[danizafa]

Hola feriva,
También me perdí en tu post.
Pero aprovecho para compartit un punto de vista interesante para este problema.

Para cualquier número par $$2n$$, la cantidad de soluciones que permiten expresarlo como suma de 2 números naturales está dada por $$n$$.
Para Goldbach interesan solo cuantas de esas soluciones están compuestas por 2 números primos. Estrictamente interesa que para cualquier número par $$2n\ge 4$$ exista al menos una solución $$a+b=2n$$ tal que $$a$$ y $$b$$ sean primos.

Si trabajamos $$2n \equiv 2j\pmod 6$$ podríamos reducir la cantidad de soluciones al tiempo que damos una estructura de esas soluciones. Desde esta perspectiva los números pares quedan comprendidos en una de 3 clases congruenciales mod 6:

\[
2n
\begin{cases}
\equiv 0 \pmod 6 \\
\equiv 2 \pmod 6 \\
\equiv 4 \pmod 6
\end{cases}
\]

Como nos interesan las soluciones donde ambos sumandos son primos, también podemos restringir la existencia de los primos de la siguiente manera:

\[
p
\begin{cases}
= 2 \\
= 3 \\
\equiv 1 \pmod 6 \\
\equiv 5 \pmod 6
\end{cases}
\]

De ahora en más me referiré a las clases como $$6t+r$$ donde $$r\in\{0,1,\dots,5\}$$ es el residuo que determina la clase modular y $$t \in \mathbb{N}_0$$ va a representar el índice del número en dicha clase. Al mencionar "solución" me refiero a solución de la ecuación $$2n=a+b$$

Particularmente el $$2$$ solo puede estar contenido en la solución de $$4=2+2$$. Ya que para cualquier otro número par implicaria que el otro sumando fuera par $$>2$$, por lo tanto no puede ser primo.

Con el $$3$$ pasa similar que con el $$2$$ para el caso $$6=3+3$$, pero si puede formar otras soluciones que detallo a continuación junto con todas las posibles soluciones basadas en esta estructura modular:

Dado que $$2$$ quedó confinado a la solución $$4=2+2$$, de ahora en adelante podemos centrarnos en las soluciones donde los sumandos sean $$3, 6t+1, 6t+5$$. Cada forma modular par, solo admitirá una forma de solución principal, y solo $$2n \equiv \{2 \text{ o } 4\}$$ admitirá una solución que incluye al $$3$$.

Tomemos
\[
\begin{cases}
2n = 6t_{2n}+r \\
a = 6t_{a}+r \\
b = 6t_{b}+r
\end{cases}
\]

\[
2n
\begin{cases}
\equiv 0 \pmod 6 = 6t_{2n} = (6t_a+1)+(6t_b+5) \\
\equiv 2 \pmod 6 = 6t_{2n}+2 = (6t_a+1)+(6t_b+1) \quad \text{ o única solución } 3+(6(t_{2n}-1)+5) \\
\equiv 4 \pmod 6 = 6t_{2n}+4 = (6t_a+5)+(6t_b+5) \quad \text{ o única solución } 3+(6t_{2n}+1)
\end{cases}
\]

De esta forma hemos clasificado las soluciones estructuralmente, disminuyendo notablemente la cantidad de soluciones a la ecuación para la suma de un número par. Incluso podemos contabilizar exactamente las soluciones para cada caso:

1) Caso $$2n \equiv 0 \pmod 6$$:
En este caso tenemos que $$a$$ y $$b$$ pertenecen a distintas clases modulares, por lo que ambas recorren los indices desde $$0$$ a $$t_{2n}$$ sin que ello implique la misma suma, por lo tanto, la cantidad de soluciones es $$t_{2n}$$.

2) Caso $$2n \equiv 2 \pmod 6$$:
En este caso tanto $$a$$ como $$b$$ recorren la misma clase, por lo tanto, al llegar a la mitad solo intercambiarán valores. Para un cálculo exacto, debemos atender la paridad de $$t_{2n}$$.
\[
\begin{cases}
t_{2n} \text{ impar}\rightarrow \dfrac{t_{2n}+1}{2} \text{ soluciones} *\\
t_{2n} \text{ par}\rightarrow \dfrac{t_{2n}}{2} +1 \text{ soluciones} *
\end{cases}
\]
Cuando $$t_{2n}$$ es par, aparece el par central simétrico $$t_a=t_b$$, lo que origina esa solución adicional.

$$*$$ A estas soluciones se adiciona una más dada por $$3+(6(t_{2n}-1)+5)$$.

