Autor Tema: Proyectos de Cursos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

26 Enero, 2010, 02:37 am
Leído 28811 veces

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,272
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

28 Febrero, 2010, 09:05 am
Respuesta #1

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos, permítanme contarles que ya termino este semestre la carrera de matemática y para mi tesis necesito estudiar varias variables complejas, mi asesor me dijo que va a trabajar con el libro ANALYTIC FUNCTIONS OF SEVERAL COMPLEX VARIABLES de Robert Gunning y Hugo Rossi, ya tengo el libro y me gustaría escribirlo en el foro, dejo en claro que no sería condiderado como un curso, pues recién lo voy a ver, sería mas bien para estudiarlo aca, lo escribo, y trato de desarrollar las demostraciones detalladamente, y de paso cuando necesite exponer a mi profesor lo imprimo de aquí, jeje  ;D ;D.

Quisiera saber si es posible.
Muchas gracias.
Saludos
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 10:38 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,818
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
Creo que encaja con la idea de argentinator acerca de los cursos: teniendo un libro de referencia, no es necesario que el que dicta el curso lo haya estudiado previamente.

Saludos. 

28 Febrero, 2010, 11:02 am
Respuesta #3

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Phidias, muchas gracias por tu respuesta, siendo así, empiezo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 11:09 am
Respuesta #4

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Bueno, como dije en el primer mensaje, voy a empezar a escribir sobre varias variables complejas. La estructura será la siguiente:
Voy a traducir como dice el libro, y después lo analizaré con detalle, si alguien más está interesado en acompañarme, bienvenido sea.

Sin más preámbulos comienzo.
Funciones Analíticas de Varias Variables Complejas

Capítulo I
Funciones Holomorfas


A. Las Propiedades Elementales de las Funciones Holomorfas

El campo de los número reales será denotado por \( \mathbb{R}^n \), y el campo de los números complejos por \( \mathbb{C} \); ambos son espacios topológicos con sus estructuras familiares. Al estudiar la teoría de funciones de varias variables complejas, estamos interesados particularmente en estudiar al espacio \( \mathbb{C}^n=\mathbb{C}\times{\ldots\mathbb{C}} \), el producto Cartesiano de \( n \) copias del plano complejo. Para los puntos de \( \mathbb{C}^n \) utilizaremos la notación \( z=(z_1,...,z_n) \), donde \( z_j=x_j+iy_j\in{\mathbb{C}} \) y \( x_j,y_j \) son números reales (e \( i \) es la raíz cuadrada de \( -1 \)). El valor absoluto de un número complejo \( z_1 \) será denotado por \( |z_1| \) , y para \( z\in{\mathbb{C}^n} \), definimos

\( |z|=\mbox{máx}\{|z_j|;1\leq{j\leq{n}}\} \).


Un polidisco abierto ( o policilindro abierto) en \( \mathbb{C}^n \) es un subconjunto \( \triangle (w;r)\subseteq{\mathbb{C}^n} \) de la forma

(1) \( \triangle (w;r)=\triangle (w_1,...,w_n;r_1,...,r_n)=\{z\in{\mathbb{C}^n};|z_j-w_j|<r_j,\quad 1\leq{j\leq{n}}\} \);

el punto \( w\in{\mathbb{C}^n} \) es llamado el centro del polidisco, y

\( r=(r_1,...,r_n)\in{\mathbb{R}^n} \),   (\( r_j>0 \)),

es llamado el poliradio. La clausura de \( \triangle (w;r) \) será llamada el polidisco cerrado con centro \( w \) y poliradio \( r \), y será denotado por \( \overline{\triangle} (w;r) \). Más generalmente, si \( D_j\subset{\mathbb{C}} \) son subdominios (subconjuntos abiertos y conexos) del plano complejo, el conjunto producto \( D=D_i \times\ldots\times{D_n}\subset{\mathbb{C}^n} \) será llamado un polidominio abierto. Un polidisco es el caso espacial en el que los conjuntos \( D_j \) son discos; similarmente, un policuadrado abierto es el caso especial en el cual los conjuntos \( D_j \) son cuadrados abiertos en el plano. Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

Una función compleja valuada \( f \) en un subconjunto \( D\subseteq{\mathbb{C}^{n}} \) es simplemente una aplicación de \( D \) en el plano complejo; el valor de la función \( f \) en el punto \( z\in{D} \) será denotado por \( f(z) \), como es usual.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Consecuencias

(1) La función \( f \) es continua en tales polidiscos \( \triangle (w;r) \); y de aquí, cualquier función holomorfa en \( D \) es también continua en \( D \).

