Hola:
Hola¿ lo pusiste como ejemplo. porque el primer problema que aparece no es cierto?
Let $$P$$ be a polygon that is convex and symmetric to some point $$O$$. Prove that for some parallelogram $$R$$ satisfying $$P \subset R$$ we have
$$
\frac{|R|}{|P|} \leq \sqrt{2}
$$
where $$|R|$$ and $$|P|$$ denote the area of the sets $$R$$ and $$P$$, respectively.
Imagina un polígono de $$n$$ lados tantos que se parece a una circunferencia de radio 1
Su área se aproxima a $$\pi$$, pero el área de un cuadrado inscrito se aproxima a 2, luego el ratio de areas tiende a $$\pi /2$$, que es mayor a la raíz de 2. Probar que se puede inscribir un paralelogramo de menor área es por supuesto mas fácil.
Pero lo más probable sea que no entendí el enunciado y no sea correcta mi respuesta, cuando la verdadera intención es citar una nueva fuente de enunciados.
Pero, si he entendido bien... 
¿no sería \( R \) un cuadrado circunscrito, en cuyo caso, en el límite, \( |R|=2^2\Longrightarrow \dfrac{|R|}{|P|}=\dfrac{4}{\pi}\leq \sqrt{2} \)?
Saludos
Aha! era visto que había entendido mal, pero aun así, imagina un rectángulo R de lado 1 x lado 100 , e inscribes dentro un cuadrado P de lados 1x1 la relación de áreas es 100 mucha mayor que raiz de 2, de todas maneras me parece que la cota no se cumple.
Pd no dice la cantidad de lados del polígono por eso suponer que todos los vértices o todos los lados queden tocando el paralelogramos sería imposible para algunos polígonos regulares de cantidad de lados arbitraria.
Si fuera como lo pensé al principio un cuadrado dentro de un polígono de 7 lados ya cumple , con más lados mejor.
Por otro lado como no hay limite para los lados del paralelogramo R y P puede ser cualquier polígono regular que solo debe cumplir con estar incluido dentro el paralelogramo habrá un mínimo de dimensiones para el paralelogramo que incluya al polígono, pero no hay limite superior a sus lados, luego la relacion de areas puede ser tan grande como se quiera...