3) Caso $$2n \equiv 4 \pmod 6$$:
En este caso tanto $$a$$ como $$b$$ recorren la misma clase, por lo tanto, el análisis va a ser similar al caso anterior.
\[
\begin{cases}
t_{2n} \text{ impar}\rightarrow \dfrac{t_{2n}+1}{2} \text{ soluciones} *\\
t_{2n} \text{ par}\rightarrow \dfrac{t_{2n}}{2} \text{ soluciones} *
\end{cases}
\]
La diferencia es que, en este caso, aparece el par central simétrico $$t_a=t_b$$ cuando $$t_{2n}$$ es impar pero el conteo sigue la misma fórmula que en el caso anterior. Cuando $$t_{2n}$$ es par, el número de pares $$(a,b)$$ es simplemente $$t_{2n}/2$$.

$$*$$ A estas soluciones se adiciona una más dada por $$3+(6t_{2n}+1)$$.

La diferencia de soluciones se ve al tener en cuenta que

\[
t_{2n} = \frac{2n-r}{6}
\]

Y no hemos dejado afuera a ningún primo.

Luego, para valores de $$a$$ y $$b$$, simplemente recorremos los valores en el indice $$t$$ y vemos como estos se estructuran de manera simetrica uno respecto del otro.

Y bueno, desde acá ya se puede trabajar con los pares $$(t_a,t_b)$$ o mejor aún: $$(t_a,t_{2n}-t_a)$$ para $$2n\equiv 2 \pmod6$$ o bien $$(t_a,t_{2n}-t_a-1)$$ para los otros dos casos.

Para concluir, acá hemos reducido la cantidad de soluciones a la ecuación $$2n=a+b$$ a los casos más relevantes. Y a partir de acá el tema es solamente cuantos pares indices corresponden a primos para ambos sumandos, con lo que verificarían Goldbach.

Saludos.

[feriva]

Hola feriva,
También me perdí en tu post.
Pero aprovecho para compartit un punto de vista interesante para este problema.

Para cualquier número par $$2n$$, la cantidad de soluciones que permiten expresarlo como suma de 2 números naturales está dada por $$n$$.
Para Goldbach interesan solo cuantas de esas soluciones están compuestas por 2 números primos. Estrictamente interesa que para cualquier número par $$2n\ge 4$$ exista al menos una solución $$a+b=2n$$ tal que $$a$$ y $$b$$ sean primos.

Si trabajamos $$2n \equiv 2j\pmod 6$$ podríamos reducir la cantidad de soluciones al tiempo que damos una estructura de esas soluciones. Desde esta perspectiva los números pares quedan comprendidos en una de 3 clases congruenciales mod 6:

\[
2n
\begin{cases}
\equiv 0 \pmod 6 \\
\equiv 2 \pmod 6 \\
\equiv 4 \pmod 6
\end{cases}
\]

Como nos interesan las soluciones donde ambos sumandos son primos, también podemos restringir la existencia de los primos de la siguiente manera:

\[
p
\begin{cases}
= 2 \\
= 3 \\
\equiv 1 \pmod 6 \\
\equiv 5 \pmod 6
\end{cases}
\]

De ahora en más me referiré a las clases como $$6t+r$$ donde $$r\in\{0,1,\dots,5\}$$ es el residuo que determina la clase modular y $$t \in \mathbb{N}_0$$ va a representar el índice del número en dicha clase. Al mencionar "solución" me refiero a solución de la ecuación $$2n=a+b$$

Particularmente el $$2$$ solo puede estar contenido en la solución de $$4=2+2$$. Ya que para cualquier otro número par implicaria que el otro sumando fuera par $$>2$$, por lo tanto no puede ser primo.

Con el $$3$$ pasa similar que con el $$2$$ para el caso $$6=3+3$$, pero si puede formar otras soluciones que detallo a continuación junto con todas las posibles soluciones basadas en esta estructura modular:

Dado que $$2$$ quedó confinado a la solución $$4=2+2$$, de ahora en adelante podemos centrarnos en las soluciones donde los sumandos sean $$3, 6t+1, 6t+5$$. Cada forma modular par, solo admitirá una forma de solución principal, y solo $$2n \equiv \{2 \text{ o } 4\}$$ admitirá una solución que incluye al $$3$$.

Tomemos
\[
\begin{cases}
2n = 6t_{2n}+r \\
a = 6t_{a}+r \\
b = 6t_{b}+r
\end{cases}
\]

\[
2n
\begin{cases}
\equiv 0 \pmod 6 = 6t_{2n} = (6t_a+1)+(6t_b+5) \\
\equiv 2 \pmod 6 = 6t_{2n}+2 = (6t_a+1)+(6t_b+1) \quad \text{ o única solución } 3+(6(t_{2n}-1)+5) \\
\equiv 4 \pmod 6 = 6t_{2n}+4 = (6t_a+5)+(6t_b+5) \quad \text{ o única solución } 3+(6t_{2n}+1)
\end{cases}
\]

De esta forma hemos clasificado las soluciones estructuralmente, disminuyendo notablemente la cantidad de soluciones a la ecuación para la suma de un número par. Incluso podemos contabilizar exactamente las soluciones para cada caso:

1) Caso $$2n \equiv 0 \pmod 6$$:
En este caso tenemos que $$a$$ y $$b$$ pertenecen a distintas clases modulares, por lo que ambas recorren los indices desde $$0$$ a $$t_{2n}$$ sin que ello implique la misma suma, por lo tanto, la cantidad de soluciones es $$t_{2n}$$.