(2) Las series de potencias (2) pueden ser reordenadas arbitrariamente y aún así seguirán representando a la misma función \( f \). En particular, si las coordenadas \( z_1,...,z_{j-1},z_{j+1},...,z_n \) son cualesquiera valores fijos dados \( a_1,...,a_{j-1},a_{j+1},...,a_n \), entonces esta serie de potencias puede ser ordenada como una serie de potencias convergente en la variable \( z_j \) , para \( z_j \) suficientemente cerca a \( w_j \); y esto se cumple para cualquier \( a_i \) suficientemente cerca a \( w_i \). Es decir, la función \( f \) es holomorfa en cada variable por separado en todo el dominio donde es analítica; así la derivada compleja ordinaria con respecto a una de las variables \( z_j \) está bien definida, y será denotada por \( \partial /\partial z_j \). El recíproco de lo mencionado en negrita también es cierto, como como sigue.

2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Pero ahora, nuevamente para un punto fijado \( z\in{\triangle (w;r)} \), la expansión en serie de potencias
\( \displaystyle\frac{1}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}=\displaystyle\sum_{v_1\ldots v_n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-_n)^{v_n}}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots (\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}} \)

es absolutamente convergente para todos los puntos \( \zeta \) en el dominio de integración en (4); consecuetemente, después de sustituir esta expansión en (4) e intercambiando los
ordenes de sumatoria e intregración, se sigue inmediatamente que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias de la forma (2), con

(5)                           \( a_{v_1\ldots v_n}=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n=\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots(\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}. \)

Por tanto, \( f \) es una función holomorfa, como se deseaba probar.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:12 pm
Respuesta #5

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).


Recordemos que polinomio de una variable compleja \( z \) es de la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^n{a_jz^j} \)
y
un polinomio en varias variables \( z=(z_1,...,z_n) \) es de la forma
\( p(z)=p(z_1,...,z_n)=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}{a_{v_1v_2...v_n}z_1^{v_1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}} \)
Denotando
\( \displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n} \)
y
tenemos la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n}{a_{v_1...v_n}(z)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

También recordemos que si una función \( f \) es holomorfa en un punto \( w\in{\mathbb{C}} \), entonces su expansión en serie de potencias es
\( f(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}{a_j(z-w)^j} \), para todo \( z \) en una vecindad abierta de \( w \).

De la misma manera que pasamos de un polinomio de una variable a uno de varias variables, vemos que la manera natural de definir la expansión en serie de potencias de una función de varias variables como

\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:04 pm
Respuesta #6

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,272
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Hola enloalto.

¿Has leído las instrucciones para dictar cursos o cosas similares?
Hay que pedir a un moderador que te abra un hilo en la parte de Dictado, y después armar los hilos de Organización y de Comentarios.

Me parece bien que se abra un curso de Variable Compleja, pero... ¿es lo más adecuado?
No todo tiene que convertirse en curso, y está el foro de variable compleja para responder dudas puntuales.

No sé.
Me parece que esto habría que pensarlo mejor.
Fijate que estabas con lo del libro de Lages Lima, y está medio suspendido.
¿Qué ocurre si empezamos a dejar multitud de cursos "empezados" y sin terminar?

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.
Pero opino que hay que pensar las cosas mejor.
Además, dentro de los "requisitos" de comenzar un curso está el de "haber reflexionado si se está en condiciones de terminarlo".

Yo por ejemplo tengo ganas de dar todos los cursos de matemáticas de la licenciatura que sean posibles.
Pero ya con los dos en que estoy, vengo muy complicado.

Bueno. Te dejo mis dudas planteadas, enloalto.

