[danizafa]

Hola Juan Luis,
el otro día pasé por acá, estaba contestando algo pero finalice y tuve que salir, luego ya no volví!

Primero que nada, te dejo los conteos exactos de parejas de impares no múltiplos de 3, que he desarrollado en este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=130166.0

Allí podés ver que no siempre se cumple que la cantidad de parejas sea $$\frac{a}{2}$$.

Luego, entiendo que vos estás fijando la cantidad exacta de parejas, también interesa saber cuantos primos hay hasta el número par en cuestión. De allí, si suponés que cada primo forma pareja con un compuesto, al hacer

$$N_p - P = P_{cou}$$

$$P_{cou}$$ es la cantidad de parejas que no pueden tener ningún primo.

Tu razonamiento es válido en el sentido que si $$C_I>1$$ entonces necesariamente hay la misma cantidad de parejas donde ambos son primos.

Estás fijando la cantidad máxima de parejas que tendrían un primo en el caso de que no haya parejas de primos, esto es la misma cantidad de primos que hay en la tabla.

$$P=N_p - P_{cou}$$

Solamente estás contando cuantas parejas podrían tener un primo si es que no hay ninguna con 2.

Después calculas $$X_u$$, que fija el nivel de la tabla que rellenaria todo el fondo si mandaras allí todos los pares compuestos y la quitás, y llamás $$C_I$$ a la cantidad de parejas de compuestos que hay en la zona que tiene una cantidad de parejas igual a la cantidad de primos, por lo tanto si $$C_I>1$$ alguno de los primos necesariamente está emparejado con otro primo. Si $$P_p$$ son las parejas de primos, entonces se cumple que

$$C_I=P_p$$

Pero el problema es que tenés que contar las parejas de compuestos, que de hecho son muchas más que las parejas de primos. Pero al excluir la zona $$P_{cou}$$, es exactamente lo mismo contar parejas de primos que parejas de compuestos. Entonces es como un método más largo para contar parejas de primos, que podrías resolver solo contando parejas de primos. Es una identidad algebraica solamente.

Lo que si me gusta es el enfoque modular $$mod 6$$. Las clases correctas son $$6x$$, $$6x+2$$ y $$6x+4$$. Por ejemplo $$6a+8=6(a+1)+2$$. También el hecho de que tomás las parejas

$$(6x\pm 1, n - 6x\pm1)$$ donde $$n$$ es cualquier número par.

Y de ahí se desprende que no toda combinación vale para cada clase, de hecho:

$$6x = (6a+1) + (6b+5)$$
$$6x+2 = (6a+1) + (6b+1)$$
$$6x+4 = (6a+5) + (6b+5)$$

Y como en el primer caso $$a$$ y $$b$$ pueden recorrer todos los números desde $$0$$ a $$x-1$$ sin repetir ningún valor, la cantidad de parejas es justamente $$x$$.
En los otros dos casos, se ajusta por paridad de $$x$$ y por la clase de $$n$$ y podés obtener siempre la cantidad exacta. Si te interesa está bien detallado en el hilo que puse antes.

Saludos!

[The Tarita]

Hola, Juan Luis

Considero que el subforo de Teoría de Números es más adecuado para presentar investigaciones sobre la Conjetura de Goldbach.

Lo que expongo a continuación es similar a lo que has planteado.

Inicialmente, para estudiar esta conjetura se pueden formar dos sucesiones aritméticas (A y B), que incluyan números primos, y que estén emparejadas de modo que cada término de la sucesión A, sumado con su pareja de la sucesión B, dé el número par correspondiente.

Como el número 1 no puede cumplir la conjetura, lo trataremos como si fuera número compuesto sin que esta cuestión tenga ninguna relevancia.

En principio, todas las parejas de números (primos o compuestos), que suman cualquier número par mayor que 2 estarán formadas por:

Número compuesto sucesión A más número compuesto sucesión B           (parejas CC)
Número compuesto sucesión A o B más número primo sucesión B o A       (parejas CP-PC)
Y, si cumple la Conjetura de Goldbach, número primo sucesión A más número primo sucesión B      (parejas PP)

Definiremos como compuestos libres los que estén emparejados con números primos formando las parejas CP-PC

Para un número par 2N tenemos que N será el número total de parejas de números que suman 2N.
Ejemplo: 2N = 54. Escribimos las sucesiones A y B con todas las parejas de números que suman 54. Números primos marcados en negrita.

