[Norges Grey Pérez]

Hola.

Hemos definido un nuevo término : " Diagonalización cuadrática" que no es más que la sumatoria de los números situados en la diagonal principal de un cuadrado $$ n \times n $$, llenado con los números del 1 al $$ n^2 $$, en orden, de izquierda a derecha y de arriba abajo.

Por ejemplo:

- Para $$ n = 2 $$:
  ```
  1 2
  3 4
  ```
  Diagonal: $$ 1 + 4 = 5 $$

- Para $$ n = 3 $$:
  ```
  1 2 3
  4 5 6
  7 8 9
  ```
  Diagonal: $$ 1 + 5 + 9 = 15 $$

Esta suma total la llamo **diagonalización cuadrática** .

Problema:
Sea $$ 4\,000\,000\,001\,000\,000 $$ la suma de los números que forman la diagonal principal de un cuadrado $$ n \times n $$, llenado con números sucesivos desde 1 hasta $$ n^2 $$.

¿Cuál es el penúltimo número de esa diagonal?

Saludos.

[Pie]

¿Estás seguro que pusiste bien el número? Llego a la ecuación:

\[ \displaystyle\frac{1}{2}(n^3+n) = 4000 \ 000 \ 001 \ 000 \ 000  \]

Spoiler

La suma viene dada por:

\[ S = \displaystyle\sum_{k=1}^n{(k-1)(n+1) + 1} = (n+1)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{k} - n\right) + n = \]

\[  (n+1)\left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} - n\right) + n = \displaystyle\frac{1}{2}(n(n+1)^2-2n(n+1)+2n) = \]

\[ \boxed{\displaystyle\frac{1}{2}(n^3+n)}  \]

[cerrar]

Pero parece que no tiene soluciones enteras..

Saludos.

[delmar]

Hola

Una forma :

Spoiler

Una matriz genérica de dimensiones n x n sería :

\( \begin{matrix}
1&2&3&\ldots&n\\
n+1&n+2&n+3&\ldots&2n\\
2n+1&2n+2&2n+3&\ldots&3n\\
3n+1&3n+2&3n+3&\ldots&4n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
(n-1)n+1&(n-1)n+2&(n-1)n+3&\ldots&n^2\\
\end{matrix} \)

La suma S de los elementos de la diagonal se corresponde :

\( S=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{kn+(k+1)} \) donde \( kn+(k+1) \) es elemento de la diagonal que se corresponde con la fila k+1 por eso k varía desde 1 hasta n-1 la fila varía entonces desde 2 hasta n

Operando se tiene :

\( S=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(n+1)k+1}=1+(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{k}+(n-1)=1+\displaystyle\frac{n^3+n-2}{2} \)

Luego se ha de dar :

\( S=1+\displaystyle\frac{n^3+n-2}{2}=4 000 000 001 000 000\Rightarrow{n^3+n-8 000 000 002 000 000=0} \)

Se obtiene el n ha de ser un número entero positivo y luego se calcula el penúltimo término el cual \( (n-2)n+(n-2)+1=n^2-n-1 \)

[cerrar]

Saludos

[anartesi]

Hola, así creo que también podría pensarse.

[Richard R Richard]

Creo que hay error en la suma, sino

Spoiler

$$\sum\limits_{f=1}^n (f-1)n+f=(\sum\limits_{f=1}^n (n+1)f)-n^2=(n+1)^2n/2-n^2=(n^3+n)/2=4000000001000000$$

$$n\cong200000$$

$$\color{red}x=n^2-1=40000000000-1= 39999999999\color{black}$$
Edito:Este es el penúltimo  de la matriz, pero pide el penúltimo de la traza

Si hay n^2 elemento s ese valor esta 1 fila mas un elemento  ante del último $$x=n^2-n-1=39999799999$$

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

...

¿Cuál es el penúltimo número de esa diagonal?
...

Me parece que el ejercicio está pensado para que la matriz sea de orden \( n=200000 \), ya que la traza es \( \dfrac{n^3+n}{2} \), y el valor que arroja una calculadora comercial es \( 4,000000001\cdot 10^{15} \), pero es una aproximación.
Como se ha dicho ya, el dato pedido sería \( n^2-n-1 \)
 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Me parece que el ejercicio está pensado para que la matriz sea de orden \( n=200000 \), ya que la traza es \( \dfrac{n^3+n}{2} \), y el valor que arroja una calculadora comercial es \( 4,000000001\cdot 10^{15} \), pero es una aproximación.

No. No es una aproximación. Ese valor es exacto.

Quizá más bien ha sido simplemente una errata de Norges; escribió:

4 000 000 001 000 000

y debería de ser:

4 000 000 000 100 000

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
y debería de ser:

4 000 000 000 100 000
...

Pues el que dices que debería ser coincide con el que aparece en el mensaje de Norges Grey Pérez 🤔
He buscado las raíces del polinomio \( x^3+x-8.000.000.002.000.000 \) en una calculadora de la red y la que arroja real no es entera, sino \( 199.999.9999988333... \)
🤔
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

y debería de ser:

4 000 000 000 100 000

Pues el que dices que debería ser coincide con el que aparece en el mensaje de Norges Grey Pérez 🤔

¡No!. El qué ha puesto Norges es:

Problema:
Sea $$ 4\,000\,000\,001\,000\,000 $$ la suma de los números que forman la diagonal principal de un cuadrado $$ n \times n $$, llenado con números sucesivos desde 1 hasta $$ n^2 $$.

Con el 1 en las cifras de unidades de millon; y el que yo pongo tiene 1 en las centenas de millar.

He buscado las raíces del polinomio \( x^3+x-8.000.000.002.000.000 \) en una calculadora de la red y la que arroja real no es entera, sino \( 199.999.9999988333... \)

Ahí estás usando el que dice Norges, y no la corrección que dije yo. Pero además no hace falta calculadora para comprobarlo. Si tomamos \( n=200000=2\cdot 10^5 \)

\( \dfrac{n^3+n}{2}=\dfrac{2^3\cdot 10^{15}+2\cdot 10^5}{2}=4\cdot 10^{15}+1\cdot 10^5=\color{red}4\,000\,000\,000\,100\,000\color{black} \).

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[ani_pascual]

Hola:

...

Con el 1 en las cifras de unidades de millon; y el que yo pongo tiene 1 en las centenas de millar.
...

Todo aclarado, gracias
Tanto cero consecutivo me nubla la vista 
¿No sobran tres ceros?

...
 Si tomamos \( n=200000=2\cdot 10^5 \)

\( \dfrac{n^3+n}{2}=\dfrac{2^3\cdot 10^{15}+2\cdot 10^5}{2}=4\cdot 10^{15}+1\cdot 10^5=\\4\,000\,000\,000\,\textcolor{red}{000\,}100\,000 \).

Saludos