Un abrazo

28 Febrero, 2010, 07:25 pm
Respuesta #7

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola argentinator, muchas gracias por tus dudas, sí lei las indicaciones para crear un curso, pero como dije en el primer mensaje, esto no sería un curso, digamos como un borrador, de tal manera que no tiene fecha de fin, por lo que no pedí a ningún moderador que lo ponga en el post de foro, y puesto que estamos trabajando seguido con el curso de Topología, te lo hubiera pedido a ti. Pero si crees que esto debería ir en el post de variable compleja, te agradecería infinitamente que lo muevas ahí.

Respecto a lo de Curso de Análisis en \( \mathbb{R}^n \) he avanzado estos días como conversamos y no pienso dejarlo, al igual que seguiré luchando con los ejercicios de topología, puesto que aca también al inicio de las notas hablo de base

Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

y estoy "fresco" en eso.

Otra vez muchas gracias,

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.

Tengo que aprovechar mi juventud  ;D ;D

Saludos.
Un abrazo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:59 pm
Respuesta #8

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,272
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Bueno, es extraño eso de "un borrador de curso", jeje, pero bueno, hay que estar abierto a posibilidades nuevas que la gente del foro pueda necesitar.
Es como si "estudiaras en público", como en un "Gran Hermano" de "variable compleja".  ::)

Entre las reglas de "dictar un curso" está la de "estar seguro de su finalización", y puse esa norma porque me pareció muy importante para la salud del foro. Mi gran temor es que queden proyectos sin empezar, y deseo transmitir mi preocupación a todos los demás.

En cuanto a la posibilidad de dar un "curso" concreto de variable compleja, creo que hay que preparar o planificar un poco las cosas, y es cierto que ahora no puedo ocuparme de eso. Me gustará participar en la organización de un tal curso  ;) , aunque puede haber varios interesados más en estar como "responsables" o "colaboradores". Variable compleja es un tema que da para muchos tipos de contribuciones distintas.

Bueno, gracias por tus contribuciones al foro.
Saludos



01 Marzo, 2010, 07:18 pm
Respuesta #9

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Continuando la respuesta número 4.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Tomemos primero el caso en que \( w=(0,...,0)\in{U_w} \), luego \( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1}\ldots z_n^{v_n}} \)

Veamos que sucede con dos variables, \( z=(z_1,z_2)\in{\mathbb{C}^2} \), así la función tiene la forma
\( f(z)=f(z_1,z_2)=\displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)

Desarrollando la serie de potencias, tenemos

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)}=\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{\left({a_{0v_2}z_2^{v_2}}\right)}+\displaystyle\sum_{v_1\geq 1}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)} \)
                 \( =a_{00}+\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2}}+\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)


Ordenando la suma, obtenemos para el caso de dos variables:

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Es decir
\( f(z)=f(z_1,z_2)=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Por inducción llegamos a
\( f(z)=f(z_1,...,z_n)=a_{0...0}+z_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}}+ \)

\( +z_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}z_2^{v_2-1}z_3^{v_3}...z_n^{v_n}}}+\ldots z_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}z_n^{v_n-1}} \)

Para el caso general
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

Defino
\( g(u)=f(u+w)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(u_1)^{v_1}\ldots(u_n)^{v_n}}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Luego

\( f(u+w)=g(u)=a_{0...0}+u_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}u_1^{v_1-1}u_2^{v_2}...u_n^{v_n}}}+ \)

\( +u_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}u_2^{v_2-1}u_3^{v_3}...u_n^{v_n}}}+\ldots u_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}u_n^{v_n-1}} \)

Haciendo \( u+w=z \) se tiene \( u=z-w \), luego

\( \boxed{f(z)=a_{0...0}+(z_1-w_1)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1-1}(z_2-w_2)^{v_2}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+(z_2-w_2)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}(z_2-w_2)^{v_2-1}(z_3-w_3)^{v_3}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+\ldots (z_n-w_n)\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}(z_n-w_n)^{v_n-1}}} \)

Este resultado no me lleva a nada, pero me gusta y lo dejo por si acaso.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

17 Marzo, 2010, 06:35 am
Respuesta #10

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Esto último no comprendo, ¿a qué se refiere con integral múltiple? ¿de donde sale los índices \( j \) en la región de integración, talvez es una productoria de j desde 1 hasta n y no lo pone por simplificar la notación?

Muchas gracias por su tiempo.

