Hola.
El soporte de una función se define como en en siguiente enlace
(Aveces también es por definición la cerradura del anterior conjunto, de hecho es la definición que yo siempre había conocido)
Luego se dice que una función tiene soporte compacto si el conjunto antes definido es compacto. Lo de soporte finito no estoy seguro, pero tal vez se refiera al caso en que el soporte de un función sea un conjunto finito.
En el conjunto \( C[0,1] \), la norma uniforme es la norma del supremo, definida por \( \displaystyle\|f\|=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)| \), esta misma es la norma de la convergencia uniforme, se le da este nombre pues si \( f_{n}\xrightarrow{\|\cdot\|}f \), entonces \( f_{n} \) converge uniformemente a \( f \) (como vimos en tu otro mensaje).
Saludos.
