Hola
M. Librán: Antes de nada:
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Si en algún momento he podido parecer áspero en mi respuesta o incluso ofensivo (espero que no); nada más lejos de mi intención y pido discuplas por ello. - Por otra lado me cuesta entender en que medida algunas cosas que dices son ironías o no. No es fácil en la frialdad de este medio.
Pero desde luego la que has hecho no le veo sentido
¿La que he hecho? ¿Posicionarme del lado de los que no aceptan la "demostración" del teorema como DEMOSTRACIÓN?
No, no. Lo de posicionarse aquí o allá es lo de menos; yo siempre trato de comentar argumentos concretos. Lo demás es muy vago.
Me refiero muy concretamente al ejemplo que has puesto de los tres mapas, que tienen el mismo grafo asociado. No veo como eso puede invalidar la relación mapa/grafo si de cada uno de ellos puede establecerse una biyección área-vértice, frontera-arista de manera que toda coloración válida para un mapa equivale a una del grafo y viceversa. Y eso justifica la equivalencia de estudiar la coloración de esos mapas con la coloración del grafo \( K_4 \).
¿"Cree" que es "bueno" no mezclar las 2 cosas? Pues usted bien que ha mezclado los conceptos de GRAFO y MAPA... al igual que los autores del documento, que para demostrar lo de los mapas utilizan grafos, y para definir las funciones que utilizan para la demostración, utilizan mapas. Ergo todos hacemos cosas "malas"... argumento "moral" rebatido desde mi perspectiva simiesca.
Este es un punto en que no se si estás siendo irónico o lo dices en serio. Usé "bueno" no en un sentido moral, sino en el sentido de bueno para clarificar el debate; para ordenar las ideas; para saber de que estamos hablando. Y lo sigo pensando. Siento la confusión.
Tampoco sé porque dices lo de "mi perspectiva simiesca".
Si de GRAFOS no podemos pasar a MAPAS mediante un homeomorfismo, la "demostración" que dan NO es válida.
Pero eso es una afirmación gratuita. La relación necesaria para poder estudiar la coloración es mucho más débil que la de un homeomorfismo. Dos mapas tienen la misma estructura en cuanto a coloración, si hay una biyección entre sus regiones y entre las fronteras que unen unas con otras, de manera que esa biyección permite que toda coloración válida para un mapa lo sea para el otro y viceversa.
Y no se puede por el dibujo que dí ayer: si del primer dibujo eliminamos una región central A,B,C, nos queda un agujero.Si del segundo eliminamos las regiones B o C, el conjunto sigue sin tener agujeros. No hay posibilidad de construir un homeomorfismo.
Insisto en mi pregunta. ¿Y qué relevancia tiene eso a efectos de colorear el mapa así o asá?.
Además, en el "paper" lo que hacen es explicar los algoritmos que han utilizado, pero no demostrar que estos lleguen a los resultados que se supone que tienen que llegar. 34 hojas de formalización algortímico/matemática y 4 dibujos para "explicar y dejar meridianamente claro" lo que están haciendo, que es colorear mapas... pues no lo acepto como demostración me lo diga quien me lo diga.
Ojo, eso eso otra cosa. Yo no he leído el paper. Y no lo voy a hacer por ahora porque no tengo tiempo. A mi me lleva bastante tiempo estudiar un artículo como para poder meterme en harina de defender o criticar tal o cuál argumento que usen y ahora mismo ando apurado.
Yo he sido vehemente en mi intervención en el hilo, comentando la crítica concreta que has hecho y que has ilustrado con ese ejemplo de los tres mapas que ya he comentado. Para cosas que aparecen en el artículo, tú tendrías que concreta la crítica y yo leerlo.
Por otra parte he defendido también la labor del científico medio de a pie, que se guía por criterios científicos (con aciertos y errores, claro) y no intenta deliberadamente engañar o liar las cosas o dar por bueno lo que hay porque si. Eso no impide que pueda haber casos donde si haya algún comportamiento poco honesto intelectualmente; pero en todo caso si eso ha llevado a un artículo incorrecto, lo mejor es concretar lo más posible los errores y discutirlos. Juzgar las intenciones no aporta demasiado al respecto.
(teniendo en cuenta que la tierra no tiene pinta de ser plana y que cualquier intento de dibujar un mapa de ella, como por ejemplo mediante la proyección estereográfica, nos daría una imagen un tanto distorsionada en el plano de las fronteras y las regiones)
Pues que al haber presentado un ejemplo de una representación "cartográfica" de un mapa de una región inscrita en un geoide, técnicamente no conservaría las distancias... Una proyección estereográfica no tendría sentido, pues es un mapa inventado que no sé en que latitudes, época o planeta situar.
Pues sigo sin entender exactamente qué tiene que ver con el resto del debate de este hilo.
Saludos.
P.D. Por insistir un poco más en la relación grafo/mapa, fíjate que si tanto te incomoda uno puede hacer al menos parte de los argumentos que se hacen en la demostración publicada (y de los que me he enterado a través del vídeo de Mates Mike) sin hacer mención a grafos. Un ejemplo del primer paso que se describe en el vídeo.
En lenguaje de grafos:
El argumento por reducción al absurdo comienza suponiendo que existe un grafo plano no coloreable con cuatro colores. Y considera el de menor número de vértices con esa propiedad. Entonces razona que ese grafo no puede tener un vértice de grado \( 2 \), porque entonces si retiramos ese vértice, el grafo resultante si sería 4-coloreable (porque el inicial era el más pequeño no 4-coloreable); pero entonces volviendo a añadir el vértice quitado y coloreándolo con uno de los colores que no se usaron en sus dos vecinos, se conseguiría colorear el grafo inicial con 4-colores, contradiciendo que fuese el menor no 4-coloreable.
Lo mismo sin mencionar grafos:
El argumento por reducción al absurdo comienza suponiendo que existe un mapa coloreable con cuatro colores. Y considera el de menor número de países con esa propiedad. Entonces razona que ese mapa no puede tener un país con solo \( 2 \) vecinos, porque entonces si retiramos ese país, el mapa resultante si sería 4-coloreable (porque el inicial era el más pequeño no 4-coloreable); pero entonces volviendo a añadir el país quitado y coloreándolo con uno de los colores que no se usaron en sus dos vecinos, se conseguiría colorear el mapa inicial con 4-colores, contradiciendo que fuese el menor no 4-coloreable.
