Autor Tema: Definición de fractal

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16 Noviembre, 2008, 01:25 am
Respuesta #20

Jabato

  • Visitante
Analicemos un poco más despacio el concepto de diferenciabilidad, que es un concepto matemático que en mi opinión está mal explicado ó no se suele comprender. Para mi la idea de diferenciabilidad de una propiedad cualquiera de un conjunto en un punto viene a establecer que la variación de dicha propiedad puede aproximarse por una función lineal en un entorno suficientemente pequeño del punto considerado.

Esto traducido al lenguaje de conjuntos vendría a decir que un conjunto cualquiera sería diferenciable en un punto cualquiera si puede ser substituido por una varidad lineal en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto. 

¿Estais de acuerdo con este enfoque?

Saludos, Jabato.

16 Noviembre, 2008, 11:08 am
Respuesta #21

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

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Esto traducido al lenguaje de conjuntos vendría a decir que un conjunto cualquiera sería diferenciable en un punto cualquiera si puede ser substituido por una varidad lineal en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto.
 

Hay que darle un significado preciso a "poder ser substituido". No es nada claro lo que significa.

Saludos.

16 Noviembre, 2008, 11:44 am
Respuesta #22

Jabato

  • Visitante
Sí, es cierto, yo también lo pensé, debe definirse con precisión "puede ser substituido", aunque no lo resolví. No sé si fuera mas correcto expresarlo como:

Un subconjunto cualquiera de Rn es diferenciable en un punto si puede ser aproximado por una varidad lineal en su entorno. 

Aunque es cierto que a estas palabras también debe asignarseles un significado preciso. Hay que meditar el asunto.

Saludos, Jabato.

18 Noviembre, 2008, 07:47 pm
Respuesta #23

Jabato

  • Visitante
¿Podríamos hablar de homeomorfismos quizás? Es decir la definición sería:

Un subconjunto cualquiera de Rn es diferenciable en un punto si es homeomorfo a una varidad lineal en su entorno. 

Saludos, Jabato.

19 Noviembre, 2008, 07:48 am
Respuesta #24

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Pero un "pico" de un cuadrado es homeomorfo a un segmento recto.

 El ser homeomorfo es una propiedad estrictamente topológica, no dice nada en principio sobre la diferenciabilidad.

Saludos.

19 Noviembre, 2008, 08:12 am
Respuesta #25

Jabato

  • Visitante
Pues no sé, en principio debería ser una propiedad que caracterizara a todas las variedades diferenciables tangentes en un punto, por ejemplo todas las superficies diferenciables tangentes a un determinado plano en un punto dado, todas esas superficies deberán cumplir alguna propiedad conjuntista o topológica, digo yo, aunque no sé muy bien decir de que propiedad se trata. Parece que al menos está identificada la propiedad que buscamos, lo que no sé es si es algo conocido ó nadie la ha definido hasta el momento. Veamos me explico:

Todas las variedades contenidas en Rn, diferenciables en un punto determinado y que compartan el mismo diferencial deberían presentar una propiedad ó bien CONJUNTISTA ó bien TOPOLOÓGICA que las caracterice y que por lo tanto solo sea satisfecha por ellas. Mi problema es saber de que propiedad estamos hablando pero no tengo dudas de que dicha propiedad debe poderse expresar en uno de esos dos lenguajes, es decir sin usar el lenguaje analítico.

Saludos, Jabato.

23 Noviembre, 2008, 09:24 pm
Respuesta #26

Jabato

  • Visitante
Le he dado algunas vueltas al tema y creo que tengo una idea que puede valer. Hace uso del concepto de distancia por lo tanto estamos hablando de espacios métricos. Utilizaré la distancia euclidea para simpificar, y supondré un conjunto de infinitos puntos conexo, C, ubicado en un Rn cualquiera, preferentemente R² ó R³.

En estas condiciones podemos ubicar dos puntos del conjunto que denominaré \( P_0 \) y \( P \) y voy a determinar la mínima distancia entre ambos siguiendo, en un primer caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_e \), es decir la distancia euclidea, y en un segundo caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_g \), pero según una geodésica de C. El límite:

\( \gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1 \)

debería ser equivalente a la condición de diferenciabilidad de C en \( P_0 \), aunque no tengo la demostración. Cualquier otro valor distinto a 1, ó incluso la inexistencia de dicho límite, supondría que el conjunto no es diferenciable en ese punto.

En ese sentido los fractales serían conjuntos "no diferenciables" en ninguno de sus puntos.

Algunos comentarios: Los conjuntos inconexos quedarían fuera de esta definición, tales como el Polvo de cantor y otros similares.

¿Voy bien encaminado?

Saludos, Jabato.

23 Noviembre, 2008, 09:29 pm
Respuesta #27

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Y exactamente como definimos geodésica en un conjunto que a priori no tiene estrucutura de variedad diferenciable (de hecho, en cierto modo, no está claro que estructura tiene).

Saludos.

23 Noviembre, 2008, 09:34 pm
Respuesta #28

Jabato

  • Visitante
Hombre, llamala geodésica ó si prefieres, la distancia más corta entre ambos puntos siguiendo una trayectoria contenida en C. Como C es conexo debe existir una tal trayectoria. Digo yo.

Saludos, Jabato.

23 Noviembre, 2008, 10:29 pm
Respuesta #29

Jabato

  • Visitante
Aunque si consideramos que C no tiene porqué ser conexo, entonces lo único que cambia es que ahora pueden incluirse fractales no conexos, y entonces ocurrirá que cuando ambos puntos elegidos no estén conectados el límite no existirá. Lo que nos permite incluir al Polvo de Cantor y otros similares en la definición.

La primera consecuencia de una definición como ésta es que los fractales serían estructuras en las que cualquier punto no puede conectarse con al menos otro de su entorno con un segmento contenido en C lo que obliga a que su estructura contenga "detalle infinito", que es una de las caraterísticas principales de los fractales.

Un caso extremo podría venir representado por un conjunto compacto, para el que \( \gamma=1 \) en todos los casos. ¿Supone algun problema considerar "diferenciable" a un conjunto compacto?

Saludos, Jabato.