2) Caso $$2n \equiv 2 \pmod 6$$:
En este caso tanto $$a$$ como $$b$$ recorren la misma clase, por lo tanto, al llegar a la mitad solo intercambiarán valores. Para un cálculo exacto, debemos atender la paridad de $$t_{2n}$$.
\[
\begin{cases}
t_{2n} \text{ impar}\rightarrow \dfrac{t_{2n}+1}{2} \text{ soluciones} *\\
t_{2n} \text{ par}\rightarrow \dfrac{t_{2n}}{2} +1 \text{ soluciones} *
\end{cases}
\]
Cuando $$t_{2n}$$ es par, aparece el par central simétrico $$t_a=t_b$$, lo que origina esa solución adicional.

$$*$$ A estas soluciones se adiciona una más dada por $$3+(6(t_{2n}-1)+5)$$.

3) Caso $$2n \equiv 4 \pmod 6$$:
En este caso tanto $$a$$ como $$b$$ recorren la misma clase, por lo tanto, el análisis va a ser similar al caso anterior.
\[
\begin{cases}
t_{2n} \text{ impar}\rightarrow \dfrac{t_{2n}+1}{2} \text{ soluciones} *\\
t_{2n} \text{ par}\rightarrow \dfrac{t_{2n}}{2} \text{ soluciones} *
\end{cases}
\]
La diferencia es que, en este caso, aparece el par central simétrico $$t_a=t_b$$ cuando $$t_{2n}$$ es impar pero el conteo sigue la misma fórmula que en el caso anterior. Cuando $$t_{2n}$$ es par, el número de pares $$(a,b)$$ es simplemente $$t_{2n}/2$$.

$$*$$ A estas soluciones se adiciona una más dada por $$3+(6t_{2n}+1)$$.

La diferencia de soluciones se ve al tener en cuenta que

\[
t_{2n} = \frac{2n-r}{6}
\]

Y no hemos dejado afuera a ningún primo.

Luego, para valores de $$a$$ y $$b$$, simplemente recorremos los valores en el indice $$t$$ y vemos como estos se estructuran de manera simetrica uno respecto del otro.

Y bueno, desde acá ya se puede trabajar con los pares $$(t_a,t_b)$$ o mejor aún: $$(t_a,t_{2n}-t_a)$$ para $$2n\equiv 2 \pmod6$$ o bien $$(t_a,t_{2n}-t_a-1)$$ para los otros dos casos.

Para concluir, acá hemos reducido la cantidad de soluciones a la ecuación $$2n=a+b$$ a los casos más relevantes. Y a partir de acá el tema es solamente cuantos pares indices corresponden a primos para ambos sumandos, con lo que verificarían Goldbach.

Saludos.

Hola, danizafa.

Lo he mirado muy por encima, luego, lo miro más despacio.

Pero, así por encima, ¿no serían al final los números de la forma $$ 6n\pm 1? $$

Si quitas el 2 y el 3, todos son de esa, puesto que $$5\equiv-1$$ mod 6.

El razonamiento es sencillo. Al ser impares mayores que 3 y no ser múltiplos ni de 2 ni de 3 (por ser primos mayores que 3) los únicos restos que quedan son ésos.

Muchas gracias por el interés.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 danizafa: he separado a un nuevo hilo tu idea de lo que expone feriva. Todo junto se presta a confusión.

 En lo que he leído básicamente descartar a la hora de analizar primos que sumen pares los que no tengan resto \( 1 \) ó \( 5 \) módulo \( 6 \) (porque no pueden ser primos). Pero no veo que eso facilite sustancialmente las cosas; entre todos esos que tienen restos factibles para primos, sigue habiendo primos y compuestos.

Saludos.

 

[danizafa]

Hola

 danizafa: he separado a un nuevo hilo tu idea de lo que expone feriva. Todo junto se presta a confusión.

 En lo que he leído básicamente descartar a la hora de analizar primos que sumen pares los que no tengan resto \( 1 \) ó \( 5 \) módulo \( 6 \) (porque no pueden ser primos). Pero no veo que eso facilite sustancialmente las cosas; entre todos esos que tienen restos factibles para primos, sigue habiendo primos y compuestos.

Saludos.

 

Hola Luis, bueno, gracias.
Yo lo he mencionado por el hecho de que el habló de la cantidad de soluciones.

Si facilita las cosas, pero habría que entender como puede trabajarse con el eje $$t$$. Basicamente se puede cribar esas columnas de manera muy sencilla usando concruencias puras.