A          1      2      3      4      5      6      7      8      9    10    11    12    13    14    15    16    17    18    19    20    21    22    23    24    25    26    27
B        53     52    51    50    49     48    47    46    45    44    43    42    41    40    39    38    37    36    35    34    33    32    31    30    29    28    27

Número de primos sucesión A = 9    (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)
Número de primos sucesión B = 7    (29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(Número de parejas CC) = 16          (4, 50)  (6, 48)  (8, 46)  (9, 45)  (10, 44)  (12, 42)  (14, 40)  (15, 39)  (16, 38)  (18, 36)  (20, 34)  (21, 33)  (22, 32)  (24, 30)  (26, 28)  (27, 27)
(Número de compuestos libres sucesión A = Parejas CP = 2       (1, 53)  (25, 29)
(Número de compuestos libres sucesión B = Parejas PC = 4       (2, 52)  (3, 51)  (5, 49)  (19, 35)
(Número de parejas PP) = 5       (7, 47)  (11, 43)  (13, 41)  (17, 37)  (23, 31)
Número total de parejas = 16 + 2 + 4 + 5 = 27 = N

En general, si el par 2N cumple la Conjetura de Goldbach, resulta:  N = (número de parejas CC) + (número de parejas CP-PC) + (número de parejas PP)

Con todo lo expuesto, se puede definir el siguiente axioma:
(Número de parejas PP) = $$\text{P}_\text{P}$$ = (Número de primos sucesión A $$-$$ número de compuestos libres sucesión B) = (Número de primos de B $$-$$ número de compuestos libres de A)

Aplicándolo a las sucesiones A y B del número par 54:   (Número de parejas PP) = $$\text{P}_\text{P}$$ = $$9-4=7-2=5$$     coincide con el recuento anterior

Teniendo en cuenta el axioma anterior, deduzco que siempre se deben formar las suficientes parejas de números compuestos entre las dos sucesiones para que el número de compuestos libres de la sucesión A sea, como máximo, el número de primos de la B.
Inversamente, el número de compuestos libres de la sucesión B será, como máximo, el número de primos de la A.

Lógicamente, y tal como está definido, este axioma se cumplirá para cualquier número par.
Si un número par no cumple la Conjetura de Goldbach, resultará que $$\text{P}_\text{P}$$ = 0.  Por concepto, $$\text{P}_\text{P}$$ no puede ser, ni número negativo ni decimal.

El axioma definido se puede verificar para diferentes números pares. Comprobaremos que se cumple en todos ellos sin que en ninguno sea $$\text{P}_\text{P}$$ = 0.
Aunque esta verificación resulte positiva, no nos sirve para afirmar que la Conjetura de Goldbach es verdadera. Pudiera suceder que un número par mayor que $$4·10^{18}$$ (límite actual de verificación computacional), no se pudiera expresar como suma de dos primos aunque es muy poco probable.

Para mí, todo lo que he expuesto tiene cierta similitud con lo que has planteado.

En este punto, propongo una línea de investigación para demostrar esta conjetura.
Se debe demostrar que, para cada número par, aunque sea cada vez mayor y hasta el infinito, siempre se forma la cantidad suficiente de parejas CC de modo que el número de compuestos que quedan “libres” siempre es menor que el número de primos disponibles. En consecuencia, aunque todos estos compuestos libres estén emparejados con números primos formando las parejas CP-PC, siempre sobrarán algunos primos que formarán parejas entre ellos cumpliendo la Conjetura de Goldbach.

Apliquemos lo anterior al número 54 que hemos analizado:

(Número de compuestos “libres”) = 6     (1, 52, 51, 49, 35, 25)        Están emparejados con 6 primos   (53, 2, 3, 5, 19, 29)
(Número de primos disponibles en total) = 16     (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(Número de primos disponibles para la conjetura) = 16 – 6 = 10     (7, 11, 13, 17, 23, 31, 37, 41, 43, 47)
(Número de sumas de primos que cumplen Goldbach) = 10 $$\div$$ 2 = 5     (7 + 47)   (11 + 43)   (13 + 41)   (17 + 37)   (23 + 31)

