[Masacroso]

Os propongo un reto (ya que a mí no se me ocurre cómo hacerlo) que es construir una figura convexa \( A \) en \( \mathbb{R}^3 \) con interior no vacío, que sea compacta y que tenga la propiedad de que contenga un único segmento en su contorno, donde un segmento es un conjunto de puntos de la forma \( \{\lambda x+(1-\lambda )y: \lambda \in [0,1]\} \) donde \( x \) e \( y \) son distintos.

Intuitivamente, con algo de imaginación, se ve que se puede construir una figura así, pero planteo esto como reto porque no tengo muy claro cómo definirla matemáticamente, en un ejemplo concreto. Una idea es deformar una esfera de alguna manera para que aparezca en su superficie un segmento y que conserve su convexidad.

Nota: olvidé mencionar que la figura debe tener interior no vacío, de otro modo hay muchas figuras planas con esa propiedad, por ejemplo la figura cuyo contorno es la curva cerrada que es un semicírculo unido por un segmento.

Actualización: creo que la figura definida por la desigualdad \( {\color{red}{y^2+z^2\leqslant y\sqrt{1-x^2}}} \) cumple las condiciones, tengo que verificarlo.

Corregido.

[Luis Fuentes]

Hola

Os propongo un reto (ya que a mí no se me ocurre cómo hacerlo) que es construir una figura convexa \( A \) en \( \mathbb{R}^3 \) con interior no vacío, que sea compacta y que tenga la propiedad de que contenga un único segmento en su contorno, donde un segmento es un conjunto de puntos de la forma \( \{\lambda x+(1-\lambda )y: \lambda \in [0,1]\} \) donde \( x \) e \( y \) son distintos.

Intuitivamente, con algo de imaginación, se ve que se puede construir una figura así, pero planteo esto como reto porque no tengo muy claro cómo definirla matemáticamente, en un ejemplo concreto. Una idea es deformar una esfera de alguna manera para que aparezca en su superficie un segmento y que conserve su convexidad.

Nota: olvidé mencionar que la figura debe tener interior no vacío, de otro modo hay muchas figuras planas con esa propiedad, por ejemplo la figura cuyo contorno es la curva cerrada que es un semicírculo unido por un segmento.

Actualización: creo que la figura definida por la desigualdad \( {\color{red}{y^2+z^2\leqslant y\sqrt{1-x^2}}} \) cumple las condiciones, tengo que verificarlo.

Si la tuya es esta:


A mi se me ocurría por ejemplo sobre un segmento construir circunferencias perpendiculares sobre el de radio \( 0 \) en los extremos y \( 1 \) en el medio, con una variación no lineal del radio. Algo así en paramétricas:

\( (x,y,z)=(-s,cos(s\pi/2)cos(t),cos(s\pi/2)(1+sin(t))) \) con \( s\in [-1,1],\quad t\in [0,2\pi] \)



Saludos.

[Masacroso]

Supongo que calculando la curvatura gausiana de los puntos de esas figuras, si resulta que son positivas en todas partes excepto en el segmento, eso demostraría que el segmento es único en la figura. Aunque no tengo claro si con la misma curvatura gausiana podría demostrar que la figura es convexa (aunque a simple vista es trivialmente cierto). Gracias Luis por la figura parametrizada, sí, tuvimos ideas similares, mi figura también se basa en eso: en la deformación de un cilindro (discos paralelos) cuyos diámetros disminuyan a cero de manera no lineal mientras uno de los bordes se mantiene inalterado.

Añadido: una parametrización de la superficie de mi figura vendría dada por

\[
\varphi (x,\theta ):=(x,\cos ^2 \theta \sqrt{1-x^2}, \operatorname{sen}\theta \cos \theta \sqrt{1-x^2}),\quad (x,\theta )\in [-1,1]\times [0,2\pi]
\]

Buscar una figura así era para demostrar que para espacios de Banach reales de dimensión mayor o igual a tres el conjunto de puntos extremos de un conjunto compacto y convexo no es necesariamente cerrado. Eso ocurre, por ejemplo, cuando una figura convexa y compacta en \( \mathbb{R}^3 \) tiene un único segmento en su frontera, ya que entonces todos los puntos extremos de la figura son su frontera excepto los puntos "internos" del segmento, lo cual hace que ese conjunto no pueda ser cerrado.

[Richard R Richard]

Os propongo un reto (ya que a mí no se me ocurre cómo hacerlo) que es construir una figura convexa \( A \) en \( \mathbb{R}^3 \) con interior no vacío, que sea compacta y que tenga la propiedad de que contenga un único segmento en su contorno, donde un segmento es un conjunto de puntos de la forma \( \{\lambda x+(1-\lambda )y: \lambda \in [0,1]\} \) donde \( x \) e \( y \) son distintos.