Por ejemplo:

Todos los multiplos de $$5$$ en la columna $$6t+5$$ se encuentran en los $$t\equiv0 \pmod 5$$ y en la columna $$6t+1$$ se encuentran en los $$t\equiv 4 \pmod 5$$.
Luego esto puede hacerse para cada primo, solo se tiene que seguir la regla de la congruencia que corresponde... que básicamente para un primo $$p$$ es en su columna de origen es $$t \equiv t_p \pmod p$$ y en la otra columna es $$t \equiv p-1-t_p \pmod p$$ esto último surge basicamente de que es el índice de $$5p$$ que es el primer múltiplo en la columna opuesta.

luego si para cada número par $$2n$$ ves las sumas, te das cuenta que a medida que aumentas en 1 el índice de uno de los sumandos, en el otro el índice baja en 1, esto son saltos de 6 unidades en los naturales...

entonces por ejemplo:

$$12=5+7$$
$$12=11+1$$

$$18=1+17$$
$$18=7+11$$
$$18=13+5$$

Entonces, pudiendo eliminar exactamente los índices que producen un natural compuesto, tenés un control exacto de los pares que no cumplen goldbach. Ahora si te fijas en los ejemplos para $$12$$ y $$18$$, esos pares tienen $$t=2$$ y $$t=3$$ respectivamente, que es exactamente la cantidad de soluciones que se cuentan en los pares $$6t+0$$ y son las únicas soluciones que podrían cumplir Goldbach estructuralmente, todas las demás no cumplen Goldbach y esto lo podemos filtrar a priori. En ambos casos descartamos $$1/3$$ de las soluciones.

Hola, danizafa.

Lo he mirado muy por encima, luego, lo miro más despacio.

Pero, así por encima, ¿no serían al final los números de la forma $$ 6n\pm 1? $$

Si quitas el 2 y el 3, todos son de esa, puesto que $$5\equiv-1$$ mod 6.

El razonamiento es sencillo. Al ser impares mayores que 3 y no ser múltiplos ni de 2 ni de 3 (por ser primos mayores que 3) los únicos restos que quedan son ésos.

Muchas gracias por el interés.

Saludos.

Hola feriva, si efectivamente son los números de la forma $$6n\pm 1$$, pero a mi no me gusta escribirlo de esa forma, sino tratarlos como dos columnas separadas, estos números pueden relacionarse de manera muy sencilla, yo he tratado de juntar lo que estudié sobre ellos, y lo he compartido en ese artículo que he llamado "Criba indexada..." que compartí en la sección La Revista del Foro.

Para que te des una idea de como se puede trabajar con el índice $$t$$ te muestro un ejemplo donde podemos ubicar los índices de las potencias de un número primo $$p$$, acá hay que separar el caso $$6t+1$$ o $$6t+5$$, porque se comportan distinto:

tomemos las potencias $$p^m$$ y tratemos de ubicar los índices $$t_m$$:

1) Caso $$6t+1$$: Todas las potencias son de la forma $$6n+1$$ y los índices cumplen:

\[
t_m = t_1 \cdot \sigma(p^{m-1})
\]
donde $$\sigma$$ es la función suma de divisores de Euler.

Asi, los índices de las potencias de 7 serían por ejemplo:

$$t_1=\frac{7-1}{6}=1\Rightarrow 6(1)+1=7$$
$$t_2=1\cdot 8 \Rightarrow 6(8)+1=49$$
$$t_3=1\cdot 57\Rightarrow 6(57)+1=343$$
$$t_4=1\cdot 400\Rightarrow 6(400)+1=2401$$

2) Caso $$6t+5$$: Acá las potencias alternan entre clases, si tomamos $$p^m$$ las potencias pares serán de la forma $$6n+1$$ y las potencias impares serán $$6n+5$$, pero no permite una factorización limpia usando la función sigma de Euler... Pero si podemos obtener los índices de la siguiente manera:

Ejemplo con 11:
$$t_1=\frac{11-5}{6}=1\Rightarrow 6(1)+5=11$$
$$t_2$$ se calcula como $$t_2 = (p-1-t_p) + t_1 \cdot p$$ en este caso $$t_2=(11-1-1)+1\cdot 11=20 \Rightarrow 6(20)+1=121$$
$$t_3=t_p + t_2 \cdot p=1+20\cdot 11=221 \Rightarrow 6(221)+5=1331$$
$$t_4=(p-1-t_p) +t_3 \cdot p = 9 + 221 \cdot 11=2440 \Rightarrow 6(2440)+1=14641$$

Con está forma recurrente encontras los indices de las potencias, recordando luego que las potencias pares son $$6n+1$$ y las impares $$6n+5$$

Y por eso yo prefiero separar bien claro estás clases, además porque yo trabajo en $$t$$ no en $$\mathbb{N}$$. Y si tenés en cuenta que $$6t-1=6(t-1)+5$$ podés ver que la expresión me distorsiona $$t$$ por más que el número sea el mismo.



