Le he dado algunas vueltas al tema y creo que tengo una idea que puede valer. Hace uso del concepto de distancia por lo tanto estamos hablando de espacios métricos. Utilizaré la distancia euclidea para simpificar, y supondré un conjunto de infinitos puntos conexo, C, ubicado en un Rn cualquiera, preferentemente R² ó R³.
En estas condiciones podemos ubicar dos puntos del conjunto que denominaré \( P_0 \) y \( P \) y voy a determinar la mínima distancia entre ambos siguiendo, en un primer caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_e \), es decir la distancia euclidea, y en un segundo caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_g \), pero según una geodésica de C. El límite:
\( \gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1 \)
debería ser equivalente a la condición de diferenciabilidad de C en \( P_0 \), aunque no tengo la demostración. Cualquier otro valor distinto a 1, ó incluso la inexistencia de dicho límite, supondría que el conjunto no es diferenciable en ese punto.
En ese sentido los fractales serían conjuntos "no diferenciables" en ninguno de sus puntos.
Algunos comentarios: Los conjuntos inconexos quedarían fuera de esta definición, tales como el Polvo de cantor y otros similares.
¿Voy bien encaminado?
Saludos, Jabato.