f|dV \)
En el sentido que si \( f(0)\neq 0 \), entonces \( \log |f| \) es integrable y se cumple la desigualdad, \( V_r \) es el volumen de \( \overline{\triangle}(0,r) \).
Demostración: Recordemos el caso en una variable compleja: si \( g \) es holomorfa en una vecindad de \( \overline{\triangle}(0,r)\subset\mathbb C \), entonces para \( \rho\leq r \),
\( \log |g(0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |g(\rho e^{i\theta})|d\theta. \)
Ahora, sea \( f \) como en la hipótesis del teorema, y supongamos que \( f(0)\neq \), como \( f \) es holomorfa, entonces es holomorfa en cada variable por separado, luego en particular en la primera, osea tomando a la función \( g(z_1)=f(z_1,a_2,...,a_n) \) y con \( \rho_1\leq r_1 \),
\( \log |f(0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,0,...,0)|d\theta_1. \)
La integral en el lado derecho necesariamente es convergente. Así, \( \log|f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,...,0)| \) es finita para casi todo \( \theta_1 \), y para tal \( \theta_1 \),
repitiendo lo anterior pero ahora para la segunda variable.
\( \log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},0,...,0)|\leq \cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\log |f(\rho_1 e^{i\theta_1},\rho_2 e^{i\theta_2},0,...,0)|d\theta_2. \)
para \( \rho_2\leq r_2 \)....
No comprendo lo que he puesto en CITAR. Muchas gracias.