Este razonamiento se puede aplicar a cualquier número par, aunque sea muy grande. Para hacerlo más fácil, usaremos progresiones aritméticas.
Empezaremos con las siguientes 8 progresiones de módulo 30, (30 = 2·3·5). Siendo:  $$n$$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, $$\infty$$

            $$30n+1$$            $$30n+7$$            $$30n+11$$            $$30n+13$$            $$30n+17$$            $$30n+19$$            $$30n+23$$            $$30n+29$$

Estas expresiones representan todas las progresiones aritméticas de módulo 30, ($$30n+b$$), tales que mcd($$30, b$$) = 1 siendo $$30$$ mayor que $$b$$.
Estas 8 progresiones contienen todos los números primos (excepto 2, 3 y 5). También incluyen el 1 y todos los números compuestos que sean múltiplos de primos mayores que 5.
En definitiva, hemos descartado todos los múltiplos de 2, de 3 y de 5.
De este modo, usaremos solo el (8 $$\div$$ 30)·100 = 26,66% de los números naturales, pero manteniendo todos los primos mayores que 5.

Expresemos el conjunto de todos los números pares con progresiones aritméticas de módulo 30.  Siendo:  $$n$$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, $$\infty$$

                              $$30n+2$$                     $$30n+4$$                     $$30n+6$$                   $$30n+8$$                   $$30n+10$$             
                              $$30n+12$$                   $$30n+14$$                   $$30n+16$$                  $$30n+18$$                 $$30n+20$$             
                              $$30n+22$$                   $$30n+24$$                   $$30n+26$$                  $$30n+28$$                 $$30n+30$$

Aplicamos estas progresiones al número 54, que se ha usado como ejemplo.

54 = ($$30n+24$$) = ($$30n_1+1$$) + ($$30n_2+23$$) = (30·0 + 1) + (30·1 + 23) = 1 + 53                 54 = (30·1 + 1) + (30·0 + 23) = 31 + 23          siendo:  $$n$$ = $$n_1$$ + $$n_2$$
54 = ($$30n+24$$) = ($$30n_3+7$$) + ($$30n_4+17$$) = (30·0 + 7) + (30·1 + 17) = 7 + 47                 54 = (30·1 + 7) + (30·0 + 17) = 37 + 17          siendo:  $$n$$ = $$n_3$$ + $$n_4$$
54 = ($$30n+24$$) = ($$30n_5+11$$) + ($$30n_6+13$$) = (30·0 + 11) + (30·1 + 13) = 11 + 43           54 = (30·1 + 11) + (30·0 + 13) = 41 + 13         siendo:  $$n$$ = $$n_5$$ + $$n_6$$

                    A         1     31                            A          7    37                            A        11    41
                    B        53    23                            B        47    17                            B        43    13

(número de parejas CC) = 0
(número de parejas CP-PC) = 1     (1, 53)
(número de parejas PP) = 5          (31, 23)    (7, 47)    (37, 17)    (11, 43)    (41, 13)

Comprobamos que estas 6 parejas ya estaban en el análisis inicial, habiéndose descartado 21 parejas en las que aparecen múltiplos de 2, de 3 o de 5.

Observamos que, usando progresiones de módulo 30 y para el número 54, el análisis es mucho más sencillo. Igualmente parece más seguro que se cumpla la conjetura al haber menos compuestos. Finalmente, aparecen las mismas 5 parejas de primos que en el análisis inicial.

A medida que analicemos números pares más grandes, podemos usar progresiones aritméticas con módulos cada vez mayores.

Si estás interesado en el desarrollo de este planteamiento, puedes consultar el PDF en el subforo de Teoría de Números y en el hilo: ¿Hacia una solución a la Conjetura de Goldbach?.

Saludos cordiales

[juan luis]

Buenas tardes

He leido la forma que tienes de estructurar las parejas en la tabla de un número par, he probado con número 60 que es múltiplo de 3 como el 54 de tu ejemplo, y me da el resultado siguiente:
 
  \( 1+59, 7+53, 11+49, 13+47, 31+29, 37+23, 41+19, 43+17 \)

es decir 8 parejas y no aparecen múltiplos de 3 y 5 me parece estupendo.