Volviendo a lo que dijo Luis de que no ve como facilite trabajar Goldbach, ahora acomodas los pares de acuerdo al índice, los diagonalizas, y por congruencias los cribas, eliminando todo el par (a,b) si uno de los elementos no cumple, entonces es una manera de verlo desde otra perspectiva, y trabajando con un espacio de soluciones reducida. Y existe la posibilidad de descartar las soluciones que no cumplen Goldbach cribando los indices.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola, eso que explicabas para mi tiene una lógica conocida, en su momento explore  hacer algo parecido, te lo cuento 

La idea era hacer una función $$f(t)$$ y una $$g(t)$$ cuyas imágenes son $$1$$ y $$0$$ cuando hay un primo o no.

$$f(t)=\begin{cases}{ 1}&\text{si}&  6t+1 &\text{ es primo}\\ 0& \text{si}& 6t+1&\text{es compuesto}\end{cases}$$


$$g(t)=\begin{cases}{ 1}&\text{si}&  6t-1 &\text{ es primo}\\ 0& \text{si}& 6t-1&\text{es compuesto}\end{cases}$$

Si $$k$$ es el entero menor a $$2n/6$$  esto  es discutible no lo estoy verificando 100% al postear sino que la idea es divulgar el tema de fondo.

• Si $$2n$$ es $$0mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k f(t)\cdot g(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.
• Si $$2n$$ es $$1mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k g(t)\cdot g(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.
• Si $$2n$$ es $$2mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k f(t)\cdot f(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.

Pensé en ese momento que era mas fácil de recorrer el loop 6 veces mas rápido que los naturales, pero no evito verificar la primalidad para establecer cuanto vale $$f(t)$$ o $$g(t)$$,  digamos que estaría bueno que sean provistos como una función o librería incorporada a Python u otro software de desarrollo  en C++ .

De esa manera avanzando con $$t$$ podríamos ir verificando si existe alguna suma igual cero (con lo que Godbach es falsa), si no lo es , incrementa $$n$$ y se comienza a iterar para calcular $$S$$ y si en medio de la suma se sabe que deja de ser $$0$$, entonces se avanza al siguiente $$2n$$ y se recalcula $$S$$.
Era una forma de intentar ser exhaustivo y rápido en la búsqueda de contraejemplo, nada útil para demostrar veracidad.
Una ves se haya alcanzado algún  $$2n$$ cuya $$S$$ sea cero entonces allí se verificaría  para el primo $$3$$,  si $$2n-3$$ es compuesto entonces Goldbach es falsa no hace falta verificar el $$2$$.
pero cuando analizas numero $$n$$ de 100 cifras $$t$$ mínimo tiene 99 cifras.. mucho no se ahorra con  tan tanto análisis previo...

Otra forma de avanzar para buscar era  hacer $$2n=2\cdot\prod p_i $$ tal que $$ f(t_i)=0 $$ esto hace que $$g(k-t_i)$$ sea probablemente $$0$$  y útil al conocerse si  $$2n$$ es $$0,1\ o\ 2 mod 3$$

Pero son manotazos de ahogado (pues nunca  se pueden incluir todos los $$t_i$$, solo elimina algunos términos de la suma) y con el incremento de tiempo de evaluación de primos y de la cantidad necesaria para verificar exhaustivamente hay poco se pueda hacer.   

[danizafa]

Hola, eso que explicabas para mi tiene una lógica conocida, en su momento explore  hacer algo parecido, te lo cuento 

La idea era hacer una función $$f(t)$$ y una $$g(t)$$ cuyas imágenes son $$1$$ y $$0$$ cuando hay un primo o no.

$$f(t)=\begin{cases}{ 1}&\text{si}&  6t+1 &\text{ es primo}\\ 0& \text{si}& 6t+1&\text{es compuesto}\end{cases}$$


$$g(t)=\begin{cases}{ 1}&\text{si}&  6t-1 &\text{ es primo}\\ 0& \text{si}& 6t-1&\text{es compuesto}\end{cases}$$

Si $$k$$ es el entero menor a $$2n/6$$  esto  es discutible no lo estoy verificando 100% al postear sino que la idea es divulgar el tema de fondo.

• Si $$2n$$ es $$0mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k f(t)\cdot g(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.
• Si $$2n$$ es $$1mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k g(t)\cdot g(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.
• Si $$2n$$ es $$2mod 3$$ entonces si   $$S=\sum\limits_{t=1}^k f(t)\cdot f(2k-t)=0$$ Goldbach es falsa, pero si en algún momento $$S>0$$ entonces ya hay una pareja de primos que verifica Goldbach.

