Bueno para llegar ver como eso llega a ser buena aproximación se ve en que
Si $$n!= \prod\limits_{p<n}^n p^{v_p(n)}=\prod\limits_{p<n}^n p^{n/p}\cdot \prod\limits_{i>1, p^i<n}^n p^{n/p^i}$$
entonces
$$log(n!)= \overbrace{n\displaystyle\sum_{p\leq n} \dfrac{log(p)}{p}}^x+$$ $$\overbrace{\cancelto{y<<x}{n\displaystyle\sum_{p^i\leq n}^n \dfrac{log(p)}{p^i}}}^y$$***
y en el segundo sumando la cantidad potencias $$p^i<n$$ se hace mas escasa a medida que aumenta $$i$$ , a la vez que el denominador $$p^i$$ aumenta , esto los va volviendo menos contribuyentes a medida que $$i$$ aumenta y por ello se toma la contribución del primer exponente y desprecia el resto haciendo que
$$\log n!\approx n\displaystyle\sum_{p\leq n} \dfrac{log(p)}{p}$$
y de allí relacionar las dos aproximaciones del logaritmo del factorial $$n\displaystyle\sum_{p\leq n} \dfrac{log(p)}{p}\approx n\log n-n$$ que se trata en el resto del video.
*** para tener referencia cuando $$n=100$$ se ve que $$base^x$$ tiene cifras 135 cifras y $$base^y$$ solo tiene 11, luego el logaritmo de $$y$$ es despreciable frente al de $$x$$ por eso les sirve como buena aproximación para lo que quieren demostrar.
Es decir lo que aporta 11 es despreciable frente a lo que aporta 135 en su suma es decir $$135\approx 146$$
$$base$$ es la base del logaritmo sea esta la natural $$e$$, $$2$$, $$10$$ o la que sea. Pero ahora entiendo que se refieren al logaritmo natural por el algebra aplicada en lo que sigue del video.