Si fuera un número par grande ¿ como calculo la cantidad de parejas que hay en la tabla de ese número (Np)
por ejemplo para:

  \( n=20000012 \)

Muchas gracias
Un saludo

[The Tarita]

Hola, Juan Luis

Analicemos el número 20.000.012. En la respuesta anterior he incluido las progresiones aritméticas, de módulo 30, que contienen todos los números pares.

$$20.000.012=(30·666.667+2)=(30n+2)=(30n_1+1)+(30n_2+1)$$         Siendo: $$666.667=n=n_1+n_2$$
$$20.000.012=(30·666.667+2)=(30n+2)=(30n_3+13)+(30n_4+19)$$      Siendo: $$666.667=n=n_3+n_4+1$$

La combinación $$20.000.012 =(30n_1+1)+(30n_2+1)$$ usa la misma progresión $$(30n+1)$$, para la sucesión A y para la B. En consecuencia, contienen los mismos términos pero escritos en orden inverso reduciéndose a la mitad el número de parejas diferentes.

Para $$20.000.012=(30n_1+1)+(30n_2+1)$$ escribiremos la sucesión $$\text{A}_\text{1}$$ de todos los números $$(30n_1+1)$$ desde 0 hasta 20.000.012.   $$n_1=$$      0,          1,  ...,  666.666, 666.667
Escribiremos también, en orden inverso, la sucesión $$\text{B}_\text{1}$$ de todos los números $$(30n_2+1)$$ desde 0 hasta 20.000.012.                              $$n_2=$$ 666.667, 666.666,  ..., 1,           0

$$\text{A}_\text{1}$$                    1                31                61                91     ...       9.999.961    9.999.991         10.000.021   10.000.051     ...     19.999.921   19.999.951    19.999.981    20.000.011
$$\text{B}_\text{1}$$      20.000.011   19.999.981   19.999.951   19.999.921     ...     10.000.051   10.000.021          9.999.991     9.999.961     ...                  91                61                 31                  1

Los términos marcados en rojo están repetidos por lo que no los tendremos en cuenta en el cómputo final de parejas.

Las sucesiones $$\text{A}_\text{1}$$ y $$\text{B}_\text{1}$$ contienen cada una 666.668 términos. Excluyendo las parejas repetidas, el número de parejas diferentes para estas dos sucesiones será: $$666.668\div2=333.334$$ (términos acabados en 1 y 1).

Para $$20.000.012=(30n_3+13)+(30n_4+19)$$ escribiremos la sucesión $$\text{A}_\text{2}$$ de todos los números $$(30n_3+13)$$ desde 0 hasta 20.000.012.   $$n_3=$$      0,          1,  ...,  666.665, 666.666
Escribiremos también, en orden inverso, la sucesión $$\text{B}_\text{2}$$ de todos los números $$(30n_4+19)$$ desde 0 hasta 20.000.012.                                   $$n_4=$$ 666.666, 666.665,  ..., 1,           0

$$\text{A}_\text{2}$$                   13                 43                 73               103     ...       9.999.973     10.000.003     10.000.033    10.000.063     ...     19.999.933    19.999.963     19.999.993
$$\text{B}_\text{2}$$       19.999.999    19.999.969    19.999.939    19.999.909     ...     10.000.039     10.000.009      9.999.979      9.999.949     ...                  79                 49                  19                 

Las sucesiones $$\text{A}_\text{2}$$ y $$\text{B}_\text{2}$$ contienen cada una 666.667 términos. Lógicamente, éste será el número de parejas que se forman: $$666.667$$ (términos acabados en 3 y 9).

Por lo tanto, el número total de parejas que se forman para el número 20.000.12 usando progresiones aritméticas de módulo 30 será:

$$333.334+666.667=1.000.001$$

Todo lo que he expuesto está ampliamente explicado en el PDF que te recomendé.

