Lo que pasa es que si C es un conjunto conexo, y suponiendo que has podido definir una noción de longitud de trayectorias en C, no queda clara que entre dos puntos exista una trayectoria que sea la más corta...
Imagino que, bajo ciertas condiciones de regularidad, imagino que la longitud más corta entre dos puntos A y B es un número que puede existir sin problemas, definido como el ínfimo s de las longitudes de las trayectorias entre A y B.
Pero sabemos que el ínfimo no siempre es un mínimo, para un conjunto dado, luego no sabemos si existe una trayectoria con longitud s.
Por otro lado, existe una noción de diferenciabilidad de conjuntos, y es simplemente el concepto de variedad. Una variedad es lo que se entiende por conjunto ''suave''. Cada entorno pequeño de cada punto de la variedad está asociado a un subconjunto de \( R^n \) mediante un HOMEOMORFISMO, que a su vez tiene propiedades de diferenciabilidad, específicamente, se pide diferenciabilidad a la composición de cartas, como se explica por ejemplo en este enlace de Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciableEn ese enlace al parecer define lo que sería una variedad con diferenciabilidad de orden r,
lo cual ayuda a distinguir bien el concepto de dimensión de la variedad, del concepto de orden de derivación.
En estas condiciones podemos ubicar dos puntos del conjunto que denominaré \( P_0 \) y \( P \) y voy a determinar la mínima distancia entre ambos siguiendo, en un primer caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_e \), es decir la distancia euclidea, y en un segundo caso, la distancia más corta entre ellos, \( d_g \), pero según una geodésica de C. El límite:
\( \gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1 \)
debería ser equivalente a la condición de diferenciabilidad de C en \( P_0 \), aunque no tengo la demostración. Cualquier otro valor distinto a 1, ó incluso la inexistencia de dicho límite, supondría que el conjunto no es diferenciable en ese punto.
Intuitivamente, esto parece ser cierto en una variedad diferenciable, porque las distancias medidas sobre la variedad cerca de un punto, se parecen cada vez más a las distancias euclidianas sobre los hiperplanos tangentes asociados, o sobre las cartas coordenadas, y esta distancia es muy parecida en el límite a la distancia euclidiana entre ambos puntos considerados.
Sin embargo, aunque parece cierto que diferenciabilidad implica \( \gamma=1 \), la recíproca no necesariamente debe ser cierta.
No se me ocurren contraejemplos, pero estoy seguro que los hay.
Me parece que no se puede reemplazar la noción de diferenciabilidad de las cartas de una variedad con un simple coeficiente o indicador.
Aunque parece cierto que si \( \gamma \) no es 1, entonces no estamos frente a una variedad diferenciable.
¿Supone algun problema considerar "diferenciable" a un conjunto compacto?
A lo mejor estás imaginando una variedad con la frontera incluida en el conjunto.
Si imaginamos un conjunto acotado con la frontera ''abierta'', al tomar su clausura topológica obtenemos un conjunto compacto, el cual no creo que haya problemas en decir que es una variedad diferenciable.
A lo mejor la frontera tenga que ser también una variedad diferenciable (de dimensión más pequeña que la parte interior del conjunto).
No obstante hay ejemplos de variedades compactas de otro tipo, por ejemplo, una circunferencia en el plano, el toro n-dimensional, etc.
