[enloalto]

2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Esto último no comprendo, ¿a qué se refiere con integral múltiple? ¿de donde sale los índices \( j \) en la región de integración, talvez es una productoria de j desde 1 hasta n y no lo pone por simplificar la notación?

Muchas gracias por su tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

 La notación si es clara. Estás integrando en el recinto:

\( \{(\zeta_1,...,\zeta_n)\in \mathbb{C}^n|\,|\zeta_j-w_j|=r_j,\,j=1,\ldots,n\} \)

 En cuanto a la definición de integral múltiple para funcione de varias variables complejas la cosa no es tan obvia; en principio las definiciones que recuerdo la encuadran en la teoría de formas diferenciales aunque supongo que también puede definirse en el contexto de teoría de la medida. ¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.

Saludos.

[Lemmata]

Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.

[enloalto]

¿Qué conocimientos previos pide el libro?. Me llama la antención que un curso de análisis complejo en varias variables se use integración múltiple sin haberla definido previamente.
Saludos.

Hola el_manco, disculpa la demora, los prerequsitos que pide el libro son: teoría clásica de funciones de una variable compleja, álgebra y topología.

Hola, aquel recinto es un toro n-dimensional, ojo que no es el borde de nadie. La integral puede cambiar por continuidad y Fubini.
Está interesante y bien difícil el curso, sigamos. Yo estoy siguiendo:  Intro. to Holomorphic Functions of Sev. Var. del mismo autor.
¿Lo otro es que estos libros están en formato pdf ?  Salu2.

Hola Lemmata, muchas gracias por tu respuesta, si ya comprendí, yo tengo ese libro en djvu, he buscado y tengo "Lecture in Riemann Surfaces" también de Gunning, este que estoy utilizando es con Rossi, pero me dicen que hay uno de varias variables complejas pero solo de Gunning, ¿acaso es ese que tienes? ¿está en pdf?

Saludos.

[Lemmata]

Hola, yo estoy siguiendo ''Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Vol I'' R. Gunning. No lo puedo encontrar en formato pdf o djvu.  Lo que veo, en principio, es que este libro trata más detalladamente el Lema de Hartog, a diferencia de Gunning-Rossi. El libro ''Lecture in Riemann Surfaces'' no lo conozco, pero ¿sirve?

salu2

[Lemmata]

Que pasó con este curso?

[argentinator]

Hola, como enloalto explicara alguna vez, en cierto modo este es un "proyecto de curso", una propuesta para un futuro curso.
Él se puso a estudiar el tema y a exponerlo públicamente, pero aún no es un curso.

Para que un curso inicie se requiere que haya algunas personas interesadas, como sería tu caso, y que haya dispuesto a dictarlo de principio a fin.
También puede haber más de un responsable, o bien hacer cursos más breves para asegurar su finalización, entre otras opciones.

Me parece que enloalto trataba, de paso, aclarar algunas dudas del libro que estaba usando.

Si hay interesados en este tema, háganlo saber explícitamente, para ver qué se puede hacer.

Saludos

[enloalto]

Hola amigos, bueno volviendo con las varias variables complejas, en el lema de Osgood se llega a la fórmula integral de Cauchy en \( \mathbb C\n \)

 \( \boxed{f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}} \).

Una observación importante:

En \( \mathbb C \), el teorema de la fórmula integral de Cauchy nos dice que debemos saber el comportamiento de la función en toda la frontera para saber su comportamiento en el interior del disco. En cambio, en \( \mathbb C^n \) solo debemos saber en el conjunto producto
\( \partial D_{r_1}(w_1)\times\cdots\times\partial D_{r_n}(w_n) \)
que es un subconjunto propio de la frontera del polidisco \( \partial \triangle(w;r) \), pues el primero tiene dimensión topológica \( n \) mientras que el segundo \( 2n-1 \). Esta es la primera de las ventajas que tiene \( \mathbb C^n \) sobre \( \mathbb C \).

¿Qué opinan, alguna otra observación?

[enloalto]

Otra observación, respecto al teorema de identidad, voy a poner la versión en \( \mathbb C \)y \( \mathbb C^n \)

Esta versión es la del libro "Real and Complex Analysis" de Walter Rudín.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( A \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto que tiene un punto de acumulación en \( A \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in A \)

En varias variables del Gunning.

Si \( f \) y \( g \) son holomorfas en un dominio(abierto y conexo) \( D\subset\mathbb C^n \) y si \( f(z)=g(z) \) para todos los \( z \) de algún conjunto abierto no vacío \( U\subset D \), entonces \( f(z)=g(z) \) para todo \( z\in D \)


La diferencia que veo es que en la versión de varias variables, no piden que haya un punto de acumulación, solo que sea abierto, mientras que en la de una variable sí lo hace, ¿eso sería una ventaja?

No, la revés. Es más exigente el de varias variables que el de una. En el de una variable sólo pedimos que las funciones coincidan en un conjunto con un punto de acumulación (p.ej. una sucesión y su límite); en el segundo que coincida en todos los puntos de algún abierto (por supuesto todo abierto tiene un punto de acumulación).

Saludos.