[Richard R Richard]

Esto no es tan evidente...

Un romboide puede puede inscribir un cuadrado que a su vez inscriba a su vez cualquier polígono regular P que me pudiesen dar, me sigue por lo menos a mi evidente, quizá no será tan clara la demostración, ahora estoy en el trabajo, ya ves no tan ocupado, pero en casa  veo si me las apaño , cuanto mucho separa esta parte del hilo porque la fuente está interesante , y lo que cree es solo ruido.

[martiniano]

Hola.

¿Pero como demuestras que ese romboide es suficientemente pequeño como para que su área no exceda \[ \sqrt[ ]{2} \] veces el área del polígono el polígono (que por cierto no tiene por qué ser regular)?

Un saludo.

[Richard R Richard]

Hola.

¿Pero como demuestras que ese romboide es suficientemente pequeño como para que su área no exceda \[ \sqrt[ ]{2} \] veces el área del polígono el polígono (que por cierto no tiene por qué ser regular)?

Un saludo.

Hola, veamos, Supongamos un  poligono $$P$$ de $$n$$ lados, puede ser circunscripto a una circunferencia $$C$$ de radio $$r$$  sabemos que el area de ese poligono tiene como limite cuando el número de lados tiende a infinito un area igual a la de la circunferencia que lo circunscribe.

Por otro lado de los paralelogramos que pueden inscribir una circunferencia , el romboide es el de mayor área, y será mínima cuando sea un rombo es decir cunado sus lados sean iguales, pero será menor aun cuando el angulo entre los lados del rombo sea 90° es decir cuando sea un cuadrado, así que el cuadrilátero $$R$$ de menor área que inscribe una circunferencia es un cuadrado  de lado $$2r$$  así

$$|R|=(2r)^2=4r^2$$

luego  como $$|P|<|C|$$

$$\sqrt2\cong1.4142\geq\dfrac{|R|}{|P|}>\dfrac{|R|}{|C|}=\dfrac{4r^2}{\pi r^2}\cong1.27$$

Así que existe alguno veamos que condición se cumple

$$|P(n)|=\dfrac{n}{2}r^2\sin(180/n)$$ entonces $$\sqrt2=\dfrac{|R|}{|P|}=\dfrac{8\sin(180/n)}{n}$$ que para $$n=4$$ se iguala , así que  $$n>4$$ se cumple.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, veamos, Supongamos un  poligono $$P$$ de $$n$$ lados, puede ser circunscripto a una circunferencia $$C$$ de radio $$r$$  sabemos que el area de ese poligono tiene como limite cuando el número de lados tiende a infinito un area igual a la de la circunferencia que lo circunscribe.

Creo que ahí querías decir inscrito en una circunferencia (el polígono dentro de la circunferencia). O equivalentemente que la circunferencia está circunscrita al polígono.

Sea como sea como te ha dicho martiniano sospecho que estás pensando (erróneamente) en que el polígono es regular. Pero no tiene porque ser así. Por ejemplo, como se supone que aplicas tu argumento a este polígono:


Saludos.

[martiniano]

Hola.

Además de lo que dice Luis me gustaría comentar dos cosas:

Hola.

¿Pero como demuestras que ese romboide es suficientemente pequeño como para que su área no exceda \[ \sqrt[ ]{2} \] veces el área del polígono el polígono (que por cierto no tiene por qué ser regular)?

Un saludo.

Hola, veamos, Supongamos un  poligono $$P$$ de $$n$$ lados, puede ser circunscripto a una circunferencia $$C$$ de radio $$r$$  sabemos que el area de ese poligono tiene como limite cuando el número de lados tiende a infinito un area igual a la de la circunferencia que lo circunscribe.

Por otro lado de los paralelogramos que pueden inscribir una circunferencia , el romboide es el de mayor área, y será mínima cuando sea un rombo es decir cunado sus lados sean iguales, pero será menor aun cuando el angulo entre los lados del rombo sea 90° es decir cuando sea un cuadrado, así que el cuadrilátero $$R$$ de menor área que inscribe una circunferencia es un cuadrado  de lado $$2r$$  así

$$|R|=(2r)^2=4r^2$$

luego  como $$|P|<|C|$$

$$\sqrt2\cong1.4142\geq\dfrac{|R|}{|P|}>\dfrac{|R|}{|C|}=\dfrac{4r^2}{\pi r^2}\cong1.27$$

Diría que lo que has hecho aquí es demostrar que existe un paralelogramo cuya area es mayor que \[ \displaystyle\frac{4}{\pi} \]. Pero aunque ese valor sea menor que \[ \sqrt[ ]{2} \], eso no demuestra en absoluto el enunciado.

