[alespa07]

Hola Jabato. No puse  el detalle de los cálculos porque supuse que, más que el detalle del razonamiento, os interesaba saber como se llegaba a una solución físicamente acepatble, haciendo hincapié de la simpleza reductora del planteamiento inicial. Pero tu exposición me parece acertada y beneficiosa. Gracias por hacerla.

Saludos.

[Jabato]

Solo un comentario, detecté un leve error en la primera ecuación que escribiste en tu exposición. Al término que representa el momento que genera la reacción de la pared le falta multiplicar por la longitud de la escalera, \( L \), imagino que fué tan solo un error de transcripción porque los resultados que obtienes son correctos y coinciden con los míos, pero ahi aparece un dato incorrecto.

Me alegro que te satisfagan mis breves aclaraciones, pensé que eran convenientes dado que estamos tratando de aclarar las dudas a varios matemáticos, que como ya es sabido saben mucho de matemáticas ...

Saludos, Jabato. 

[Rogelio Yoyontzin]

Muy interesante. Lo que estaría bien entonces (a lo mejor suponiendo que algunas constantes son igual a 1) es dar la gráfica del movimiento que sigue la punta de la escalera en dos casos: 1) sin pared  y 2) con pared. A lo mejor una gráfica conjunta nos da la idea en qué preciso momento es cuando la escalera se separa de la pared.  ¿Se podrá hacer eso en Geoalgebra?

Gracias por sus repuestas y comentarios, ha sido muy interesante su lectura.

[Jabato]

Pues bastará, creo, con integrar dos veces la ecuación:

\( \theta ''=\displaystyle\frac{v_0^2 Sen(\theta)}{L^2 Cos^3(\theta)} \)   (1)

y al aplicar las condiciones de contorno (posición y velocidad angular iniciales) debes obtener la inclinación de la escalera en función del tiempo, y como el punto donde se encuentra la base de la escalera se desplaza también mediante una función conocida del tiempo, ambos datos te permitirán determinar la trayectoria del extremo superior de la escalera, pero ... ¡ojo!, creo que dicho cálculo solo es válido hasta el momento en que la escalera se separa de la pared, puesto que a partir de ese momento la reacción de la pared se hace negativa y eso no puede ocurrir, físicamente es imposible. Desde ese momento debes suponer que la reacción de la pared es nula y que la cabeza de la escalera cae libremente combinando las dos gráficas. Representar esa gráfica supongo que podrá hacerse con Geogebra y con otras muchas aplicaciones, e integrar la ecuación anterior dos veces parece fácil ya que la primera integración a simple vista es casi inmediata, y la segunda creo que también.

A partir de que se alcance el punto en que la escalera se separa de la pared la ecuación que debe aplicarse es:

\( \displaystyle\frac{1}{3}mL^2\theta ''=\displaystyle\frac{1}{2}mgLSen(\theta) \)   (2)

que es la misma ecuacion general que antes pero haciendo \( N_p=0 \), y dejndo de tener validez en este caso la ecuación (1), la ecuación (2) es una sencilla ecuación diferencial de segundo orden, facilmente integrable, que nos permitirá saber con exactitud la variación de \( \theta \) con el tiempo, y como la base de la escalera sigue desplazándose a velocidad constante ambos datos nos resuelven el problema. Las condiciones de contorno para esta segunda fase del movimiento deben calcularse como la posición y la velocidad en el instante en que se alcanza el ángulo crítico, datos que dependen logicamente de como evolucione el movimiento de la escalera en la primera fase del movimiento.

Ya tienes faena para un rato Yoyo.

Saludos, Jabato.

[alespa07]

Muy interesante. Lo que estaría bien entonces (a lo mejor suponiendo que algunas constantes son igual a 1) es dar la gráfica del movimiento que sigue la punta de la escalera en dos casos: 1) sin pared  y 2) con pared. A lo mejor una gráfica conjunta nos da la idea en qué preciso momento es cuando la escalera se separa de la pared.  ¿Se podrá hacer eso en Geoalgebra?

Gracias por sus repuestas y comentarios, ha sido muy interesante su lectura.

Hola. Esto sería bastante facil. En efecto, mientras esté en contaco con la pared, el movimiento de la cabeza de la escalera es vertical hacia abajo. Luego, a partir de un determinado punto ( que vendrá dado por el ángulo crítico), su movimiento es la combinación de una aceleración constante en la vertical (la gravedad) y una velocidad constante horizontal( la velocidad de la base). Esto es, una bonita parábola jejej.

Saludos.

[Jabato]

Bueno, yo creo que es mejor resolver las ecuaciones, no está tan claro para mi que la resultante sea una parábola puesto que la aceleración que actua sobre la cabeza de la escalera está condicionada por el movimiento uniforme de la base y el valor de \( \theta \), su inclinación, siendo el caso que además la condición de sólido rígido limita claramente el movimiento vertical de la cabeza, de forma que yo diría que es una aceleración vertical, eso es cierto, pero muy probablemente su valor no sea constante, sino que dependa del ángulo de inclinación de la escalera, y entonces quizás la trayectoria sea otra cosa muy distinta.

Creo que hay que calcularlo "comme il faut"

Saludos, Jabato.