Intuitivamente, con algo de imaginación, se ve que se puede construir una figura así, pero planteo esto como reto porque no tengo muy claro cómo definirla matemáticamente, en un ejemplo concreto. Una idea es deformar una esfera de alguna manera para que aparezca en su superficie un segmento y que conserve su convexidad.

Nota: olvidé mencionar que la figura debe tener interior no vacío, de otro modo hay muchas figuras planas con esa propiedad, por ejemplo la figura cuyo contorno es la curva cerrada que es un semicírculo unido por un segmento.

Actualización: creo que la figura definida por la desigualdad \( {\color{red}{y^2+z^2\leqslant y\sqrt{1-x^2}}} \) cumple las condiciones, tengo que verificarlo.

Corregido.

Si no he entendido mal, si cortas una esfera rellena por dos meridianos distintos separados por un ángulo diferente a $$\pi$$ desde  un polo al otro polo, entonces una parte cumple con ser concava y la otra convexa , además de que ambas tienen un segmento recto de longitud igual al diámetro de la esfera.


Pd tambien la figura tiene dos curvas  semicircunferencias, pero no indicas si es necesario que estas no existan, es decir  solo exista el segmento , si es así se puede suavizar el borde con  otro tipo de curva.
Primero imagine una naranja cortada , pero puede ser un gajo de mandarina.


Ups.. ya venía escribiendo y  he girado la primer figura de Luis y se asemeja a lo que propongo.

[Masacroso]

Si no he entendido mal, si cortas una esfera rellena por dos meridianos distintos separados por un ángulo diferente a $$\pi$$ desde  un polo al otro polo, entonces una parte cumple con ser concava y la otra convexa , además de que ambas tienen un segmento recto de longitud igual al diámetro de la esfera.


Pd tambien la figura tiene dos curvas  semicircunferencias, pero no indicas si es necesario que estas no existan, es decir  solo exista el segmento , si es así se puede suavizar el borde con  otro tipo de curva.
Primero imagine una naranja cortada , pero puede ser un gajo de mandarina.


Ups.. ya venía escribiendo y  he girado la primer figura de Luis y se asemeja a lo que propongo.

Un gajo de mandarina no serviría porque posee infinitos segmentos distintos, ya que en la zona plana de cada corte, al ser el corte plano, está compuesta de segmentos. Por eso Luis y yo lo que hemos hecho es deformar ese gajo de mandarina para que no tenga cortes planos.

[Richard R Richard]

Si no he entendido mal, si cortas una esfera rellena por dos meridianos distintos separados por un ángulo diferente a $$\pi$$ desde  un polo al otro polo, entonces una parte cumple con ser concava y la otra convexa , además de que ambas tienen un segmento recto de longitud igual al diámetro de la esfera.


Pd tambien la figura tiene dos curvas  semicircunferencias, pero no indicas si es necesario que estas no existan, es decir  solo exista el segmento , si es así se puede suavizar el borde con  otro tipo de curva.
Primero imagine una naranja cortada , pero puede ser un gajo de mandarina.


Ups.. ya venía escribiendo y  he girado la primer figura de Luis y se asemeja a lo que propongo.

Un gajo de mandarina no serviría porque posee infinitos segmentos distintos, ya que en la zona plana de cada corte, al ser el corte plano, está compuesta de segmentos. Por eso Luis y yo lo que hemos hecho es deformar ese gajo de mandarina para que no tenga cortes planos.

Sí ahora entendí mejor, no solo con una circunferencia puedes lograrlo, pues curva convexa cerrada, perpendicular al segmento te sirve, ejemplo  elipse, o la contenida en el interior de curvas con un punto de corte (rulo), en la naturaleza el perfil de una hoja , una gota de agua,...  la que se te ocurra escojes un punto particular ( o el de corte) y lo haces tangente al segmento y también será solución... lo divertido es hallar la función y parametrizarla... 


Se me ocurre esta basada en un icono de ubicación



Pd  la porción rulo de una cicloide externa... bueno la idea era acercarte perfiles que te pueden servir.

Me refería a la trocoide alargada 

\[
\begin{aligned}
x(t) &= r t - d \sin t, \\
y(t) &= r - d \cos t,
\end{aligned}
\qquad d>r.
\]

se auto interseca entre dos ángulos $$\alpha$$

$$t \in [-\alpha,\alpha]$$  con $$\alpha =\arccos r/d$$
 
$$r$$ es el radio y $$d$$ la longitud del radio alargado

$$r = ||z|-R|^2$$    con $$z\in [-R,R]$$
$$d=\dfrac{r}{\cos\alpha}$$

[Masacroso]

A partir de este tema me surgió la curiosidad de cómo demostrar, a partir de una formulación implícita o explícita (parametrización) que una figura es convexa, y resulta que aunque visualmente sea (casi) obvio que una figura es convexa, los teoremas necesarios para poder demostrarlo, en un caso suficientemente general, no son nada triviales.

