[Jabato]

¿Podríamos definir fractal como una variedad no diferenciable en ninguno de sus puntos? Parece que esta definición se aproxima mucho al hecho de que un objeto no diferenciable en ninguno de sus puntos debe presentar infinito detalle en todos ellos, es decir no puede ser suave en ninguno de sus puntos, pero tambien es cierta la recíproca, una variedad que presente infinito detalle en todos sus puntos no puede ser diferenciable en ninguno de ellos.

¿Que opinais?

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Exactamente qué estamos entendiendo por variedad?

 ¿Y exactamente qué entendemos por no diferenciable en un punto?.

 Me explico.

 Por ejemplo a un cuadrado (sus lados, como curva) se le puede dar estructura de variedad diferenciable incluso en sus vértices. Ahora bien esa estuctura no es compatible con la estructura diferenciable del cuadrado inmerso como subvariedad del plano.

 Entonces entiendo a que te refieres diferenciable como subvariedad del plano (o quizá de un \( R^n \) de dimensión superior).

 Por tanto necesitamos también considerar la estrucutra de variedad (topológica) de los fractales como subconjuntos del plano. Y no tengo claro que (algunos) fractales tengan una estructura de variedad topológica (localmente homemorfos a un intervalo si nos referimos a curvas) compatible con su inmersión en el plano.

 Para los fractales que puedan darse como la imagen de una función continua de \( R \) en \( R \), entonces quizá si podría valer esa caracterización. El ejemplo típico es la función de Weierstrass.

 Pero en general, no veo claro como manejar esa idea.

Saludos.

[Jabato]

Tus argmentos resultan algo confusos para mi, probablemente porque no tenga el nivel adecuado para entenderlos. Si pudieras ser un poco más claro quizás, pero no te entiendo manco. Me refiero a subvariedades de R² y de R³ (ó de Rn si prefieres) aunque quizas se ajuste mejor a la idea que trato de expresar el concepto de campo escalar que el de variedad, y por no diferenciable entiendo aquellas en las que no son diferenciables en ningún punto. No sé si es confuso esto para ti, yo creo que lo entiendo, al menos sé en lo que estoy pensando, lo que no sé es si mi forma de expresarlo es la adecuada, es casi seguro que no, me temo. De todas formas solo intento plantear una idea a la que debería darse forma para convertirla en un concepto matemático, no estoy tratando de dar una definición formal de fractal, estoy tan solo tratando de expresar la idea de forma sencilla.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que me refiero es que no veo una forma sencilla de formalizar la idea.

 Cuando tenemos una curva del plano dada por una función es fácil entender a que nos referimos con diferenciable.

 Pero cuando nos referimos a un subconjunto, sin más, del plano no es tan claro.

 ¿Un punto sin más es diferenciable? ¿Un círculo lleno es diferenciable?

 Normalmente lo que uno hace es definir una aplicación local (en un trocito) de un intervalo (para objetos de dimensión uno) sobre el subconjunto, que nos la parametrice y la diferenciabilidad en esos puntos sea equivalente a la diferenciabilidad de esa aplicación.

 Pero no está claro como definir esa aplicación; ni siquiera está claro que los fractales sean "objetos de dimensión uno" (de hecho no lo son).

 No sé. Muchos cabos sueltos.

Saludos.

[Jabato]

Bueno, efectivamente lo que yo sospechaba, si ves un fractal como un conjunto de puntos entonces si parece que es dificil establecer ese concepto de diferenciabilidad, pero no debemos olvidar que los fractales se definen como curvas ó superficies límite (no se conocen que yo sepa fractales en espacios de dimensión superior, aunque probablemente puedan diseñarse cuando sepamos bien que cosa es un fractal). Vistos entonces de esa manera si es posible "diferenciarlos", ya que supongo que no me pondras reparos a esta visión. Tu mismo has definido muchas veces que cosa es el diferencial de una función de este tipo (me refiero a curvas ó superficies), es una variedad lineal que los aproxima en el entorno de un punto, bien, si dicha variedad lineal no existe en determinado punto podemos decir que la función no es diferenciable en ese punto, pero si dicha variedad no existe en ningún punto entonces estaríamos, si yo no me equivoco, ante un fractal. ¿Está algo más claro asi?