Así que existe alguno veamos que condición se cumple

$$|P(n)|=\dfrac{n}{2}r^2\sin(\color{red}180\color{black}
/n)$$ entonces $$\sqrt2=\dfrac{|R|}{|P|}=\dfrac{8\sin(\color{red}180\color{black}/n)}{n}$$ que para $$n=4$$ se iguala , así que  $$n>4$$ se cumple.

Aquí sospecho que al principio has querido calcular el área de un polígono regular de \[ n \] lados, pero creo que deberías haber puesto 360 grados en lugar de 180. No sé si puedes arreglar lo que dices después, pero tampoco estoy seguro de que sirva.

Saludos.

[Richard R Richard]

Sí, efectivamente  me limité, a polígonos regulares dentro de circunferencias, pues decía simétrico respecto  a algun punto,  no sé  si me quedo  corto al interpretar así. Misma distancia  a cualquier  vértice.(que ahora pienso tampoco implica lados iguales)
Hacer un simetría especular, la hacemos respecto a una recta,  por ejemplo  inscribir el polígono conexo en una eclipse, o entre dos curvas convexas.
Si me preguntas si  eso empeora la solución, creo que no, por el contrario la facilita, da una dirección  de privilegio para los lados de un rectángulo exterior R, pudiendo descender el límite inferior del ratio $$|R|/|P|$$ cada vez más cerca de 1, por lo que sería más fácil  hallar un ejemplo en que la relación  sea menor a la raíz de 2.
Me parece que eso funciona para cualquier  polígono así  definido, que era lo que decías.


Justo que iba postear, veo el mensaje de martiniano,
Me desoriento hacia donde llevar el enunciado , es fácil ver que si el polígono esta incluido, no tiene porque ser inscrito , superar la cota es trivial, o no estoy entendiendo  la inclusión,   puedo hacer  paralelogramos tan grandes como quiera cuyo área sea mucho mayor que raíz de 2,  yo creí  que lo que decía  es que hacía que probar que existe al menos 1 cuyo ratio es menor a la raíz de 2.
Aun haciendo que todos los vértices de P toquen sobre el paralelogramo R, es fácil construir  uno convexo simétrico a un punto y a la vez a una recta, cuyo ratio de areas sea menor a raíz de 2.


Ej dibujar una circunferencia,  dibujar un rectángulo que sea tangente a la circunferencia en los puntos medios de sus lados más cortos, eliminar las porciones  de circunferencia  externas al rectángulo, elegir como vértices  los 6 puntos donde se tocan el rectángulo con la circunferencia, si se hace el ratio es menor a raíz de 2.
No se puede probar que todos los poligono van a tener ratios menores a raíz de 2 porque es falso.

[Luis Fuentes]

Hola

Aquí sospecho que al principio has querido calcular el área de un polígono regular de \[ n \] lados, pero creo que deberías haber puesto 360 grados en lugar de 180. No sé si puedes arreglar lo que dices después, pero tampoco estoy seguro de que sirva.

Más allá de los detalles y algunos errores en ellos, creo que la idea de Richard es que para un polígono regular con un número suficientemente alto de lados (creo que \( n\geq 8 \)), el cuadrado circunscrito a la circunferencia circunscrita al polígono cumple que su área no supera \( \sqrt{2} \) veces la del cuadrado.

Eso sólo prueba el resultado para polígonos regulares de \( 8 \) o más lados, muy lejos del caso general que es para CUALQUIER polígono simétrico respecto a un punto y por tanto no necesariamente regular.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, efectivamente  me limité, a polígonos regulares dentro de circunferencias, pues decía simétrico respecto  a algun punto,  no sé  si me quedo  corto al interpretar así. Misma distancia  a cualquier  vértice.(que ahora pienso tampoco implica lados iguales)
Hacer un simetría especular, la hacemos respecto a una recta,  por ejemplo  inscribir el polígono conexo en una eclipse, o entre dos curvas convexas.

Una figura es simétrica respecto a un punto \( O \), si dado cualquier punto \( P \) de la figura su simétrico respecto a \( O \) también pertenece a la figura.