Pensé en ese momento que era mas fácil de recorrer el loop 6 veces mas rápido que los naturales, pero no evito verificar la primalidad para establecer cuanto vale $$f(t)$$ o $$g(t)$$,  digamos que estaría bueno que sean provistos como una función o librería incorporada a Python u otro software de desarrollo  en C++ .

De esa manera avanzando con $$t$$ podríamos ir verificando si existe alguna suma igual cero (con lo que Godbach es falsa), si no lo es , incrementa $$n$$ y se comienza a iterar para calcular $$S$$ y si en medio de la suma se sabe que deja de ser $$0$$, entonces se avanza al siguiente $$2n$$ y se recalcula $$S$$.
Era una forma de intentar ser exhaustivo y rápido en la búsqueda de contraejemplo, nada útil para demostrar veracidad.
Una ves se haya alcanzado algún  $$2n$$ cuya $$S$$ sea cero entonces allí se verificaría  para el primo $$3$$,  si $$2n-3$$ es compuesto entonces Goldbach es falsa no hace falta verificar el $$2$$.
pero cuando analizas numero $$n$$ de 100 cifras $$t$$ mínimo tiene 99 cifras.. mucho no se ahorra con  tan tanto análisis previo...

Otra forma de avanzar para buscar era  hacer $$2n=2\cdot\prod p_i $$ tal que $$ f(t_i)=0 $$ esto hace que $$g(k-t_i)$$ sea probablemente $$0$$  y útil al conocerse si  $$2n$$ es $$0,1\ o\ 2 mod 3$$

Pero son manotazos de ahogado (pues nunca  se pueden incluir todos los $$t_i$$, solo elimina algunos términos de la suma) y con el incremento de tiempo de evaluación de primos y de la cantidad necesaria para verificar exhaustivamente hay poco se pueda hacer.   

Hola Richard, yo tengo mi versión de prueba de Goldbach, pero no me animo a mostrarla. 

Para demostrar la falsedad de Goldbach, si basta con un contraejemplo... Pero el contraejemplo ese no lo vas a encontrar nunca...

Acá si puedo hablar un poco en mi lenguaje mod 6. Fijate que estructuré las posibles soluciones de cada tipo modular par de una determinada manera modular de sumandos impares. Esas soluciones son estas (dejando afuera la posible solución con el 3):

\[
2n
\begin{cases}
6t_{2n}+0 = (6t_a+1)+(6t_b+5) \\
6t_{2n}+2 = (6t_a+1)+(6t_b+1) \\
6t_{2n}+4 = (6t_a+5)+(6t_b+5)
\end{cases}
\]

Esto determina la clase en la que puede estar cada sumando, y son efectivamente las únicas formas de sumar números pares con primos $$\ge 5$$. Lo que significa que cada tipo modular par mod 6, admite una única configuración posible si queremos buscar en donde realmente se puede cumplir Goldbach.

Luego fijate:
\[
2n
\begin{cases}
6t_{2n}+0 = 6t_a+6t_b+6 \Rightarrow t_{2n}-1 = t_a+t_b \Rightarrow t_b=t_{2n} - 1 - t_a \\
6t_{2n}+2 = (6t_a+1)+(6t_b+1) \Rightarrow t_b=t_{2n} - t_a  \\
6t_{2n}+4 = (6t_a+5)+(6t_b+5) \Rightarrow t_b=t_{2n} - 1 - t_a
\end{cases}
\]

Aplicando cribado a los indices $$t$$, quedaría demostrar que imposible que se criben todos los índices por todos los primos hasta $$\sqrt{2n}$$ para cada caso. Fijate que queda una configuración en la que el conjunto de soluciones puede ser indexado:

\[
6t_{2n}+2j = (6t_a+r_1)+(6t_b+r_2) \quad \text{con }j\in \{0,1,2\};\, r_1,\, r_2\in\{1,5\}
\]

Luego se puede reducir el analisis a las interacciones entre $$t_a$$ y $$t_b$$ de la siguiente manera:

\[
t_{2n}=t_a+t_b+f \quad \text{con }f\in\{0,1\}
\]
Donde $$f=0$$ para el caso $$j=0$$ y $$f=1$$ si $$j\in\{0,2\}$$.

Luego despejamos $$t_b$$ obteniendo

\[
t_b=t_{2n}-t_a-f
\]

y nos quedan pares ordenados de indices:

\[
(t_a\,,\,t_{2n}-t_a-f)
\]

Ahora, usando congruencias sobre el índice podemos saber si corresponde a un primo o a un compuesto. Dicho de otra manera, podemos cribar el eje $$t$$.

Por cada primo $$p$$ existe una congruencia $$\pmod p$$ que determina los múltiplos de $$p$$, y es muy sencilla de aplicar... solo hay que tener en cuenta que "columna" está recorriendo cada indice, esto sería, la forma $$6t+1$$ o $$6t+5$$, pero cada primo elimina un índice $$mod\, p$$ en dichos indices.