Saludos cordiales

[juan luis]

Hola Tarita

Esta claro como calculas la cantidad de parejas de números impares que comtiene un número  par

Otra forma de calcular el número de parejas que no contienen  múltiplos de 5 seria:
calcular, el número de parejas que no contienen múltiplos de 2 ni de 3 y luego restarle las parejas que tienen multiplos de 5
por ejemplo para:

  \( n = 6a+8 = 20000012 \)

  \( N_p =\displaystyle\frac{a}{2} = 1666667 \)

Los las parejas que tienen múltiplos de 5 son:

  \( [\displaystyle\frac{2N_p}{5}] = 666666  \) 

Restamos estas cantidades  y tenemos  el número exacto de parejas pero sin múltiplos de 5

 \( \textrm{El número de perejas sin múltiplos de 5 es } 1666667-666666 = 1000001  \)

Si n termina en 0 las parejas que tienen múltiplos de 5 seria:

  \( [\displaystyle\frac{N_p}{5}] \)

ejemplo para:

  \(  n = 6a+6 =20000010\textrm{ donde }N_p = a =3333334  \)

Los múltiplos de 5 seran:

  \( [\displaystyle\frac{N/p}{5 }] =666666 \)

luego el número de parejas seria:

  [tex] 3333334-666666 = 2666668 \textrm{ parejas sin múltiplos de 5}

Muchas gracias
Un saludo

[The Tarita]

Hola, Juan Luis

Analicemos el número 20.000.010 del mismo modo que he analizado el 20.000.012.

$$20.000.010=(30·666.666+30)=(30n+30)=(30n_1+1)+(30n_2+29)$$         Siendo: $$666.666=n=n_1+n_2$$
$$20.000.010=(30·666.666+30)=(30n+30)=(30n_3+7)+(30n_4+23)$$         Siendo: $$666.666=n=n_3+n_4$$
$$20.000.010=(30·666.666+30)=(30n+30)=(30n_5+19)+(30n_6+11)$$       Siendo: $$666.666=n=n_5+n_6$$
$$20.000.010=(30·666.666+30)=(30n+30)=(30n_7+13)+(30n_8+17)$$       Siendo: $$666.666=n=n_7+n_8$$

Valores de $$n_1, n_3, n_5, n_7$$$$=0, 1, 2, 3, ..., 666.666$$          Valores de $$n_2, n_4, n_6, n_8$$$$=666.666, ..., 3, 2, 1, 0$$

Con la combinación $$20.000.010 =(30n_1+1)+(30n_2+29)$$ se formaran 666.667 parejas de términos acabados en 1 y 9.
Con la combinación $$20.000.010 =(30n_3+7)+(30n_4+23)$$ se formaran 666.667 parejas de términos acabados en 7 y 3.
Con la combinación $$20.000.010 =(30n_5+19)+(30n_6+11)$$ se formaran 666.667 parejas de términos acabados en 9 y 1.
Con la combinación $$20.000.010 =(30n_7+13)+(30n_8+17)$$ se formaran 666.667 parejas de términos acabados en 3 y 7.

Número total de parejas:  $$4·666.667=2.666.668$$          Coincide con lo que has calculado.
En estas parejas no aparecen múltiplos de 2, ni de 3 ni de 5 ya que son términos de progresiones aritméticas de módulo 30, (30=2·3·5).

Aplicando estrictamente el enunciado de la Conjetura de Goldbach, solo necesitamos que una de estas 2.666.668 parejas esté formada por dos números primos para que se cumpla.

Saludos cordiales

[juan luis]

Hola Tarita

Si quieres que tengamos menos parejas en la tabla, podemos eliminar los múltiplos de 5 y tambien los de  7
 Continuamos con

  \( n =6a+8  \)

  \( n = 20000012 \)

  \( N_p =\displaystyle\frac{a}{2 }= 1666667 \)

Quitamos múltiplos de 5

  \( [\displaystyle\frac{2N_p}{5 }]= 666666 \)

Quitamos los múltiplos de 7

  \( [\displaystyle\frac{2N_p}{7 }]= 476190  \)

Añadimos los terminos que son múltiplos de 5 y de 7 simultaneamente

  \( [\displaystyle\frac{2N_p}{35 }]= 95238 \)

Luego el número de parejas sera:

  \( N = 1666667-666666-476190+95238 =619049 \)

El número de parejas de primos se mantiene constante

  \( P_p = 54296  \)

Muchas gracias
Un saludo

[The Tarita]