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bueno no todos los fractales se definen como límtes de curvas. Por ejemplo los tipo Mandelbrot o conjuntos de Julia.

 Pero en cualquier caso por concretar.

 Supongamos que tenemos una función \( f:[0,1]\longrightarrow{}R \) continua en todo punto pero no diferenciable en ninguna.

 ¿Su gráfica es un fractal? Muy probablemente si. El típico ejemplo es la curva de Weierstrass.

Saludos.

[Jabato]

Bueno, es cierto que el fractal de Mandelbrot no "se define" como el límite de una curva, pero eso no quiere decir que no lo sea, de hecho lo es, y ya lo demostré en este mismo foro no hace mucho tiempo, quizás te pasó desapercibida la demostración. Ocurrió en un debate reciente relativo a la condición de convergencia que debe exigirse para que la longitud de la curva límite de una sucesión de curvas coincida con el limite de las longitudes de las curvas de la sucesión, ¿recuerdas?, fué iniciado por Robottero.

De hecho soy capaz de definir el fractal de Mandelbrot como el límite de una sucesión de curvas y como el límite de una sucesión de regiones del plano, puedo hacerlo de las dos formas sin problemas, lo que te demuestra que aunque dicho fractal no "se define" como tal cosa, muy cierto, resulta ser que "sí es" tal cosa, muy cierto también.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para ser sincero si se me había pasado por alto.

 Lo he estado mirando y está muy bien.

 Construyes una sucesión de curvas dadas por sus ecuaciones implícitas cuyo límite topológico es el (borde del) conjunto de Mandelbrot.

 El problema es que el límite topológico es de caracter conjuntista; es decir no obtenemos ni la ecuación paramétrica de la curva límite, ni la ecuación implícita de la misma.

 Por tanto lo que tenemos simplemente es un subconjunto del plano y no está claro como trabajar sobre él con el concepto de diferenciabilidad, por los problemas que cite antes.

 Fíjate que en mi anterior mensaje, cuadno quise conretar me referí directamente a fractales que podamos definir como gráfica de una función. Eso me sigue pareciendo una restricción excesiva.

 En todo caso, insisto en que no estoy diciendo ni que si ni que no a tu idea, sino que no tengo claro que sea manejable.

Saludos.

P.D. Me entretuve en repesentar la sucesión de curvas. Es bonito:

[Jabato]

Yo lo hice bien hecho, usando el Basic, y diseñé un programa que mediante técnicas parecidas dibujaba cualquier fractal, el resultado fué sencillamente espectacular. Conseguí dibujar muchos fractales, y pude hacer zooms con escalas enormes, y analizar en detalle muchas propiedades desconocidas de los fractales, algunas de ellas realmente interesantes, por ejemplo, el hecho de que la serie iterada diverja es una propiedad que permite dibujar el fractal, pero lo que nadie sabe, aunque yo si lo sé, es que los puntos interiores al fractal de mandelbrot (puntos en los que la serie iterada no diverge, es cíclica ó tendente a cíclica) presentan una estructura interna que depende del ciclo de la sucesión. Es decir los puntos para los que la sucesión es ciclica de ciclo 2 se agrupan de una determinada forma, los puntos de ciclo 3, de otra, los de ciclo 4 de otra bien distinta, etc, de manera que los puntos interiores presentan tambien una estructura bien diferenciada, al igual que los puntos exteriores que presentan una estructura por capas bien diferenciada también.

Sobre el tema de la diferenciabilidad debo analizar más despacio lo que me dices.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bueno mi humilde animación "GIF" dentro de lo que se puede meter ahí, creo que está también razonablemente bien hecha (la hizo el Mathematica 5.0 en esencia, no yo).

 En cuanto a un programa (un "poquito" más elaborado que mi pequeñita animación) para representar conjuntos de Madelbrot y derivados, hay a cientos (alguno on-line incluso) y si que son muy espectaculares y entretenidos, porque siempre puedes hacer el Zoom en una zona nueva y descurbir nuevos "vericuetos".

 Respecto a lo de "lo que nadie sabe, pero yo si sé"... si lo andas diciendo por ahí la frase perderá veracidad. Por otro lado cuidado con los chinos, que son muchos y se entretienen con estas cosas...

Saludos.