He repasado los cálcuos que nos da alespa y voya tratar de exponerlos con algunas explicaciones aclaratorias, que él no incluyó, sin pensar quizás que está tratando con personas cuyos conocimientos de física no son probablemente todo lo buenos que fuera de desear.
En primer lugar considera que hay tres fuerzas actuando sobre la escalera:
1ª.- Su propio peso que se supone actua sobre la vertical de su C.D.G, punto que supone está ubicado en su punto medio. Tal y como él mismo indica presupone que la escalera es una barra homogénea con su centro de gravedad situado en su centro de simetría. El valor de dicha fuerza es \( P=mg \)
2ª.- La reacción de la pared que actua sobre el punto superior de la escalera y que es necesariamente normal a la propia pared, es decir es horizontal. Su valor es \( N_p \)
3ª La reacción del suelo, sobre el punto inferior de la escalera, que denominaré \( N_s \), que es vertical (perpendicular al suelo) y que no interviene en los cálculos por lo que luego veremos (genera un momento de giro nulo), y por eso su símbolo no aparece en las ecuaciones.
Considera que la escalera estará girando respecto a punto de apoyo sobre el suelo, utilizando como ángulo de referencia el ángulo que forma la escalera con la vertical \( \theta \) y establece la ecuación general para esta rotación que, conforme a la teoría, establece que:
\( I\theta ''=\displaystyle\sum_{i=1}^3{}M_i \)
en la que \( I \) es el momento de inercia de la escalera respecto al centro de giro, y \( M_i \) representa el momento de giro de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto.
Puesto que el momento de inercia de la escalera respecto a su extremo de la base es el de una barra homogénea de masa \( m \) y longitud \( L \) respecto a uno de sus extremos que vale:
\( I=\displaystyle\frac{m}{L}\displaystyle\int_{0}^{L}x^2dx=\displaystyle\frac{1}{3}mL^2 \)
y los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto valen:
1º El peso de la escalera genera un momento de valor: \( M_1=\displaystyle\frac{1}{2}mgLSen(\theta) \)
2º La reacción de la pared genera un momento de valor: \( M_2=-N_pLCos(\theta) \)
3º La reacción del suelo genera un momento de valor: \( M_3=0 \)
La ecuación general nos queda entonces:
\( \displaystyle\frac{1}{3}mL^2\theta ''=\displaystyle\frac{1}{2}mgLSen(\theta)-N_pLCos(\theta) \)
ecuación de la que debemos despejar \( N_p \) y tratar de averiguar en que momento dicha reacción sobre la pared es positiva ya que será entonces cuando la cabeza de la escalera se apoye en la pared, y cuando dicha reacción se haga nula ó negativa momento que será cuando la escalera deje de apoyarse sobre la pared:
\( N_p= \displaystyle\frac{3mgSen(\theta)-2mL\theta ''}{6Cos(\theta)}
\)
La segunda condición que utiliza alespa es la de que la aceleraciónde la base de la escalera es nula puesto que su velocidad, \( v_0 \), es constante, lo que nos permite determinar el valor de \( \theta '' \) al ser \( v_0'=0 \):
\( \theta ''=\displaystyle\frac{v_0^2 Sen(\theta)}{L^2 Cos^3(\theta)} \)
que substituida en la anterior nos conduce a:
\( N_p= \displaystyle\frac{1}{2}mgTan(\theta)\left(1-\displaystyle\frac{2v_0^2 }{3LgCos^3(\theta)\right)}
\)
NOTA: \( v_0 \) representa la velocidad horizontal constante con que se desplaza la base de la escalera.El resto es ya solo discusión de esta ecuación según los valores de \( v_0 \), discusión que en mi opinión es correcta desde todo punto de vista.
Una bonita solución a un problema de dinámica del sólido rígido que digamos que ... no se caracteriza precisamente por su sencillez.
Saludos, Jabato.