Hola, Juan Luis

Para descartar los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 7 usaré progresiones aritméticas de módulo 210 (210=2·3·5·7), $$(210n+b)$$ tales que $$\text{mcd}(210, b)=1$$ y siendo $$210>b$$.
En total son 48 progresiones $$(210n+b)$$ siendo los 48 términos $$b$$ los siguientes (números primos en negrita):
1,  11,  13,  17,  19,  23,  29,  31,  37,  41,  43,  47,  53,  59,  61,  67,  71,  73,  79,  83,  89,  97,  101,  103,  107,  109, 113,  121,  127,  131,  137,  139,  143,  149,  151,  157,  163,  167,  169,  173,  179,  181,  187,  191,  193,  197,  199  y  209.
Ejemplos:   $$210n+1$$,    $$210n+11$$,    ...    $$210n+67$$,    $$210n+71$$,    ...    $$210n+137$$,    $$210n+139$$,    ...    $$210n+157$$,    $$210n+163$$,    ...    $$210n+199$$   y   $$210n+209$$

Usemos estas progresiones para analizar el número 20.000.012.       $$20.000.012=(210·95.238+32)=(210n+32)$$

$$(210n+32)=(210n_1+1)+(210n_2+31)$$               Siendo:  $$95.238=n=n_1+n_2$$                  $$95.239$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_3+13)+(210n_4+19)$$             Siendo:  $$95.238=n=n_3+n_4$$                  $$95.239$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_5+43)+(210n_6+199)$$           Siendo:  $$95.238=n=n_5+n_6+1$$            $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_7+61)+(210n_8+181)$$           Siendo:  $$95.238=n=n_7+n_8+1$$            $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_9+73)+(210n_{10}+169)$$          Siendo:  $$95.238=n=n_9+n_{10}+1$$           $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_{11}+79)+(210n_{12}+163)$$         Siendo:  $$95.238=n=n_{11}+n_{12}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_{13}+103)+(210n_{14}+139)$$       Siendo:  $$95.238=n=n_{13}+n_{14}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+32)=(210n_{15}+121)+(210n_{16}+121)$$       Siendo:  $$95.238=n=n_{15}+n_{16}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos duplicadas. Total: $$47.619$$ parejas diferentes

Número total de parejas:    $$(2·95.239)+(5·95.238)+47.619=$$$$714.287$$  (valor anterior corregido)    No coincide con el valor que has calculado: $$(619.049)$$. 

El método que usas se complica a medida que vas descartando múltiplos de primos. Primero quitas los múltiplos de 5, después los de 7. Como los múltiplos de 35 los has quitado dos veces, debes calcular su valor y añadirlo. Este proceso se complica enormemente cuando intervienen más primos (11, 13, 17, ...) por lo que, finalmente, este procedimiento no es viable.

En tu respuesta, después de quitar los múltiplos de 7, añades los múltiplos de 35. El resultado final, difiere del calculado en esta respuesta.
Hagamos el cálculo partiendo de 1.000.001 (número de parejas sin múltiplos de 2, ni de 3 ni de 5).

Si a estas parejas les quitamos directamente los múltiplos de 7 resulta:   $$\frac{1.000.001·2}{7}=285.714$$  múltiplos de 7.

Como 20.000.012 no es divisible por 7, estos múltiplos de 7 calculados anularan otras tantas parejas, por lo que el número final de parejas será: $$1.000.001-285.714=$$$$714.287$$.
He detectado un error (ya corregido) en esta respuesta. Finalmente, este resultado coincide con el que se ha calculado con las progresiones aritméticas.

No tengo calculado el número de parejas de primos. Como 20.000.012 no es múltiplo de 3, ni de 5 ni de 7, el número de parejas de primos permanece constante aunque hagamos los cálculos de diferentes maneras.

Quisiera hacer un comentario respecto al procedimiento para estudiar esta conjetura.
Observo que, en general, se prioriza el cálculo de las parejas de términos (primos o compuestos), que suman un determinado número par.
Me pregunto: ¿conocer este número de parejas es indispensable para demostrar la Conjetura de Goldbach?
Recordemos que solo se necesita una pareja de primos para cada número par para que la conjetura sea verdadera. El resto de parejas que hemos calculado no es, estrictamente, necesario.