Luego, los índices no son independientes, hemos estructurado para mostrar como el segundo sumando está determinado por el índice del número par y el índice del primer sumando. O sea, que analizaremos lo que pasa en la diagonal que se formaria si acomodaramos los $$t_a$$ y $$t_b$$ en un cuadro de doble entrada, ya que los pares ordenados solución corresponden exactamente a la diagonal.

Ahora, al cribar cada columna de indices, los que corresponden a pares ordenados donde al menos uno corresponde a un número compuesto elimina todo el par, consecuentemente tenés que cada primo elimina como máximo pares multiplicando por un factor como el siguiente a la cantidad de soluciones:

\[
1-\frac{2}{p}
\]

No puede eliminar más que esa cantidad, aunque una alineación en un primo reduce eso a:

\[
1-\frac{1}{p}
\]

Pero la alineación de módulos de todos los primos es imposible.

En definitiva, así se reduciría a probar que no se pueden cubrir con al menos un compuesto todos los pares ordenados de números... Equivalentemente, en el eje $$t$$ no se pueden cribar al menos un elemento en todos los pares ordenados.

Saludos!

[feriva]

Hola feriva, si efectivamente son los números de la forma $$6n\pm 1$$, pero a mi no me gusta escribirlo de esa forma, sino tratarlos como dos columnas separadas, estos números pueden relacionarse de manera muy sencilla, yo he tratado de juntar lo que estudié sobre ellos, y lo he compartido en ese artículo que he llamado "Criba indexada..." que compartí en la sección La Revista del Foro.

Para que te des una idea de como se puede trabajar con el índice $$t$$ te muestro un ejemplo donde podemos ubicar los índices de las potencias de un número primo $$p$$, acá hay que separar el caso $$6t+1$$ o $$6t+5$$, porque se comportan distinto:

tomemos las potencias $$p^m$$ y tratemos de ubicar los índices $$t_m$$:

1) Caso $$6t+1$$: Todas las potencias son de la forma $$6n+1$$ y los índices cumplen:

\[
t_m = t_1 \cdot \sigma(p^{m-1})
\]
donde $$\sigma$$ es la función suma de divisores de Euler.

Asi, los índices de las potencias de 7 serían por ejemplo:

$$t_1=\frac{7-1}{6}=1\Rightarrow 6(1)+1=7$$
$$t_2=1\cdot 8 \Rightarrow 6(8)+1=49$$
$$t_3=1\cdot 57\Rightarrow 6(57)+1=343$$
$$t_4=1\cdot 400\Rightarrow 6(400)+1=2401$$

2) Caso $$6t+5$$: Acá las potencias alternan entre clases, si tomamos $$p^m$$ las potencias pares serán de la forma $$6n+1$$ y las potencias impares serán $$6n+5$$, pero no permite una factorización limpia usando la función sigma de Euler... Pero si podemos obtener los índices de la siguiente manera:

Ejemplo con 11:
$$t_1=\frac{11-5}{6}=1\Rightarrow 6(1)+5=11$$
$$t_2$$ se calcula como $$t_2 = (p-1-t_p) + t_1 \cdot p$$ en este caso $$t_2=(11-1-1)+1\cdot 11=20 \Rightarrow 6(20)+1=121$$
$$t_3=t_p + t_2 \cdot p=1+20\cdot 11=221 \Rightarrow 6(221)+5=1331$$
$$t_4=(p-1-t_p) +t_3 \cdot p = 9 + 221 \cdot 11=2440 \Rightarrow 6(2440)+1=14641$$

Con está forma recurrente encontras los indices de las potencias, recordando luego que las potencias pares son $$6n+1$$ y las impares $$6n+5$$

Y por eso yo prefiero separar bien claro estás clases, además porque yo trabajo en $$t$$ no en $$\mathbb{N}$$. Y si tenés en cuenta que $$6t-1=6(t-1)+5$$ podés ver que la expresión me distorsiona $$t$$ por más que el número sea el mismo.



Volviendo a lo que dijo Luis de que no ve como facilite trabajar Goldbach, ahora acomodas los pares de acuerdo al índice, los diagonalizas, y por congruencias los cribas, eliminando todo el par (a,b) si uno de los elementos no cumple, entonces es una manera de verlo desde otra perspectiva, y trabajando con un espacio de soluciones reducida. Y existe la posibilidad de descartar las soluciones que no cumplen Goldbach cribando los indices.

Saludos

Hola, Dani.

Entiendo en qué te basas, pero, a la hora de seguir un planteamiento, las notaciones me cuestan incluso cuando las entiendo (no soy matemático ni tampoco un desecho de inteligencia). Ten un poco de paciencia para hacérmelo entender.

Entonces, yo te pregunto y tú me dices si va por aquí la cosa.

