La ecuación:
\( \boxed{\displaystyle\frac{\theta ''}{Sen(\theta)}=\displaystyle\frac{3g}{2L}} \)
al no contener la variable indepediente explícita puede reducirse de orden mediante un cambio de variable:
Hagamos que \( \theta=x \) y \( \theta' =y \), con estos cambios resulta que \( \theta ''=\displaystyle\frac{dy}{dt}=\displaystyle\frac{dy}{dx}\displaystyle\frac{dx}{dt}=y\displaystyle\frac{dy}{dx} \), y la ecuación se transforma en:
\( \boxed{y\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{3g}{2L}Sen(x)} \)
que se integra con relativa facilidad:
\( 2ydy =\displaystyle\frac{3g}{L}Sen(x)dx\quad\longrightarrow{}\quad y^2=-\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(x)+K \)
y al deshacer los cambios aplicados resulta la ecuación:
\( \theta '^2+\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(\theta)=K \)
que es una ecuación diferencial de primer orden, teóricamente más sencilla, aunque sospecho que es ésta la que no vamos a poder resolver. El valor de la constante K puede conocerse ya que dicha ecuación se debe satisfacer en el punto crítico lo que nos permite escribir:
\( {K=\displaystyle\frac{v_0^2}{L^2Cos^2(\theta_c)}+\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(\theta_c)=\displaystyle\frac{v_0^2}{L^2Cos^3(\theta_c)}Cos(\theta_c)+\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(\theta_c)=\displaystyle\frac{3g}{2L}Cos(\theta_c)+\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(\theta_c)=\displaystyle\frac{9g}{2L}Cos(\theta_c)} \)
conforme a las condiciones de contorno que obtuve anteriormente, falta solo resolver la última integración, pero esa ya no la veo ni clara ni nada que se le parezca:
\( \boxed{\theta '^2+\displaystyle\frac{3g}{L}Cos(\theta)=\displaystyle\frac{9g}{2L}Cos(\theta_c)} \)
siendo esta ecuación diferencial la que regula el valor de \( \theta \) una vez que las escalera deja de apoyarse en la pared. Podemos expresar esta ecuación en términos de energía multiplicandola simplemente por el momento de inercia de la escalera respecto a su base y obtenemos:
\( \boxed{I\theta '^2+mgh=\displaystyle\frac{3}{2}mgh_c} \)
que expresa que la energía cinética de rotación de la escalera más su energía potencial debe sumar 3/2 de la energía potencial que tenía la escalera en el punto crítico. Esta ecuación parece no estar conforme con el teorema de la conservación de la energía, ya que lo correcto hubiera sido quizás obtener:
\( I\theta '^2+mgh=mgh_c \)
Es posible que se me haya colado un error en los cálculos, aunque sinceramente no me siento con demasiados ánimos para revisar todos los números para buscar ese error, si alguien tiene ganas y es capaz de encontrarlo pues se agradecerá aunque también es posible que se deba a que el CDG de la escalera no describe un movimiento uniforme si no que presenta una aceleración horizontal negativa (lo que provoca que pierda parte de su energía cinética) ó bien al hecho de que en el punto crítico la escalera tiene ya una cierta energía de rotación que se debe sumar a su energía potencial a la hora de aplicar el teorema de la conservación de la energía, efectos que serían capaces de compensar quizás la diferencia observada. No se cual es la respuesta correcta ni voy a investigarlo, a ver si alespa tiene ganas y es capaz de dar una interpretación correcta a este resultado.
Aunque solo haré un intento más, la enrgía cinética de rotación que presenta la escalera en el punto crítico vale exactamente:
\( {I\theta_c '^2=\displaystyle\frac{1}{3}mL^2\theta_c'^2=\displaystyle\frac{1}{3}mL^2\displaystyle\frac{v_0^2}{L^2Cos^3(\theta_c)}Cos(\theta_c)=mg\displaystyle\frac{L}{2}Cos(\theta_c)=\displaystyle\frac{1}{2}mgh_c} \)
que efectivamente pone de manifiesto que el teorema de la conservación de la energía se cumple exactamente ya que entonces la ecuación puede escribirse como:
\( \boxed{I\theta '^2+mgh=I\theta_c '^2+mgh_c=\displaystyle\frac{3}{2}mgh_c=Cte} \) ó bien \( \boxed{E_r+E_p=Cte} \)
que expresa que la suma de las enegías de rotación y potencial de la escalera se mantiene constante en todo instante, conclusión que es por lo tanto la confirmación de que los resultados obtenidos son correctos. La pena es que con un problema tan bonito como éste no podamos obtener la ecuación del movimiento de la cabeza de la escalera dada la imposibilidad de obtener la expresión de \( \theta \) en función del tiempo al no poder integrar la ecuación diferencial que regula el movimiento. Una lástima.
Saludos, Jabato.