Llovizna queriendo ser lluvia de verano

17 Marzo, 2010, 11:03 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 La notación si es clara. Estás integrando en el recinto:

\( \{(\zeta_1,...,\zeta_n)\in \mathbb{C}^n|\,|\zeta_j-w_j|=r_j,\,j=1,\ldots,n\} \)

 En cuanto a la definición de integral múltiple para funcione de varias variables complejas la cosa no es tan obvia; en principio las definiciones que recuerdo la encuadran en la teoría de formas diferenciales aunque supongo que también puede definirse en el contexto de teoría de la medida. ¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.

Saludos.

30 Marzo, 2010, 09:10 pm
Respuesta #12

Lemmata

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
:banghead: ¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.

31 Marzo, 2010, 03:10 am
Respuesta #13

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.
Saludos.

Hola el_manco, disculpa la demora, los prerequsitos que pide el libro son: teoría clásica de funciones de una variable compleja, álgebra y topología.

Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
:banghead: ¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.

Hola Lemmata, muchas gracias por tu respuesta, si ya comprendí, yo tengo ese libro en djvu, he buscado y tengo "Lecture in Riemann Surfaces" también de Gunning, este que estoy utilizando es con Rossi, pero me dicen que hay uno de varias variables complejas pero solo de Gunning, ¿acaso es ese que tienes? ¿está en pdf?

Saludos.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

01 Abril, 2010, 04:55 pm
Respuesta #14

Lemmata

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, yo estoy siguiendo ''Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Vol I'' R. Gunning. No lo puedo encontrar en formato pdf o djvu.  Lo que veo, en principio, es que este libro trata más detalladamente el Lema de Hartog, a diferencia de Gunning-Rossi. El libro ''Lecture in Riemann Surfaces'' no lo conozco, pero ¿sirve?

salu2

13 Abril, 2010, 12:27 am
Respuesta #15

Lemmata

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

13 Abril, 2010, 04:07 am
Respuesta #16

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,272
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Hola, como enloalto explicara alguna vez, en cierto modo este es un "proyecto de curso", una propuesta para un futuro curso.
Él se puso a estudiar el tema y a exponerlo públicamente, pero aún no es un curso.

Para que un curso inicie se requiere que haya algunas personas interesadas, como sería tu caso, y que haya dispuesto a dictarlo de principio a fin.
También puede haber más de un responsable, o bien hacer cursos más breves para asegurar su finalización, entre otras opciones.

Me parece que enloalto trataba, de paso, aclarar algunas dudas del libro que estaba usando.

Si hay interesados en este tema, háganlo saber explícitamente, para ver qué se puede hacer.

Saludos

29 Abril, 2010, 06:06 am
Respuesta #17

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola amigos, bueno volviendo con las varias variables complejas, en el lema de Osgood se llega a la fórmula integral de Cauchy en \( \mathbb C\n \)

 \( \boxed{f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}} \).

Una observación importante:

En \( \mathbb C \), el teorema de la fórmula integral de Cauchy nos dice que debemos saber el comportamiento de la función en toda la frontera para saber su comportamiento en el interior del disco. En cambio, en \( \mathbb C^n \) solo debemos saber en el conjunto producto
\( \partial D_{r_1}(w_1)\times\cdots\times\partial D_{r_n}(w_n) \)
que es un subconjunto propio de la frontera del polidisco \( \partial \triangle(w;r) \), pues el primero tiene dimensión topológica \( n \) mientras que el segundo \( 2n-1 \). Esta es la primera de las ventajas que tiene \( \mathbb C^n \) sobre \( \mathbb C \).

¿Qué opinan, alguna otra observación?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Abril, 2010, 06:13 am
Respuesta #18

enloalto

  • Experto
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Otra observación, respecto al teorema de identidad, voy a poner la versión en \( \mathbb C \)y \( \mathbb C^n \)

Esta versión es la del libro "Real and Complex Analysis" de Walter Rudín.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

Muchas gracias.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Abril, 2010, 09:12 am
Respuesta #19

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Citar
Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

No, la revés. Es más exigente el de varias variables que el de una. En el de una variable sólo pedimos que las funciones coincidan en un conjunto con un punto de acumulación (p.ej. una sucesión y su límite); en el segundo que coincida en todos los puntos de algún abierto (por supuesto todo abierto tiene un punto de acumulación).

Saludos.