La forma más útil para este problema es, justamente como sospechaba, utilizando la curvatura gausiana... pero teoremas de propiedades globales de variedades en geometría diferencial pueden ser bastante complejos. En resumen: de momento me quedaré con las ganas de poder demostrar que la figura que proponía era, efectivamente, convexa, y que tiene las propiedades deseadas. A no ser que encuentre otra figura, más sencilla de analizar (por ejemplo que la figura sea \( f^{-1}((-\infty ,0]) \) de alguna función \( f \) convexa, o cuasiconvexa).

[Richard R Richard]

Hola masacroso, creo que el tema formal me excede, pero intuitivamente, una curva cerrada cóncava en 2d tiene en algún lado 3 o mas tangentes paralelas, y la convexa siempre 2 en toda la curva, o ninguna en algun sector cuando  no sea diferenciable en algún punto, como ser una auto intersección.
 

[ani_pascual]

Hola:

A partir de este tema me surgió la curiosidad de cómo demostrar, a partir de una formulación implícita o explícita (parametrización) que una figura es convexa, y resulta que aunque visualmente sea (casi) obvio que una figura es convexa, los teoremas necesarios para poder demostrarlo, en un caso suficientemente general, no son nada triviales.

La forma más útil para este problema es, justamente como sospechaba, utilizando la curvatura gausiana... pero teoremas de propiedades globales de variedades en geometría diferencial pueden ser bastante complejos. En resumen: de momento me quedaré con las ganas de poder demostrar que la figura que proponía era, efectivamente, convexa, y que tiene las propiedades deseadas. A no ser que encuentre otra figura, más sencilla de analizar (por ejemplo que la figura sea \( f^{-1}((-\infty ,0]) \) de alguna función \( f \) convexa, o cuasiconvexa).

A mí me sucede lo que a Richard R Richard , es decir, que este asunto me sobrepasa...  . Sin embargo, intuyo que bastaría con elegir una función convexa hacia arriba \( \textcolor{blue}{f(t)} \) definida en un intervalo cerrado, por ejemplo en \( [-a,a] \) que se anule en los extremos y tomar como superficie  \( \left\{\begin{array}{l}x=t\\y=f(t)\cos \theta\\z=f(t)(1+\sin \theta)\end{array}\right.\hspace{0.5cm}-a\leq t\leq a, 0\leq \theta\leq 2\pi \).
Así, la intersección con los planos \( x=t\in [-a,a] \) son círculos de radio \( f(t) \) centrados en \( (t,0,f(t)) \).
En la imagen, he elegido \( f(t)=1-t^2 \) en \( [-1,1] \)
En realidad, creo que se podrían elegir otras secciones convexas no necesariamente círculos.
Añadido: Releyendo el hilo, observo que Richard R Richard ya hizo esta observación...    

Corte con el plano coordenado \( XZ  \) o \( y=0 \)

Corte con el plano coordenado \( YZ \) o \( x=0 \)

Editado
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

A mí me sucede lo que a Richard R Richard , es decir, que este asunto me sobrepasa...  . Sin embargo, intuyo que bastaría con elegir una función convexa \( \textcolor{blue}{f(t)} \) definida en un intervalo cerrado, por ejemplo en \( [-a,a] \) que se anule en los extremos y tomar como superficie  \( \left\{\begin{array}{l}x=t\\y=f(t)\cos \theta\\z=f(t)(1+\sin \theta)\end{array}\right.\hspace{0.5cm}-a\leq t\leq a, 0\leq \theta\leq 2\pi \).
Así, la intersección con los planos \( x=t\in [-a,a] \) son círculos de radio \( f(t) \) centrados en \( (t,0,f(t)) \).
En la imagen, he elegido \( f(t)=1-t^2 \) en \( [-1,1] \)
En realidad, creo que se podrían elegir otras secciones convexas no necesariamente círculos.

Cóncava, no convexa (a no ser que uses la noción opuesta a la más extendida de convexidad/concavidad). La función que has puesto \( f(t)=1-t^2 \) es cóncava.

Un caso particular de esa construcción es precisamente el primer ejemplo que puse donde tomaba \( f(t)=cos(\pi t/2) \).

Por otra parte ese volumen puede describirse así: los puntos \( (x,y,z)\in \Bbb R^3 \) que verifican:

\( y^2+(z-f(x))^2\leq f(x)^2 \)

Equivalentemente:

\( y^2+z^2- 2zf(x)\leq 0 \)

ó

\( \dfrac{y^2}{2z}+\dfrac{z}{2}-f(x)\leq 0 \)

Que es una función convexa por ser suma de convexas (el primer sumando se puede ver con el Hessiano; el segundo es lineal; y el tercero es \( -f(x) \), es decir, el opuesto de una cóncava).

Entonces el conjunto es convexo porque puede describirse como \( F(x,y,z)\leq 0 \) con  \( F \) función convexa (para evitar la división por cero, se puede tomar en \( z>0 \) y tomar la clausura).

Saludos.