A partir de aquí no entiendo lo que quieres decir; por un momento me parece que sigues pensando que es fácil de demostrar; por otro parece que dices que es difícil; y por otra pareces insinuar que el resultado es falso. No entiendo nada.

Si me preguntas si  eso empeora la solución, creo que no, por el contrario la facilita, da una dirección  de privilegio para los lados de un rectángulo exterior R, pudiendo descender el límite inferior del ratio $$|R|/|P|$$ cada vez más cerca de 1, por lo que sería más fácil  hallar un ejemplo en que la relación  sea menor a la raíz de 2.

En lo que acabo de citar parece que lo ves fácil.

Justo que iba postear, veo el mensaje de martiniano,
Me desoriento hacia donde llevar el enunciado , es fácil ver que si el polígono esta incluido, no tiene porque ser inscrito , superar la cota es trivial, o no estoy entendiendo  la inclusión,   puedo hacer  paralelogramos tan grandes como quiera cuyo área sea mucho mayor que raíz de 2,  yo creí  que lo que decía  es que hacía que probar que existe al menos 1 cuyo ratio es menor a la raíz de 2.
Aun haciendo que todos los vértices de P toquen sobre el paralelogramo R, es fácil construir  uno convexo simétrico a un punto y a la vez a una recta, cuyo ratio de areas sea menor a raíz de 2.

Ahora parece que, ¿crees qué es falso?. No se. Por que hablas de un ratio de áreas menor que \( \sqrt{2} \), pero es es coherente con lo que queremos probar.

Es decir si crees que es falso, tendrías que dar un ejemplo de un polígono simétrico respecto a un punto, de manera que cualquier posible paralelogramo que lo encierre tenga un área MAYOR a \( \sqrt{2} \) veces el área del polígono.

Ej dibujar una circunferencia,  dibujar un rectángulo que sea tangente a la circunferencia en los puntos medios de sus lados más cortos, eliminar las porciones  de circunferencia  externas al rectángulo, elegir como vértices  los 6 puntos donde se tocan el rectángulo con la circunferencia, si se hace el ratio es menor a raíz de 2.
No se puede probar que todos los poligono van a tener ratios menores a raíz de 2 porque es falso.

No entiendo que pretendes con este ejemplo. ¿Es un ejemplo que crees que muestra que lo que piden probar es falso?. Cuando dices "si se hace el ratio", ¿el ratio de qué cosa con qué otra cosa?.

A falta de saber a qué te refieres un ratio \( \dfrac{\text{área paralelogramo}}{\text{área polígono}}<\sqrt{2} \) confirma la afirmación de lo que se quiere probar, no lo contradice.

Saludos.

P.D.

yo creí  que lo que decía  es que hacía que probar que existe al menos 1 cuyo ratio es menor a la raíz de 2.

¡Si! Y es eso lo que hay que probar. Nadie te ha dicho lo contrario. Que dado cualquier polígono simétrico respecto a un punto, existe al menos un paralelogramo que lo encierra de manera que el ratio de áreas entre el paralelogramo y el polígono es menor a \( \sqrt{2} \).

[martiniano]

Vale.

Ahora veo por donde ibas Richard. Andaba yo un poco espeso.

[Richard R Richard]

yo creí  que lo que decía  es que hacía que probar que existe al menos 1 cuyo ratio es menor a la raíz de 2.

¡Si! Y es eso lo que hay que probar. Nadie te ha dicho lo contrario. Que dado cualquier polígono simétrico respecto a un punto, existe al menos un paralelogramo que lo encierra de manera que el ratio de áreas entre el paralelogramo y el polígono es menor a \( \sqrt{2} \).

Hola, Luis, es que si te doy un ejemplo me dirás que no basta para demostrar, que tiene que ser para cualquier polígono que me den,  o basta demostrar que hay uno,  esto último es lo que vengo haciendo... una imagen vale mas que 1000 palabras, por la tarde veo si me aclaro.
Con respecto a la falsedad lo que digo es que hay ejemplos tanto de ratios mayores como  menores a raiz de 2.


Los polígonos de cantidad de lados impares según esa definición de simetría que me dices,no estarían contemplados como ejemplo.
Porque sino un triángulo tiene su área siempre la mitad de la de un paralelogramo y nunca menor a raíz de 2. Creería que por eso aclaran lo de la simetría.