[MNDK]

Hola, estuve viendo un video donde hablan de la relacion entre \( n! \) y los numeros primos que lo componen. En la parte que atañe a esta pregunta  se proponen averiguar cuantas veces está \( p \) dentro de \( n! \) y llegan a la conclusión de que: \( n!\approx{\displaystyle\prod_{p\geq{n}}{p^{n/p}}} \). Después, para convertirlo en una sumatoria, usan la función \( log \), transformando la operación a: \( log (n!)\approx\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\frac{n}{p}log(p)} \). En esta transformacion hay dos cosas que no llego a entender. La primera es si se trata del logaritmo natural, y la segunda es ¿como es que los productos pueden transformarse en sumatorios? (de acuerdo al video podemos transformar cualquier producto en sumatorias). ¿Alguien conoce alguna fuente donde se pueda ver esta transformacion paso a paso, o podría explicarmela?, ¿esta hablando del logaritmo natural?

Dejo el enlace por si hay interés https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=WL&index=1&t=1075s

Gracias y saludos!

--Corregido! gracias Ani--

[Richard R Richard]

Hola, no he visto el video pero puedes convertir cualquier productoria en una sumatoria si aplicas logaritmo a ambos lados de la igualdad, siempre que la base se la misma en ambos lados, esto es así por las propiedades de los logaritmos. O sea la igualdad se dará  de la misma forma si es logaritmo natural , decimal o cualquier otra base.


Un producto es básicamente una simplificación de un sumatorio , $$2\times3=6$$ es sumar 3 veces 2, es decir  $$2+2+2=6$$ o sumar 2 veces 3 . esto es $$3+3=6$$

Lo que ellos te dicen es que


$$n!\approx\displaystyle\prod_{p\leq{n}}{p^{n/p}}$$

y cuando aplicas logaritmo de cualquier base a ambos lados de la relación de aproximación y aplicas las propiedades de logaritmos

$$log (n!)\approx\displaystyle log\prod_{p\leq{n}}{p^{n/p}}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}$$

luego por las mismas propiedades de los logaritmos 

$$\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\color{blue}\frac{n}{p}\color{black}log(p)}$$

Editado: corregido gracias, ani_pascual

https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Propiedades_algebraicas

[MNDK]

Ah! Gracias Richard! entonces supongo que en el video han de utilizar el logaritmo con algún fin que aún no entiendo. Como no entendía bien el proposito, me quedé trabado ahí. Voy a continuar viendo a ver si se me hace la luz jeje.
(Creo que ya entendí, el logaritmo aparece para poder expresar como sumatorias el producto de las potencias de los diferentes \( p \) que componen \( n \) ( ?)

[ani_pascual]

Hola:

...
\( log (n!)\approx\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\textcolor{red}{\frac{p}{n}}log(p)} \).
...

...
$$\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\textcolor{red}{\frac{p}{n}}log(p)}$$
...

¿Lo que está en rojo está bien? ¿No debería ser \( \dfrac{n}{p} \)? 🤔
Saludos

[Richard R Richard]

¿Lo que está en rojo está bien? ¿No debería ser \( \dfrac{n}{p} \)? 🤔
Saludos

No ,no estaba bien, respondí a la idea de fondo y no me percaté del gazapo de la fórmula.

[MNDK]

Hola:

...
\( log (n!)\approx\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{log(p^{n/p})}=\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\textcolor{red}{\frac{p}{n}}log(p)} \).
...

¿Lo que está en rojo está bien? ¿No debería ser \( \dfrac{n}{p} \)? 🤔
Saludos

Ups! me equivoqué al copiar 

[Richard R Richard]

Código: [Seleccionar]

import math as m
import sympy as s
for n in range(5,100):
   x=m.factorial(n)
   y=1
   for a in range(1,n):
      if s.isprime(a):
         y=y*a**(n/a)
   print(x,y)
   print((x-y)/x*100)
 Con ese código se ve que no es una buena aproximación el error crece, crece y crece  o algo me perdí en el camino. La aproximación es varios ordenes inferior al factorial real

no es mejor usar https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Stirling

[MNDK]

Hola Richard. No puedo hablar con propiedad, todavia no entiendo bien estas aproximaciones. Lo que puedo decirte es que en el video usa las dos. La primera la simplifica a \( n\displaystyle\sum_{p\leq{n}}{\frac {log(p)}p} \) y luego dice que tiene un valor aproximado a \( log_nn!\approx{n*log_n*n-n} \) (que es la que has propuesto tu). Según el autor el error acumulado no es tan grande (aunque asume que lo hay, debido a las simplificaciones).

No se si algo de esta información te pueda servir. En la medida que vaya entendiendo quizas pueda aclarar más. Mi sospecha es que recorre este camino para explicar desde una perspectiva puntual la hipotesis de Riemann, pero me alarma si como dices, la primer aproximacion es tan mala.

[Richard R Richard]

Según el autor el error acumulado no es tan grande (aunque asume que lo hay, debido a las simplificaciones).

El 99% la veces que hago estas comparaciones me equivoco, del otro 1% el 99% de las veces no estoy seguro si es lo correcto, pero entonces en el caso que haya podido seguir al pie de la la letra la aproximación , cuando el factorial llega a 170 (y Python me dice que no puede soportar algún tipo de números), el valor del factorial tiene 306 cifras y la aproximación solo 287,  así que ni cerca, ni en el mismo orden, primero pensé que con los números pequeños  había un desajuste , pero que convergería en los grandes y por lo visto no.
De todo esto quedate con la aplicación de los logaritmos para convertir los productorios en sumatorios, eso está bien.
Por otro lado la fórmula que saqué de la wikipedia, muestra en un grafico como se acerca la apoximación al valor correcto..


Espero que te sirva como un tip, para que no te tomes todo literalmente de lo que se publica en YouTube, no sé si has podido leer los comentarios del video, yo por lo general no lo hago, pero  a veces surgen buenas críticas.

[MNDK]

Gracias Richard, tomo tu recomendación. Voy a seguirrrr un poco más. Saludos y si tengo novedades, vuelvo jeje.
(En cuanto a este video particular, puro halago en los comentarios hasta que se me cansó el dedo con la ruedita...)