Por hacer un resumen general: podemos definir una figura en \( \mathbb{R}^3 \) como \( F^{-1}((-\infty ,0]) \) utilizando una función de la forma \( F:[-1,1]\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, y^2+z^2-2yf(x) \) donde \( f:[-1,1]\to \mathbb{R} \) es no-negativa y estrictamente cóncava (por ejemplo si \( f''<0 \) en \( (-1,1) \)). Entonces podemos definir \( \tilde F:[-1,1]\times (0,\infty )\times \mathbb{R}\to \mathbb{R},\, (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)/2y \), la cual siguiendo el análisis de
Luis es convexa, y de ahí utilizando un argumento topológico se sigue que \( F^{-1}((-\infty ,0]) \) es convexa.
Finalmente para \( f \) dos veces continuamente diferenciable, la curvatura gausiana en cada punto de la superficie definida por \( F(x,y,z)=0 \) y \( x\in (-1,1) \) viene dada por la fórmula
\[
\kappa = -\frac{y f''(x) f(x)^2}{\bigl(f(x)^2 + f'(x)^2 y^2\bigr)^2}
\]
lo cual es positivo cuando \( y>0 \), por tanto en esa región el objeto no posee ningún segmento. Finalmente podemos exigirle también a \( f \) que \( f(1)=f(-1)=0 \), eso asegura que el único segmento posible de la figura ocurre cuando \( y=0 \). Funciones con esas características son \( f(x)=\sqrt{1-x^2} \), \( f(x)=1-x^2 \) o \( f(x)=\cos (x\pi/2) \), por ejemplo.