Analicemos el número 20.000.012.

$$20.000.012=(30·666.667+2)=(30n+2)=(30n_1+13)+(30n_2+19)$$      Siendo: $$666.667=n=n_1+n_2+1$$

Para $$20.000.012=(30n_1+13)+(30n_2+19)$$ escribiremos la sucesión $$\text{A}$$ de todos los números $$(30n_1+13)$$ desde 0 hasta 20.000.012.        $$n_1=$$      0,          1,  ...,  666.665, 666.666
Escribiremos también, en orden inverso, la sucesión $$\text{B}$$ de todos los números $$(30n_2+19)$$ desde 0 hasta 20.000.012.                                      $$n_2=$$ 666.666, 666.665,  ..., 1,           0

$$\text{A}$$                   13                 43                 73               103     ...       9.999.973     10.000.003     10.000.033    10.000.063     ...     19.999.933    19.999.963     19.999.993
$$\text{B}$$       19.999.999    19.999.969    19.999.939    19.999.909     ...     10.000.039     10.000.009      9.999.979      9.999.949     ...                  79                 49                  19                 

Las sucesiones $$\text{A}$$ y $$\text{B}$$ contienen cada una 666.667 términos. Lógicamente, éste será el número de parejas que se forman: $$666.667$$ (parejas de términos acabados en 3 y 9).

Mi planteamiento consiste en estudiar estas dos sucesiones aritméticas ($$\text{A}$$ y $$\text{B}$$). Este estudio no está incluido en esta respuesta.
Básicamente, analizo la relación de cada término de la sucesión $$\text{A}$$ con su correspondiente pareja de la sucesión $$\text{B}$$, y viceversa, ya que la suma de ambos es el número par analizado.
Finalmente, después de un proceso analítico, se puede afirmar que, usando progresiones aritméticas de módulo 30, la Conjetura de Goldbach se cumple, como mínimo, hasta $$10^{11,4}$$ sin que sea necesario precisar el número de parejas de primos que se forman ya que siempre resulta que es igual o mayor que 1.

Aplicando el mismo procedimiento, y usando progresiones de módulo 210, se puede afirmar que la conjetura se cumple, como mínimo, hasta $$10^{21}$$
Con progresiones de módulo 2.310 se cumple, como mínimo, hasta $$10^{27}$$              $$2.310=2·3·5·7·11$$
Con módulo 30.030, se cumple, como mínimo hasta $$10^{38}$$                                    $$30.030=2·3·5·7·11·13$$
Si continuamos con módulos cada vez mayores aseguramos la conjetura para números pares muy grandes.
Con módulo 223.092.870, se cumple, como mínimo, hasta $$10^{77}$$                           $$223.092.870=2·3·5·7·11·13·17·19·23$$
Y continuando con módulos cada vez mayores, hasta el infinito, aseguramos la Conjetura de Goldbach también hasta el infinito.

Finalmente, se puede afirmar:     La Conjetura de Goldbach es verdadera

Saludos cordiales

[juan luis]

Hola Tarita

Para ir quitando múltiplos de los diferentes primos, no es nada complicado si al Np le quitamos las parejas que tienen un múltiplo de 5, 7, 11,y 13 seria:

\( N = Np(1-\displaystyle\frac{2}{5 })(1-\displaystyle\frac{2}{7 })(1-\displaystyle\frac{2}{11 })(1-\displaystyle\frac{2}{13 }) \)

En el caso de n = 20000012 tenemos:

  \( N=1666667(\displaystyle\frac{1485}{5005 }) = 494505  \)

Donde N son las parejas que nos quedan.

Me parece estupendo la forma que tienes de enfocar el problema, yo me baso en lo siguiente:
busco parejas compuesto-compuesto  en la zona final de la tabla, que es la zona Pl

  \( P_l = N_p-X_u  \)

Cada pareja de compuestos que hay en la zona Pl representa una pareja de primos  en toda la tabla, luego si:

  \( P_l\geq{35 } \)

aseguramos una pareja de compuestos y por lo tanto una representación de Goldbach.
he comprobado empiricamente que Pl tiene un crecimiento asintotico y crece con el valor de n de la forma:

  \( P_l(n) = R\displaystyle\frac{n}{(ln n)^2 } \)

donde R  se mueve  en el entorno de 1 en las familias 6a+4 y 6a+8 y en el entorno de 2 en 6a+6,
ejemplo

  \( n = 20000012\longrightarrow{P_l\approx{82377\longrightarrow{R = 1.1640}}} \)