[alespa07]

Hola Jabato. Efectivamente, me parece que , al final, he caido en la misma trampa de la quería recatar al el-manco jejeje. No obstante, me temo de que no se pueda hacer el cálculo "comme il faut" pero hemos de hacerlo "comme on peut", es decir que, al soltarse de la pared, la ecuación diferencial que encontramos no es resoluble mediante funciones elementales ( salen inversas de las integrales elípticas según mathematica) y tenemos que resolverla mediante métodos numéricos. A partir de ahí, una vez hallada \( \theta(t) \) sepueden obtener dos ecuaciones paramétricas de la distancia con la pared \( d(t) \) y de la ordenada del punto que nos interesa \( y(t) \), y graficar \( y(t) \) en función de \( d(t) \). Todo esto se puede hacer con mathematica con una determinadas condiciones iniciales.

Saludos.

[Jabato]

O sea que al final la culpa de que no podamos resolver el problema es de los matemáticos que no saben resolver una sencilla ecuación diferencial, ¡No te decía yo!

NOTA: que nadie se ofenda por favor, solo fué una broma inocente.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Bueno, veamos a ver un intento. De la ecuación:

\( N_p= \displaystyle\frac{1}{2}mgTan(\theta_c)\left(1-\displaystyle\frac{2v_0^2 }{3LgCos^3(\theta_c)\right)}=0 \)

deducimos el valor del ángulo crítico, ya que debe cumplirse:

\( \boxed{Cos^3(\theta_c)=\displaystyle\frac{2v_0^2}{3Lg}} \)

y como sabemos que la velocidad de la cabeza de la escalera es vertical descendente podemos también establecer el valor de \( \theta ' \) en el punto crítico en función de la velocidad a la que se desplaza la base:

\( \boxed{\theta_c'=\displaystyle\frac{v_0}{LCos(\theta_c)}} \)

valores que nos dan las condiciones de contorno para la segunda fase del movimiento, fase del movimiento que debe resolverse con la ecuación diferencial ya deducida previamente:

\( \boxed{\displaystyle\frac{\theta ''}{Sen(\theta)}=\displaystyle\frac{3g}{2L}} \)

Sinceramente no veo la forma de resolver esta última ecuación salvo considerar que \( \theta_c \) pueda ser un valor relativamente pequeño y entonces substituir en la ecuación \( Sen(\theta) \) por algunos términos de su desarrollo en serie de potencias. Alespa defiende la idea de que debe recurrirse necesariamente a métodos aproximados. Por el aspecto que presenta dicha ecuación yo casi soy también de la misma opinión, pero ... ¿que opinan los matemáticos?

Todo nuestro problema se reduce ya solo a resolver esta ecuación diferencial con las condiciones de contorno establecidas para el ángulo crítico, \( \theta_c \). Se admiten todo tipo de sugerencias, claro.

Saludos, Jabato.

[Don Equis]

Hola

 Si, la clave de mi confusión es esta:

Disculpa el-manco. Creo que he encontrado lo que confude. Lo que dices es cierto para la velocidad del centro de masa pero no es válido para el extremo de la escalera. A pesar de que la velocidad inicial del punto de contacto conn el suelo y la del centro de masas los alejan de la pared, no tiene porqué ser así para el punto de contacto con la pared. Lo que si es cierto es que, cualquier sea la velocidad inicial, llegará un momento en el que deje de tener contacto

.

Estoy intentado mentalizarme de que aunque el extremo de la base tenga una velocidad incial tanta, esta no se transmite instantáneamente al otro extremo. Creo que me voy haciendo a la idea... Claro en realidad se produce una rotación...mmm...me voy convenciendo.

Saludos.

Quizás yo no me equivoque y se pueda ver de esta forma (aunque es algo rebuscada). Tomemos un triángulo rectángulo degenerado de forma tal que la longitud de uno de sus lados sea \( l_1 = 0 \) y llamemos \( \sqrt[ ]{h} \) a la longitud de la hipotenusa. La pregunta que nos surge es cuánto tiene que variar la longitud del otro lado (\( l_2 \)) para mantener constante \( \sqrt[ ]{h} \) si variamos con velocidad constante \( v \) a \( l_1 \).

En otras palabras, tenemos que \( l_1^2 + l_2^2 = h \). Despejando \( l_2(l_1) \) tenemos
\( l_2 = \sqrt[ ]{h - l_1^2} \)

Derivando con respecto a \( t \) obtenemos
\( l_2' = \displaystyle\frac{-vl_1}{\sqrt[ ]{h-l_1^2}} \)

Considerando que \( l_1 = tv \) resulta
\( l_2' = \displaystyle\frac{-v^2t}{\sqrt[ ]{h-l_v^2t^2}} \)

Y esta es la aceleración que se necesita en \( y \) para que la escalera quede impregnada contra la pared (salvo errores de cuentas e ignorando que se trata de un cuerpo sólido).

Esta aceleración necesaria habría que compararla con la que 'genera' la gravedad. Que al principio también es \( 0 \) (pues la escalera está en vertical). Lo que importa es ver cuál llega más rápido al \( 0 \). Por lo que, en principio, es admisible que la escalera se quede ajustada contra la pared. O algo así...

Saludos.