Bien, debemos definir tres cosas como mínimo para obtener la solución:
1ª.- La posición inicial de la escalera. Sabemos que su base se apoya sobre el suelo y que la escalera forma un determinado ángulo con la vertical. Como la longitud de la escalera es de 2 m la posición queda entonces definida.
2ª.- El movimiento de la escalera en el instante inicial. Sabemos que la base se desplaza horizontalmente con velocidad uniforme (despreciando los rozamientos), pero ese dato no es suficiente, necesitaríamos conocer la velocidad de al menos otro punto de la escalera para esablecer con precisión cual es el estado de movimiento de la escalera en el instante inicial. Deberíamo definir por ejemplo la velocidad inicial del extremo superior de la escalera, ó la velocidad inicial de su C.D.G. Por teoría sabemos que el movimiento instantáneo de un solido rígido es una composición de una traslación y una rotación. Debemos tener la información suficiente para obtener ambos datos en el instante inicial, y hasta el momento no la tenemos. No puede suponerse que si la base se mueve con movimiento horizontal entonces la parte superior esté quieta porque el sólido es rigido y por lo tanto se supone indeformable (salvo que la escalera estuviera en posición vertical en el instante inicial).
3ª.- Las fuezas actuantes. En este caso serían la gravedad y las reacciones en los puntos de apoyo en el suelo y en la pared (suponiendo que la parte alta esté apoyada sobre la pared), reacciones que pueden calcularse si aceptamos conocido el ángulo de inclinación de la escalera.
Sin definir la
posición inicial, el
movimiento inicial (traslación y rotación), y todas
las fuerzas actuantes (peso y reacciones en los apoyos) no puede resolverse el problema.
Si me permitis os voy a proponer un enunciado que sería válido en este caso, aunque no es el único posible. Supongamos que la escalera se encuentra inicialmente apoyada sobre el suelo y la pared formando un determinado ángulo con la vertical, y su estado de movimiento inicial es tal que las velocidades de sus extremos inferior y superior son tangentes al suelo y a la pared respectivamente. Eso nos define la posición y el estado de movimiento iniciales. (Notad que ambas velocidades están necesariamente relacionadas por la condición de sólido rígido ya que la distancia entre ambos extremos de la escalera debe ser 2 m fijos). Si no existiera rozamientos ni con el suelo ni con la pared la escalera caería bajo la acción de su propio peso con un movimiento acelerado, pero si aceptamos que los rozamientos son tales que hacen que la base de la escalera se desplace con movimiento uniforme horizontal entonces el problema queda definido creo. Si aceptais este enunciado como válido entonces quizás podemos empezar a hacer algunos números, aunque ya os hago notar que son números complejos porque la pérdida de energía potencial de la escalera, determinada por el descenso de su C.D.G, se invierte en energía cinética de rotación ya que la escalera gira respecto a un determinado eje (dicha energía de rotación depende de cual sea el momento de inercia de la escalera respecto de dicho eje, que además es variable) y de la energía de traslación ya que su centro de gravedad se desplaza (y no con un moviiento uniforme ya que su trayetoria no puede ser rectilinea creo), y ambos movimientos son simultáneos. El problema se resuelve mediante unas ecuaciones que resultan bastante complejas. Interviene el momento de inercia de la escalera respecto del eje de rotación que es variable entre otras muchas cosas. Si la única fuerza actuante es la gravedad es un problema relativamente sencillo, pero si forzamos a que la velocidad de la base de la escalera sea grande, más que un determinado valor que habría que calcular, entonces la cabeza de la escalera se despegaría de la pared y la reacción de esta dejaría de actuar. En el caso contrario, si frenamos la base de la escalera para que no se acelere entonces la cabeza siempre se apoya sobre la pared y describir el movimiento es un problema más sencillo puesto que entonces no necesitamos conocer las reacciones ni en el suelo ni en la pared. Nos basta con saber que ambos puntos mantienen el contacto con los apoyos respectivos (parecd y suelo) y la condición geométrica de sólido rígido es condición suficiente para saber a que velocidad se desplaza la cabeza conociendo la velocidad de la base. El caso más general es un problema muy complejo, obtener una ecuación sencilla no va a ser fácil.
Veamos cual es la paradoja. Admitamos la segunda hipótesis, es decir que la base se mueve con una velocidad uniforme pero suficientemente pequeña para que la cabez no se separe de la pared, el problema es entonces muy sencillo, ya que nos basta con calcular el triángulo formado por la distacia de la base a la pared (x), la altura de la cabeza (h) y la longitud de la propia escalera (2):
\( x^2+h^2=4 \)
Al derivar respecto del tiempo tenemos:
\( xx'+hh'=0 \)
Como x' es dato y además es constante resulta:
\( h'=-x'\displaystyle\frac{x}{h} \)
Cuando la escalera se halla en posición horizontal(x=2)(h=0) la velocidad a la que desciente la cabeza es:
\( h'=-x'\displaystyle\frac{2}{0}=-\infty \)
Ésta, si lo he entendido bien, es la paradoja que no sois capaces de resolver. La respuesta creo que es la siguiente, al ser la velocidad de desplazamiento de la base constante nunca se va a llegar a ese estado porque antes de que la escalera llegue al suelo la cabeza se va a separar de la pared, cualquiera que sea la velocidad horizontal de la base siempre se llega a un punto en que la cabeza se separa de la pared y entonces entran en juego las ecuacionas de la dinámica del sólido rígido, y la cosa cambia, esa ecuación deja de ser válida.
Y ahora viene la pregunta del millón: ¿Como se relaciona la velocidad horizontal de la base con el punto en que la cabeza se separa de la pared? Pues no sé ahora la respuesta tendría que meditarlo, pero
con seguridad la cabeza nunca va a alcanzar una velocidad superior a la que tendría dejándola caer libremente y sin rozamiento, eso es seguro.Después de meditarlo un rato creo que ya tengo la solución para determinar en que momento la cabeza de la escalera se separa de la pared. Podemos suponer, por las leyes del movimiento relativo, que la escalera está en reposo en su movimiento horizontal, y que es la pared la que se desplaza alejándose de la escalera. Entonces la cabeza tendería a caer libremente suponiendo que la base está fija al suelo mediante una bisagra. Cuando la inclinación de la escalera sea la suficiente para que la velocidad horizontal de la cabeza no llegue en ningún momento a superar la velocidad a la que se aleja la pared entonces es cuando la cabeza se separa de la pared y entran en juego las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido, la ecuación que calculó Yoyo en su primer mensaje y que después expuse yo con alguna ligera modificación:
\( h'=-x'\displaystyle\frac{x}{h} \)
deja de tener validez en ese preciso momento, que siempre es en un instante anterior al que la escalera llega a la posición horizontal, y por lo tanto la paradoja se disuelve ella solita. El fallo de Yoyonzin fué suponer que esa ecuación tenía validez para todo instante t, y de hecho lo dice con todas las letras:
Mis variables \( x \) y \( y \) están relacionadas por la ecuación \( x^2+y^2=2^2 \) así que diferenciando respecto a \( t \) tenemos:
\( x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0 \) y substituyendo \( dx/dt=1 \) encontramos que
\( dy/dt= -\frac{x}{y} \) para todo tiempo \( t\in (0,2) \)
Ahí estuvo el error.
Saludos, Jabato.