  \( n = 39000031196\longrightarrow{P_l\approx{75106297\longrightarrow{R = 1.1453}}} \)

para 100 valores intermedios se mantiene el entorno de 1 . Se ve claramente  que el decrecimiento de de R no compensa el crecimiento de:

  \( \displaystyle\frac{n}{(ln n)^2} \)

En las familias 6a+4 y 6a+8 para a impar la última pareja de la tabla nunca puede ser mixta porque sus dos terminos son iguales luego teoricamente se cumple la conjetura siempre

Muchas gracias
saludos
 
 

[The Tarita]

Hola, Juan Luis

Hola The Tarita

Para ir quitando múltiplos de los diferentes primos, no es nada complicado si al Np le quitamos las parejas que tienen un múltiplo de 5, 7, 11,y 13 seria:

\( N = Np(1-\displaystyle\frac{2}{5 })(1-\displaystyle\frac{2}{7 })(1-\displaystyle\frac{2}{11 })(1-\displaystyle\frac{2}{13 }) \)

En el caso de n = 20000012 tenemos:

  \( N=1666667(\displaystyle\frac{1485}{5005}) = 494505  \)
 

Si lo aplicamos al número 20.000.012, usado como ejemplo, hasta los múltiplos de 7 resulta:

\( N=Np(1-\displaystyle\frac{2}{5 })(1-\displaystyle\frac{2}{7 })=1.666.667(\displaystyle\frac{3}{7}) = 714.286  \)  parejas sin múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5 ni de 7. Coincide con lo calculado anteriormente.

Pongamos ahora como ejemplo el número 20.000.008 que es múltiplo de 7. ¿Es en este caso:  $$N_P=1.666.667$$?
Aplicando la misma fórmula, resultaría igual que para 20.000.012        $$N=714.286$$ parejas sin múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5 ni de 7.

Analicemos este número con progresiones aritméticas de módulo 210.   $$20.000.008=(210·95.238+28)=(210n+28)$$

$$(210n+28)=(210n_1+11)+(210n_2+17)$$               Siendo:  $$95.238=n=n_1+n_2$$                  $$95.239$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_3+29)+(210n_4+209)$$             Siendo:  $$95.238=n=n_3+n_4+1$$            $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_5+41)+(210n_6+197)$$             Siendo:  $$95.238=n=n_5+n_6+1$$            $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_7+47)+(210n_8+191)$$             Siendo:  $$95.238=n=n_7+n_8+1$$            $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_9+59)+(210n_{10}+179)$$            Siendo:  $$95.238=n=n_9+n_{10}+1$$           $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_{11}+71)+(210n_{12}+167)$$           Siendo:  $$95.238=n=n_{11}+n_{12}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_{13}+89)+(210n_{14}+149)$$           Siendo:  $$95.238=n=n_{13}+n_{14}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_{15}+101)+(210n_{16}+137)$$         Siendo:  $$95.238=n=n_{15}+n_{16}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos
$$(210n+28)=(210n_{17}+107)+(210n_{18}+131)$$         Siendo:  $$95.238=n=n_{17}+n_{18}+1$$          $$95.238$$ parejas de términos

Número total de parejas:    $$95.239+(8·95.238)=857.143$$    Difiere notablemente del calculado previamente.

Para los números pares no divisibles por 7, cuando queremos descartar los múltiplos de 7, cada múltiplo elimina una pareja anterior ya que están emparejados con términos que no son múltiplos de 7.
En cambio, para los números pares que son múltiplos de 7, cuando queremos descartarlos, los múltiplos de 7 están emparejados entre sí por lo que el número de parejas que descartarán será la mitad respecto a los pares no múltiplos de 7.
Para el número analizado 20.000.008, a partir de estos datos, el análisis no se puede considerar preciso para el primo 7 y los siguientes: 11, 13, 17, ...

Conclusión:
La fórmula que usas da resultados precisos cuando se analizan potencias de 2. En cambio, da resultados notablemente menores que los reales cuando el número par es múltiplo de uno o varios primos mayores que 3.
Si el par es múltiplo de 7, opino que cambiando la fracción $$\frac{2}{7}$$ por la fracción $$\frac{1}{7}$$ se recuperaría la precisión.
Me queda la duda de que, si el número par es múltiplo de varios primos y cambiamos las fracciones correspondientes, el resultado continuaría siendo preciso.

Saludos