Salvo en el caso 2+2, si dos números primos suman 2n, tienen que ser coprimos entre ellos. Esto es obvio:si no son coprimos, uno es múltiplo del otro y entonces uno de ellos no es primo.

A partir de ahí, si dos números $$(6t_{1}+r_{1});(6t_{2}+r_{2})$$ cumplen $$r_{1}\equiv r_{2}$$ y $$mcd(t_{1},t_{2})\neq1$$ ya no cumplen Goldbach, no son dos primos que sumen 2n.

¿Básicamente se basa en esto?

Gracias.

Saludos.

[danizafa]

Hola, Dani.

Entiendo en qué te basas, pero, a la hora de seguir un planteamiento, las notaciones me cuestan incluso cuando las entiendo (no soy matemático ni tampoco un desecho de inteligencia). Ten un poco de paciencia para hacérmelo entender.

Entonces, yo te pregunto y tú me dices si va por aquí la cosa.

Salvo en el caso 2+2, si dos números primos suman 2n, tienen que ser coprimos entre ellos. Esto es obvio:si no son coprimos, uno es múltiplo del otro y entonces uno de ellos no es primo.

A partir de ahí, si dos números $$(6t_{1}+r_{1});(6t_{2}+r_{2})$$ cumplen $$r_{1}\equiv r_{2}$$ y $$mcd(t_{1},t_{2})\neq1$$ ya no cumplen Goldbach, no son dos primos que sumen 2n.

¿Básicamente se basa en esto?

Gracias.

Saludos.

Hola.
Es más simple que eso. el sub-índice lo puse para identificarlo. De todas maneras puedo usar la notación que te resulta más familiar. Si vos clasificas los naturales según residuo módulo 6, los pares se clasifican en 3 clases disjuntas, los impares también en 3.
Para Goldbach interesan las sumas de dos elementos primos que den como resultado un número par. Mi planteo es que para cada clase de número par tenes una forma de armar la suma.

Como bien mencionaste vos, todos los primos $$>3$$ son de la forma $$6n\pm 1$$. Y los primos restantes son $$2$$ y $$3$$.

1) $$2$$ solo es solución para el caso $$4=2+2$$. Cualquier número par $$>4$$ que se escriba como suma de $$2$$ y otro número implica que ese otro sumando es par $$>2$$, por lo tanto compuesto. No tiene sentido analizar estas sumas, ninguna cumple Goldbach.

2) $$3$$ es solución que cumple Goldbach para $$6=3+3$$. Pero además, si se suma con cualquier primo $$>3$$ también genera una suma que cumple Goldbach. Basicamente podemos escribir todos los números pares $$>2$$ como la suma de $$3$$ y otro impar, no todas las sumas cumplen Goldbach, solo en las que el otro impar sea primo. Pero hay una única manera de escribir cada número par como la suma de $$3$$ y otro impar.

Ahora veamos los números pares:

3) Pares de la forma $$6n$$.
a. El único caso relevante para escribir números de esta forma como la suma de $$3$$ y otro impar es $$6$$, dado que $$6n-3$$ siempre es de la forma $$6n+3$$, y para $$n\ge 1$$ todos son compuestos.
b. Solo podes escribir estos números como $$(6n+1)+(6n-1)$$.

4) Pares de la forma $$6n+2$$
a. Siempre tenés una manera de escribir esta forma usando el 3 y eso puede darte una suma que verifique Goldbach para ese número par: $$3+(6n-1)$$.
b. De otra forma, solo podés obtener sumas que verifican Goldbach haciendo $$(6n+1)+(6n+1)$$.

5) Pares de la forma $$6n+4$$
a. Siempre tenés una manera de escribir esta forma usando el 3 y eso puede darte una suma que verifique Goldbach para ese número par: $$3+(6n+1)$$.
b. De otra forma, solo podés obtener sumas que verifican Goldbach haciendo $$(6n-1)+(6n-1)$$.

O sea, para cada clase par tenés una combinación muy específica que reduce el espacio de búsqueda.

Hasta acá no hay ningún análisis de primalidad para un caso puntual... pero descartamos las formas que nunca van a tener un par de sumandos donde ambos son primos.

Luego, ya queda ver si $$6n\pm 1$$ es primo para cada caso puntual. Y lo otro que hice con las fórmulas es cuantificar cuántas sumas de cada tipo hay.

Espero que haya sido mas simple asi.

Saludos

[feriva]

Espero que haya sido mas simple asi.

Saludos

Sí, claro. Por ejemplo:

Si $$2n=2*5*7$$ todos los múltiplos de 2,5,7 quedan descartados. Como $$7*5=35\equiv5\,(mod\,6) $$ esos números son de la forma $$6k+5$$ ó $$6k-1$$. Y la suma de dos de ellos será de la forma $$6k-2$$, equivalente a ese 2n.

Gracias, Dani