Bueno, como dije en el primer mensaje, voy a empezar a escribir sobre varias variables complejas. La estructura será la siguiente:
Voy a traducir como dice el libro, y después lo analizaré con detalle, si alguien más está interesado en acompañarme, bienvenido sea.
Sin más preámbulos comienzo.
Funciones Analíticas de Varias Variables Complejas Capítulo I
Funciones HolomorfasA. Las Propiedades Elementales de las Funciones HolomorfasEl campo de los número reales será denotado por \( \mathbb{R}^n \), y el campo de los números complejos por \( \mathbb{C} \); ambos son espacios topológicos con sus estructuras familiares. Al estudiar la teoría de funciones de varias variables complejas, estamos interesados particularmente en estudiar al espacio \( \mathbb{C}^n=\mathbb{C}\times{\ldots\mathbb{C}} \), el producto Cartesiano de \( n \) copias del plano complejo. Para los puntos de \( \mathbb{C}^n \) utilizaremos la notación \( z=(z_1,...,z_n) \), donde \( z_j=x_j+iy_j\in{\mathbb{C}} \) y \( x_j,y_j \) son números reales (e \( i \) es la raíz cuadrada de \( -1 \)). El valor absoluto de un número complejo \( z_1 \) será denotado por \( |z_1| \) , y para \( z\in{\mathbb{C}^n} \), definimos
\( |z|=\mbox{máx}\{|z_j|;1\leq{j\leq{n}}\} \).
Un
polidisco abierto ( o
policilindro abierto) en \( \mathbb{C}^n \) es un subconjunto \( \triangle (w;r)\subseteq{\mathbb{C}^n} \) de la forma
(1) \( \triangle (w;r)=\triangle (w_1,...,w_n;r_1,...,r_n)=\{z\in{\mathbb{C}^n};|z_j-w_j|<r_j,\quad 1\leq{j\leq{n}}\} \);
el punto \( w\in{\mathbb{C}^n} \) es llamado el
centro del polidisco, y
\( r=(r_1,...,r_n)\in{\mathbb{R}^n} \), (\( r_j>0 \)),
es llamado el
poliradio. La clausura de \( \triangle (w;r) \) será llamada el
polidisco cerrado con centro \( w \) y poliradio \( r \), y será denotado por \( \overline{\triangle} (w;r) \). Más generalmente, si \( D_j\subset{\mathbb{C}} \) son subdominios (subconjuntos abiertos y conexos) del plano complejo, el conjunto producto \( D=D_i \times\ldots\times{D_n}\subset{\mathbb{C}^n} \) será llamado un
polidominio abierto. Un polidisco es el caso espacial en el que los conjuntos \( D_j \) son discos; similarmente, un
policuadrado abierto es el caso especial en el cual los conjuntos \( D_j \) son cuadrados abiertos en el plano. Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).
Una función compleja valuada \( f \) en un subconjunto \( D\subseteq{\mathbb{C}^{n}} \) es simplemente una aplicación de \( D \) en el plano complejo; el valor de la función \( f \) en el punto \( z\in{D} \) será denotado por \( f(z) \), como es usual.
1. Definición. Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias
(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).
Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).
Consecuencias(1) La función \( f \) es continua en tales polidiscos \( \triangle (w;r) \); y de aquí, cualquier función holomorfa en \( D \) es también continua en \( D \).
(2) Las series de potencias (2) pueden ser reordenadas arbitrariamente y aún así seguirán representando a la misma función \( f \). En particular, si las coordenadas \( z_1,...,z_{j-1},z_{j+1},...,z_n \) son cualesquiera valores fijos dados \( a_1,...,a_{j-1},a_{j+1},...,a_n \), entonces esta serie de potencias puede ser ordenada como una serie de potencias convergente en la variable \( z_j \) , para \( z_j \) suficientemente cerca a \( w_j \); y esto se cumple para cualquier \( a_i \) suficientemente cerca a \( w_i \). Es decir, la función \( f \) es
holomorfa en cada variable por separado en todo el dominio donde es analítica; así la derivada compleja ordinaria con respecto a una de las variables \( z_j \) está bien definida, y será denotada por \( \partial /\partial z_j \). El recíproco de lo mencionado en negrita también es cierto, como como sigue.
2. Teorema.(Lema de Osgood).Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula
(3) \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)
para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple
(4) \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).
Pero ahora, nuevamente para un punto fijado \( z\in{\triangle (w;r)} \), la expansión en serie de potencias
\( \displaystyle\frac{1}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}=\displaystyle\sum_{v_1\ldots v_n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-_n)^{v_n}}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots (\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}} \)
es absolutamente convergente para todos los puntos \( \zeta \) en el dominio de integración en (4); consecuetemente, después de sustituir esta expansión en (4) e intercambiando los
ordenes de sumatoria e intregración, se sigue inmediatamente que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias de la forma (2), con
(5) \( a_{v_1\ldots v_n}=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n=\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots(\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}. \)
Por tanto, \( f \) es una función holomorfa, como se deseaba probar.
